2023-2024学年安徽省合肥市长丰县九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市长丰县九年级上学期数学期末试题及答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点即可求得顶点坐标．
【详解】解：是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．
故选：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式，顶点坐标是，对称轴是．
2. 若反比例函数y＝﹣的图象经过点A（2，m），则m的值是（ ）
A. B. 2C. ﹣D. ﹣2
【答案】C
【解析】
【分析】把点A（2，m）代入反比例函数中，即可得到m的值.
【详解】∵反比例函数y=﹣的图象经过点A（2，m），
∴.
故选C.
【点睛】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，注意：反比例函数解析式中横纵坐标的乘积为定值k．
3. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形．由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：由图可得：，
∴．
故选：D．
4. 如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ）
A. 50°B. 60°C. 80°D. 100°
【答案】D
【解析】
【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．
【详解】圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°.
故选D．
【点睛】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
5. 如果，那么下列各式中不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据比例式的性质得出的关系，分别代入四个选项即可得出答案，也可用特殊值法求出；此题主要考查了比例式的性质，利用特殊值法进行排除更为简单，也是数学中的重要思想．
【详解】解：
设
A、，该选项成立；
B、，该选项成立；
C、，该选项成立；
D、，该选项不成立；
故选：D．
6. 如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．B的坐标为．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用．如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心，即可求解．
【详解】解：如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心，
由图得点D的坐标为．
故该圆弧所在圆圆心坐标是．
故选：B．
7. 如图一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东方向上距离A处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是（ ）
A. 0.5小时B. 0.75小时C. 0.8小时D. 1.25小时
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求得，再结合勾股定理，根据追及问题求法计算即可；
此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识相结合是解题的关键．
【详解】∵走私船在处的南偏东方向上，
，
走私船在处沿南偏西方向行驶，
，
设追上走私船所需时间是小时，
则
解得 (不合题意，舍去)或
故选：C．
8. 下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了位似变换，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点所在直线的交点是位似中心，据此求解即可．
【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形，
图3中不平行，即与不成位似图形，
故选；C．
9. 二次函数的图象如图所示，则点在（ ）

A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数系数符号的确定以及第三象限点的坐标特点，由抛物线的开口向下知，由与y轴的交点为在y轴的正半轴上可以得到，由对称轴在y轴的左侧为可以推出，然后根据象限的特点即可得出答案．
【详解】解：由图象可知
∴，
∴点在第三象限，
故选C．
10. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，于点，那么的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的面积，连接，由正方形的性质得到，，利用勾股定理可求得，，，再根据三角形的面积得到，代入已求计算即可求解，由正方形的性质得到是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵正方形和正方形，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
故选：．
二、填空题
11. 将抛物线向右平移2个单位后的解析式为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数图像的平移方法“左加右减，上加下减”直接进行解答即可；
本题主要考查二次函数的图像平移，熟练掌握二次函数图像的平移是解题的关键．
【详解】解：由抛物线向右平移2个单位，
得到新的抛物线的解析式是：
故答案为：
12. 已知线段，，则a，b比例中项线段长是______.
【答案】4
【解析】
【分析】设线段a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义可知，，求得c的值，注意两条线段的比例中项为正数．
【详解】解：设线段a，b的比例中项为c，
∵c是长度分别为2、8的两条线段的比例中项，
∴，
即，
∴（负数舍去），
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了比例线段．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果，即，那么b叫做a与c的比例中项．
13. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=______．
【答案】4-
【解析】
【详解】解：如图，连接OC，
∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，
∵在中，

故答案为：
14. 抛物线交x轴于，，交y轴的负半轴于C，顶点为D．
（1）当是等腰直角三角形时，点D的坐标为________；
（2）当是直角三角形时，a的值为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据题意得出，即可求出；
（2）设，结合勾股定理求出点坐标，结合计算即可；
本题主要考查二次函数及图象，勾股定理，根与系数关系，采用数形结合的方法是解题的关键．
【详解】（1）当是等腰直角三角形时，
,
，
,
,
在第四象限，
,
对称轴为,
点坐标为
（2）设
是直角三角形，，
解得：
在负半轴
三、解答题
15. 已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值．
【答案】，，
【解析】
【分析】由题意设出抛物线为，把代入即可求出；本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】解：由题意设抛物线为；
把代入，得：
解得：
∴
∴，，
16. 如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆分别交AD，BC于F，G，延长BA交圆于E．求证： =．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】连接AG，由AB=AG，推出∠ABG=∠AGB，根据平行线性质推出∠EAD=∠ABG，∠DAG=∠AGB，推出∠EAF=∠FAG即可．
【详解】连接AG，
∵A为圆心，∴AB=AG，
∴∠ABG=∠AGB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠AGB=∠DAG，∠EAD=∠ABG，
∴∠DAG=∠EAD，
∴ .
【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，弧、弦、圆心角的头等等，解题的关键是求出∠EAF=∠FAG．
四、解答题
17. 如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）求出与的位似比；
（3）以点P为位似中心，在所给的网格图的右边再画一个，使它与的位似比等于2．
【答案】（1）见解析 （2）与的位似比为．
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）本题考查位似作图和位似中心的特点，根据各对应点连线所在直线的交点即为位似中心，画出图形，即可解题．
（2）本题考查位似比，由（1）中图形，得出，的长度，利用，即可求得与的位似比．
（3）本题考查位似作图，根据点P为位似中心，与的位似比等于2，延长到，使，延长到，使，延长到，使，即找出顶点的对应点、、，依次连接对应点，就是所求作的三角形．
【小问1详解】
解：如图所示：点O就是位似中心．
小问2详解】
解：由（1）知，，，
，
与的位似比为．
【小问3详解】
解：如图所示：就是所求作的三角形．
18. 如图，在△ABC中，∠BAC=135°，AB=20，AC=30，求△ABC的面积．
【答案】
【解析】
【分析】过点B作BE⊥AC，根据勾股定理可求得BE，再根据三角形的面积公式求出答案．
【详解】解：过点作，垂足为点．
，
．
在中，．
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理以及三角形的面积公式，是基础知识比较简单．
五、解答题
19. 如图，已知一次函数y=kx﹣3（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=（x＞0）交于C点，且AB=AC，则k的值为_____．
【答案】k=
【解析】
【详解】试题分析：如图：作CD⊥x轴于D，则OB∥CD，∴△AOB∽△ADC，
∴，∵AB=AC，∴OB=CD，
由直线y=kx﹣3（k≠0）可知B（0，﹣3），∴OB=3，∴CD=3，
把y=3代入y=（x＞0）解得，x=4，∴C（4，3），
代入y=kx﹣3（k≠0）得，3=4k﹣3，解得k=，
故答案为．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
20. 如图，点A、B为地球仪的南、北极点，直线与放置地球仪的平面交于点D，所成的角度约为，半径所在的直线与放置平面垂直，垂足为点E．，．求半径的长．（精确到） （参考数据：，）
【答案】半径的长约为．
【解析】
【分析】首先根据中的余弦值得出的长度，然后利用得出答案．本题主要考查的是解直角三角形的实际应用问题，属于基础题型．找准直角三角形，选择合适的三角函数是解决这个问题的关键．
【详解】解：在中，，，
∵，
∴，
∴
答：半径的长约为．
21. 如图，已知是的一条弦，是的直径且于点．
（1）若，求的长；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由DE⊥AB，得∠OCA＝90°，OC＝3，OA＝5，通过勾股定理即可求出AC；由DE是⊙O的直径，所以DE平分AB，得到AB＝2AC，即可得到AB；
（2）由OA＝OE，得∠EAO＝∠E，而直径DE⊥AB，则，所以∠E＝∠BAD，由此得到∠EAO＝∠BAD．
【详解】（1）∵DE⊥AB
∴∠OCA=90°，
则OC2+AC2=OA2
又∵OC＝3，OA＝5，
∴AC=4，
∵DE是⊙O的直径，且DE⊥AB，
∴AB＝2AC=8
（2）证明∵ EO=AO，
∴∠E=∠EAO
又∵DE是⊙O的直径，且DE⊥AB，
∴，
∴∠E=∠BAD
∴∠EAO＝∠BAD．
【点睛】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了垂径定理以及勾股定理．
22. 如图，点E是正方形边上一点，过E作的垂线，交于点F，交的延长线于点G．

（1）求证：；
（2）若正方形的边长为4．
①当点E是的中点，求的长；
②当取最大值时，的长为多少？
【答案】（1）证明见解析；
（2）①1；②当取最大值时，的长为2．
【解析】
【分析】（1）根据题意两个都是直角，再得出，即可证出；
（2）①根据相似性质和E为BC中点，得出，即可求出；②设，，
得到，再根据相似性质，得到的关系式，结合二次函数的性质即可求出；
本题主要考查正方形的性质，相似三角形的证明及性质，熟悉以上知识并采用数形结合的方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴
∵，
∴，
∴，
又∵
∴．
【小问2详解】
①∵
∴；
∵E为BC中点，
∴；
∴，
∴
∴
②设，，
∴；
由（1）知：，
∴；
即：
∴
∵，
∴当时，y有最大值1．
即：当取最大值时，的长为2．
23. 如图，抛物线的顶点A在直线上，直线与抛物线的另一个交点为点B，与y轴的交点为C．

（1）若点B与点C重合时，求此时抛物线的解析式；
（2）移动点A，另一个交点B，也随之移动，试求出AB的长；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得由A，B，O，P四个点构成的四边形为平行四边形；若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在，当四边形为平行四边形时，抛物线为：
或：
或：
或：.
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合，求出二次函数的解析式是解题的关键：
（1）先求出，设，抛物线，把代入求得，即可得出答案；
（2）设，则抛物线为，根据，得出，，得出B的坐标为，进而得出点E的坐标为，求出，，进而得出答案；
（3）若为四边形的对角线，则点P在直线的上面，此时四边形不是平行四边形；因此，只可能与是对边，由（2）知：此时点P的左边只能是或； 当P为时，得出，当P为时， 求得：，进而可得出答案．
【小问1详解】
解：（1）当时，，
∴，
又点A在直线上，
设，
∴抛物线，把代入得：
解得：（舍去）
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
设，
∴抛物线为，
由，
得：，
∴，，
即点B横坐标为，
∴B的坐标为，
如图：轴，轴；
则点E的坐标为，
∴，，
∴
【小问3详解】
若为四边形的对角线，则点P在直线的上面，此时四边形不是平行四边形；因此，只可能与是对边，由（2）知：此时点P的左边只能是或；
当P为时，代入：，得：
解得：，
当P为时，代入：，得：
解得：，
即：当四边形为平行四边形时，抛物线为：
或：
或：
或：