2023-2024学年安徽省六安市金安区九年级上学期数学月考试题及答案

这是一份2023-2024学年安徽省六安市金安区九年级上学期数学月考试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据嘴贱二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A选项，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B选项，＝2，被开方数中含有能开得尽方的因数，不符合题意；
C选项，，被开方数中含有能开得尽方的因数，不符合题意；
D选项，是最简二次根式，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须同时满足两个条件：(1)被开方数不能含有分母；(2)被开方数中不能含有能开得尽方的因数．
2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 2，3，4
C. 1 ， D. ，3，5
【答案】C
【解析】
【分析】求出两小边的平方和、最长边的平方，看看是否相等即可．
【详解】A．∵12+22≠32，∴以1，2，3为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
B．∵22+32≠42，∴以2，3，4为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C．∵12+（）2=（）2，∴以1，，为边组成的三角形是直角三角形，故本选项正确；
D．∵（）2+32≠52，∴以，3，5为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解答此题的关键．
3. 是关于的一元二次方程的解，则（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值
【详解】解：将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，
得a+2b＝－1，
2a+4b＝2（a+2b）
＝2×（－1）
＝－2.
故选A.
【点睛】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键
4. 一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数是（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】根据多边形的外角和等于，用360除以一个多边形的每个外角的度数，求出这个多边形的边数是多少即可．
【详解】解：，
这个多边形的边数是8．
故选A．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角与外角，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：多边形的外角和等于．
5. 某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】根据解一元二次方程配方法即可得出结果．
【详解】解：对于甲的化简结果，应要两边同时除以2，
∴乙的化简结果应为：
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程一配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键．
6. 若将抛物线y=2x2+1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先确定抛物线y=2x2+1的顶点坐标为（0，1），利用点平移的规律得到点（0，1）平移后所得对应点的坐标为（-1，-1），然后利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．
【详解】解：抛物线y=2x2+1的顶点坐标为（0，1），点（0，1）向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（-1，-1），所以新抛物线的解析式为y=2（x+1）2-1．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：可以只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
7. 如图，在中，，，D、E、F分别为，、的中点，连接、，相交于点，则的长是（ ）

A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线的性质求出，然后证明即可求出的长．
【详解】解：∵，，
∴．
∵F为的中点，
∴，
∴．
∵D、E分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴．
同理可证：，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解答本题的关键．
8. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得，，的值，比较大小即可．
【详解】解：∵，，是抛物线上的三点，
∴，，，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
9. 如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，得出动点在与平行且与的距离是的直线上，作关于直线的对称点，连接，连接，则的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值．
【详解】解：设中边上的高是．
，
，
，
动点在与平行且与的距离是的直线上，
如图，作关于直线的对称点，连接，，则的长就是的最小值．

在中，，，
，
即的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．
10. 如图，抛物线交x轴于，B两点，与y轴的交点C在，之间（包含端点），抛物线对称轴为直线，有以下结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤若，是抛物线上的两点，当时，；

其中结论正确的是（ ）
A. ①②④B. ②③④C. ②③⑤D. ③④⑤
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由图象及题意可知：，根据对称轴为直线得，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线交x轴于，
∴，
∴，故②正确；
∴，
∵，
∴，
∴；故③正确；
当时，该抛物线有最高点，即最大值是，
当时，则有，
∴，即为（m为实数），故④错误；
∵若，是抛物线上的两点，且对称轴为直线，
∴，
根据抛物线的对称性可知点C的对称点为，则当时，；故⑤正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 函数y=中，自变量x的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意得，，
解得．
12. 如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为______．
【答案】10
【解析】
【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得，然后证明，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【详解】解：由于、、都是正方形，所以，；
，
即，
在和中，
，
，
，；
在中，由勾股定理得：，
即，
的面积为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明．
13. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点，则关于的不等式的解集是________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】∵两函数图象相交于A(−1,2)、B(4,1)两点，
∴不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是x4.
故答案为x4.
【点睛】本题考查函数值y与某个数值m之间不等关系，解题的关键①一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
14. 如图，四边形纸片中，点E，F分别在边，上，将纸片沿直线折叠，点C恰好落在点A处；再将，分别沿，折叠，点B，D均落在上的点G处．
（1）的大小为 _____°；
（2）若四边形是菱形，点G为中点且四边形纸片的面积是，则_____．
【答案】 ①. 60 ②.
【解析】
【分析】（1）根据折叠可知，，，，，，再利用四边形内角和得出，得出即可得出答案；
（2）根据四边形是菱形，得出，，根据点G为中点，得出，设，则，得出，根据四边形面积公式列出方程解方程得出，即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，由翻折的性质得：
，，，，，
∵，
∴，
∵四边形内角和为，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）∵四边形是菱形，
∴，，
∵点G为中点，
∴，
设，则，
∴，
∴四边形纸片的面积是：
，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，三角形面积的计算，菱形的计算，解题的关键是掌握折叠的性质，三角形面积的计算．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质以及二次根式的除法、求一个数的立方根进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的除法、求一个数的立方根，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的运算法则、立方根的定义是解题的关键．
16. 解方程：．（因式分解法）
【答案】，．
【解析】
【分析】先移项，再把方程的左边利用十字乘法分解因式，再把原方程化为两个一次方程，从而可得答案．
【详解】解：，
移项得：

或
解得：
【点睛】本题考查的是利用因式分解解一元二次方程，掌握“利用因式分解的方法把原方程化为两个一次方程”是解本题的关键．
17. 将二次函数化为顶点式并写出它的顶点坐标．
【答案】抛物线的对称轴为直线，顶点坐标
【解析】
【分析】利用配方法把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
【详解】解：，
所以抛物线的对称轴为直线，顶点坐标．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由关于x的一元二次方程有两个实数根可知：“根的判别式”，由此列出关于“m”的不等式即可解出“m”的取值范围；
（2）由p是方程的一个实数根，可得，从而可得，代入中，可得关于“m”的方程，解方程并结合（1）中所得“m”的取值范围可求得此时“m”的值．
【小问1详解】
根据题意得，
解得，
即m的取值范围是；
【小问2详解】
p是方程的一个实数根，
∴，即，
又∵，
∴，
解得：或3．
又∵，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，方程的解，解一元二次方程等知识，掌握一元二次方程根的判别式和解一元二次方程是解题的关键．
19. 观察下列关于自然数的等式：①；②；③；…
根据上述规律解决下列问题：
（1）请仿照①、②、③，直接写出第个等式： ．
（2）请写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性．
【答案】（1）；（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）观察已知等式得到第4个等式即可；
（2）归纳总结作出猜想得到第个等式，运用整式乘法的运算法则验证即可．
【详解】解：（1）由题意可得：第4个等式为；
故答案为：；
（2）猜想第个等式为：，证明如下：
左式，右式，
左式右式，
该等式成立．
【点睛】此题考查了数字类的规律探究及整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
20. 如图，中，，、的角平分线交于点，于，于；

（1）问四边形是正方形吗？请说明理由．
（2）若，，则的长为多少？
【答案】（1）是，理由见解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）首先利用垂直的定义证得四边形是矩形，然后利用角平分线的性质得到，从而判定该四边形是正方形．
（2）由勾股定理求出，由正方形的性质得出，设，则的面积的面积的面积正方形的面积的面积，解方程即可．
【小问1详解】
解：四边形是正方形，理由如下：
，于点，于点，
四边形为矩形，
、的平分线交于点，
在的平分线上，
，
四边形是正方形．
【小问2详解】
，
，
四边形是正方形，
，
设，
则的面积的面积的面积正方形的面积的面积
，
解得：，
即的长为2．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是利用正方形的判定方法证得四边形是正方形．
21. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如下：

八年级名学生活动成绩统计表
已知八年级名学生活动成绩的中位数为分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为分的学生数是______________，七年级活动成绩的众数为______________分；
（2）______________，______________；
（3）若认定活动成绩不低于分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据扇形统计图得出七年级活动成绩为分的学生数的占比为，即可得出七年级活动成绩为分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解；
（2）根据中位数的定义，得出第名学生为分，第名学生为分，进而求得，的值，即可求解；
（3）分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解．
【小问1详解】
解：根据扇形统计图，七年级活动成绩为分的学生数的占比为
∴样本中，七年级活动成绩为分学生数是，
根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为
故答案为：．
【小问2详解】
∵八年级名学生活动成绩的中位数为分，
第名学生为分，第名学生为分，
∴，
，
故答案为：．
【小问3详解】
优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下，
七年级优秀率为，平均成绩为：，
八年级优秀率为，平均成绩为：，
∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高，
∴优秀率高的年级不是平均成绩也高
【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是解题的关键．
22. 某网店3月份经营一种热销商品，每件成本20元，发现三周内售价在持续提升，销售单价P（元/件）与时间t（天）之间的函数关系为（其中，t为整数），且其日销售量y（件）与时间t（天）的关系如下表．
（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，请直接写出y（件）与时间t（天）函数关系式；
（2）在这三周的销售中，第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
（3）在实际销售的21天中，该网店每销售一件商品就捐赠a元利润（）给“精准扶贫”的对象，通过销售记录发现，这21天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．
【答案】（1）y（件）与时间t（天）函数关系式是
（2）第10天的销售利润最大，最大利润是1250元
（3）a的取值范围是
【解析】
【分析】（1）设，选择表格中的两组对应值代入函数关系式，求出k，b的值即可；
（2）根据题意，可以得到利润和t之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可解答本题；
（3）根据题意，可以得到每天扣除捐赠后的日销售利润与t之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可求得a的取值范围．
【小问1详解】
解：设y（件）与时间t（天）函数关系式是，
由题意得，
解得，
∴y（件）与时间t（天）函数关系式是；
【小问2详解】
解：设日销售利润w元，
由题意得
，
∵，
∴当时，w取得最大值，此时，
答：第10天的销售利润最大，最大利润是1250元；
【小问3详解】
解：设捐赠后的每日的销售利润为元，
，
∴函数的对称轴是，
∵这21天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，
∴，
解得，，
又∵，
∴，即a的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过点，．
（1）求抛物线的表达式．
（2）直线（其中）与线段交于点，与抛物线交于点，连接，当线段长度最大时，求证：四边形是平行四边形．
（3）在（2）的条件下，连接，过点的直线与抛物线交于点，若．求点的坐标．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据直线经过点B，C，求出B点和C点的坐标，再用待定系数法求解析式即可；
（2）由题知，，根据二次函数的性质求出的最大值，根据平行且等于得出四边形是平行四边形即可；
（3）由，得出直线和直线关于直线对称，由（2）得出Q点的坐标，A的对称点A'的坐标，求出直线的解析式，联立直线和抛物线解析式即可得出D点的坐标．
【小问1详解】
解：∵直线经过点B，C，
当 时，，
∴，
即，
当时，，
∴，
即，
∵点B、C在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
小问2详解】
证明：∵，，
∴．
∵，有最大值，且当时，的最大值为4．此时．
又∵，
∴四边形为平行四边形．
【小问3详解】
解：∵，
∴直线和直线关于直线对称．由（2）知，当线段最大时，直线的解析式为．
此时，．
设与x轴的交点为，则A和关于PQ对称，即点的坐标为．
设直线的解析式为，代入点，的坐标，得，
解得，．
∴直线的解析式为．
联立，解得，，
∵，
∴点的坐标为．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式等知识点，熟练掌握待定系数法求解析式及二次函数的性质等知识是解题的关键．
成绩/分
人数
时间t（天）
1
5
9
13
17
21
日销售量y（件）
118
110
102
94
86
78