四川省成都市武侯区西川实验学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷-A4

这是一份四川省成都市武侯区西川实验学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷-A4，共32页。试卷主要包含了已知△△，若，，则的度数是等内容，欢迎下载使用。
一.选择题（共8小题）
1．（3分）将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的左视图是
A．B．
C．D．
2．（3分）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A．B．且C．且D．
3．（3分）已知△△，若，，则的度数是
A．B．C．D．
4．（3分）已知四边形是平行四边形，与相交于点，下列结论正确的有
①当时，它是菱形；②时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形．
A．4个B．3个C．2个D．1个
5．（3分）下列函数中，当时，的值随值的增大而增大的是
A．B．C．D．
6．（3分）如图，与位似，点为位似中心，且为的中点，则与的周长比为
A．B．C．D．
7．（3分）在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是
A．B．
C．D．
8．（3分）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有支，根据题意，下面列出的方程正确的是
A．B．C．D．
二.填空题（共5小题）
9．（3分）已知是方程的一个根，则的值是 ．
10．（3分）在反比例函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为 ．（用“”连接）
11．（3分）如图，在矩形中，，，对角线，交于点，点，分别为，的中点，则△的面积为 ．
12．（3分）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为 ．
13．（3分）如图，△中，，，，点在线段上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，交的延长线于点，以点为圆心，长为半径作弧，交圆弧于点，连接，过点作，垂足为点，则线段的长为 ．
三.解答题（共5大题）
14．计算：
（1）；
（2）．
15．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节、时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（结果保留整数．参考数据：，，，
16．某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为，，，四个等级．其等级对应的分值分别为100分分、90分分、80分分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题．
（1）由图可知该校初三共 名学生，比赛成绩等级为级的学生人数是 人；
（2）请补全条形统计图，由图可知的值为 ；
（3）初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，年级要求从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的2人中至少有1个男生的概率．
17．如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为．
（1）求证：△△；
（2）若，，求的长．
18．如图，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，且．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）点是轴上一动点，连接，，当△面积为6时，请求出点的坐标；
（3）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
一.填空题（共5小题）
19．（3分）已知，是方程的两个根，则 ．
20．（3分）从，，1，2这四个数中任取一个作为的值，再从余下的三个数中任取一个数作为的值，则不等式组有整数解的概率是 ．
21．（3分）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且与轴垂直，点是线段与反比例函数图象的一个交点，且点为线段的三等分点，若图中阴影部分的面积等于18，则的值为 ．
22．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形相交于，两点，其中点坐标为，点的横坐标为，点，分别在轴和轴的正半轴上，连接，，则与相交于点，连接，当△是直角三角形时，则的值为 ．
23．（3分）定义：若实数，满足，，且为常数），则称点为“友好点”，若有一个函数满足，其上存在“友好点”，则的取值范围是 ．
三.解答题（共3大题）
24．某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件与每件售价（元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利（元．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）该商场规定这种商品每件售价不得高于40元，商场要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
25．在平面直角坐标系中，已知点不与原点重合．对于点给出如下定义：点关于点的对称点为．点关于直线的对称点为，称点是点关于点的“双称点”．
（1）已知点，，点是点关于点的“双称点”．
①当时，则点的坐标为 ；
②试判断的长度是否为定值，若是，请求出的长；若不是，请用的代数式表示；
（2）若点，，其中．点是点关于点的“双称点”，则当，，三点构成的三角形为等边三角形时，求出的值；
（3）已知点，△是边长为2的等边三角形（点，，按逆时针方向排列），点是点关于点的“双称点”，在△绕点旋转的过程中，当最大时，直接写出此时的长．
26．【研究背景】
小西同学用一张长方形纸片对不同折法下的折痕进行了探究，如图，已知，，点，分别在边，上，且．
【初始探究】
（1）小西将纸片沿直线翻折，点的对应点为，点的对应点恰好落在对角线上．
①求线段的长度；
②若点为线段上一动点，求的最小值．
【拓展提升】
（2）在（1）的条件下，在，上取点，，沿着直线继续翻折，使点与点重合，求折痕长．
2024-2025学年四川省成都市武侯区西川实验学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题）
1．（3分）将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的左视图是
A．B．
C．D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，可得选项的图形，
故选：．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
2．（3分）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A．B．且C．且D．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得且△，
解得且．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
3．（3分）已知△△，若，，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：△△，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
4．（3分）已知四边形是平行四边形，与相交于点，下列结论正确的有
①当时，它是菱形；②时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】利用菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断，即可得到答案．
【解答】解：四边形是平行四边形，
当时，无法证明平行四边形是菱形，故①结论错误；
当时，即平行四边形是菱形，故②结论正确；
当时，即平行四边形是矩形，故③结论正确；
当时，即平行四边形是矩形，故④结论错误；
故选：．
【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相关的判定定理．
5．（3分）下列函数中，当时，的值随值的增大而增大的是
A．B．C．D．
【分析】根据各函数性质逐项分析判断即可．
【解答】解：、，，图象分布在第二、四象限，时，随的增大而增大，符合题意；
、二次函数开口向下，对称轴是轴，时，随的增大而减小，不符合题意；
、，，随的增大而减小，不符合题意；
、反比例函数，在每个象限内，随的增大而减小，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、二次函数的性质，熟练掌握相关函数的性质是关键．
6．（3分）如图，与位似，点为位似中心，且为的中点，则与的周长比为
A．B．C．D．
【分析】由位似比可推出两个三角形的相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比即可选择．
【解答】解：与位似，
，
为的中点，
，
与的位似比为，
与的相似比为，
与的周长比为．
故选：．
【点评】本题考查位似图形的概念和性质，掌握位似图形的位似比等于相似比、相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
7．（3分）在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是
A．B．
C．D．
【分析】根据、的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
【解答】解：，
①若，，则经过一、三、四象限，反比例函数位于二、四象限，
②若，，则经过一、二、四象限，反比例函数位于一、三象限，
只有选项符合题意，
故选：．
【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象．
8．（3分）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有支，根据题意，下面列出的方程正确的是
A．B．C．D．
【分析】设有个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛110场，可列出方程．
【解答】解：设有个队参赛，则
．
故选：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
二.填空题（共5小题）
9．（3分）已知是方程的一个根，则的值是 4 ．
【分析】根据方程根的定义求解即可．
【解答】解：是方程的一个根，
，
．
故答案为：4．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义．
10．（3分）在反比例函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为 ．（用“”连接）
【分析】根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，然后利用得到，．
【解答】解：，
反比例函数图象在第一、三象限，
，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
11．（3分）如图，在矩形中，，，对角线，交于点，点，分别为，的中点，则△的面积为 ．
【分析】证明△△，利用相似三角形的性质求出△的面积即可．
【解答】解：四边形是矩形，
，
，
，
，，
，，
△△，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．（3分）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为 ．
【分析】作辅助线使直角三角形中，然后用正弦函数的定义即可．
【解答】解：作如图所示的辅助线，则，
，，
，
故答案为．
【点评】本题主要考查三角函数的定义，关键在作出辅助线，才能用三角函数的定义计算的值．
13．（3分）如图，△中，，，，点在线段上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，交的延长线于点，以点为圆心，长为半径作弧，交圆弧于点，连接，过点作，垂足为点，则线段的长为 2.4 ．
【分析】证明△△，得到，代入有关数据即可求解．
【解答】解：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
．
故答案为：2.4．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
三.解答题（共5大题）
14．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．
（2）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂及二次根式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1），
，
，
则或，
所以，．
（2）原式
．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法、负整数指数幂、二次根式的混合运算及特殊角的三角函数值，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及特殊角的三角函数值是解题的关键．
15．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节、时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（结果保留整数．参考数据：，，，
【分析】过点作于，设每节拉杆的长度为 ，根据正弦的定义用分别表示出、，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：如图1，过点作于，
设每节拉杆的长度为 ，则，，
如图1，在△中，，
，
，
如图2，在△中，，
，
，
由题意得：，
解得：，
答：每节拉杆的长度约为．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡度问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
16．某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为，，，四个等级．其等级对应的分值分别为100分分、90分分、80分分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题．
（1）由图可知该校初三共 500 名学生，比赛成绩等级为级的学生人数是 人；
（2）请补全条形统计图，由图可知的值为 ；
（3）初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，年级要求从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的2人中至少有1个男生的概率．
【分析】（1）用等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用总人数乘以等级人数所占的百分比得到等级人数；
（2）先用1分别减去、、等级的百分比得到等级所占的百分比，从而确定的值，然后补全条形统计图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取的2人中至少有1个男生的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）（名，
所以该校初三共500名学生，
比赛成绩等级为级的学生人数为（名；
故答案为：500，210；
（2）等级人数所占的百分比为，
所以，
补全条形统计图为：
故答案为：18；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个男生的结果数为10种，
所以抽取的2人中至少有1个男生的概率．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
17．如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为．
（1）求证：△△；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）由四边形是矩形，得到，，从而有，根据得，即可求证；
（2）设，由△△得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
△△；
（2）解：设，
在△中，，
，
，
，点为的中点，
，
△△，
，
，
，且，
，
解得，
．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
18．如图，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，且．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）点是轴上一动点，连接，，当△面积为6时，请求出点的坐标；
（3）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把代入，即可求得反比例函数的解析式，过点作轴于点，过点作轴于点，可得△△，利用相似三角形性质可求得点的坐标，再运用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）设直线交轴于点，可得，设，则，利用三角形面积公式即可求得答案；
（3）设交轴于点，可证得△△，得出，进而求得直线的解析式，再联立方程组求解即可求得答案．
【解答】解：（1）反比例函数经过点，
，
反比例函数的解析式为；
如图1，过点作轴于点，过点作轴于点，
则，
设，又，
，，，，
，
，，
△△，
，
，
，
，
，即，
解得，
，
把和分别代入，得：，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）设直线交轴于点，如图2，
则，
设，则，
，
，
解得：或7，
点的坐标为或；
（3）存在，如图3，设交轴于点，
直线与轴交于点，
，
解得，
，
线段绕点顺时针旋转，得到线段，
，，
，
，
，，
，
△△，
，
即，
，
，
直线的解析式为，
联立得，
解得：，．
点的坐标为，或，．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，三角形面积，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
一.填空题（共5小题）
19．（3分）已知，是方程的两个根，则 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数关系，得到，，从而得到结果．
【解答】解：，是方程的两个根，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
20．（3分）从，，1，2这四个数中任取一个作为的值，再从余下的三个数中任取一个数作为的值，则不等式组有整数解的概率是 ．
【分析】先根据题意列出树状图，找出符合题意的四种情况．
【解答】解：列树状图如图所示，
共12中情况；
不等式组有整数解，
，
符合条件的有①，，②，，③，，④，，共四种情况，
不等式组有整数解的概率是，
故答案为．
【点评】此题是一元一次不等式组的整数解，主要考查了树状图的画法，概率的确定，解本题的关键是列出树状图，难点是找出符合条件的几种可能．
21．（3分）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且与轴垂直，点是线段与反比例函数图象的一个交点，且点为线段的三等分点，若图中阴影部分的面积等于18，则的值为 ．
【分析】连接，根据图中阴影部分的面积等于18，得到一个小正方形的面积为18，求得正方形的面积，得到，得到，，于是得到结论．
【解答】解：连接，
图中阴影部分的面积等于18，
一个小正方形的面积为18，
正方形的面积，
，
点为线段的三等分点，
，，
，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数图象的对称性与正方形的性质，正确地识别图形是解题的关键．
22．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形相交于，两点，其中点坐标为，点的横坐标为，点，分别在轴和轴的正半轴上，连接，，则与相交于点，连接，当△是直角三角形时，则的值为 4或2 ．
【分析】依题意得点，点，点，，，当△是直角三角形时，有以下两种情况：①当时，证明△和△相似，利用相似三角形的性质可求出的值；②当时，证明△和△相似得，进而得△是等腰直角三角形，则，即，解此方程可求出的值，综上所述即可得出答案．
【解答】解：点，点的横坐标为，四边形是矩形，
点，点，，，
，，，
点在反比例函数的图象上，
点的坐标为，
，
，，
，
，
当△是直角三角形时，有以下两种情况：
①当时，如图1所示：
则，
又，
，
又，
△△，
，
，
即，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
②当时，如图2所示：
，，
，
又，
△△，
，
，
，
，
又，
，
△是等腰直角三角形，
，
，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
综上所述：当△是直角三角形时，则的值为4或2．
故答案为：4或2．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
23．（3分）定义：若实数，满足，，且为常数），则称点为“友好点”，若有一个函数满足，其上存在“友好点”，则的取值范围是 ．
【分析】根据题意得到，整理得到，由，且，求得，于是得到结论．
【解答】解：有一个函数满足，其上存在“友好点”，
反比例函数的图象上存在“友好点”，
，
①②得，
，
，
，
，
，
整理得，
，且，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了新定义，函数图象上点的坐标特征和二次函数的增减性，熟练掌握以上知识点是关键．
三.解答题（共3大题）
24．某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件与每件售价（元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利（元．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）该商场规定这种商品每件售价不得高于40元，商场要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
【分析】（1）直接根据待定系数法求解析式即可；
（2）根据商场要想获得600元的利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设与之间的函数关系式为，
由题意得：，
解得：，
与的函数关系式为；
（2），
，
即与之间的函数关系式为；
（3）根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：每件商品的售价应定为30元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．在平面直角坐标系中，已知点不与原点重合．对于点给出如下定义：点关于点的对称点为．点关于直线的对称点为，称点是点关于点的“双称点”．
（1）已知点，，点是点关于点的“双称点”．
①当时，则点的坐标为 ；
②试判断的长度是否为定值，若是，请求出的长；若不是，请用的代数式表示；
（2）若点，，其中．点是点关于点的“双称点”，则当，，三点构成的三角形为等边三角形时，求出的值；
（3）已知点，△是边长为2的等边三角形（点，，按逆时针方向排列），点是点关于点的“双称点”，在△绕点旋转的过程中，当最大时，直接写出此时的长．
【分析】（1）①根据“转称点”的定义画出点的位置．即可写出点的坐标；
②由题意可得，轴，根据两点的距离求解即可；
（2）连接，，，，利用中心对称的性质得到，利用轴对称的性质得到，则根据直角三角形的判定定理得到，利用菱形的判定定理得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；
（3）画出图形，可得在△绕点旋转的过程中，当、，、共线时，最大，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）①当时，点，，如图：
点是点关于点的“双称点”，
，，，
，
，
．
故答案为：；
②的长度为定值，的长为2．理由：
点，，点关于点的对称点为，
，
点关于直线的对称点为，
，
，
轴，
．
的长度与有无关，的长为2；
（2）连接，，，，如图，
点关于点的对称点为，
，
，，
，
．
，，
．
点关于直线的对称点为，
，，，
，
，
，
，
当，，三点构成的三角形为等边三角形时，
，．
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
．
，
，
．
（3）如图：
由“转称点”的定义得为的中点，为的中点，，
，，
当最大时，最大，
由图得在△绕点旋转的过程中，当、，、共线时，最大，
如图1：过点作于点，
△是边长为2的等边三角形
，，，
点，
，
，
．
如图2：过点作于点，
△是边长为2的等边三角形
，，，
点，
，
，
．
综上，当最大时，的长为或．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的特征，几何变换的特征与性质，中心对称和轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．
26．【研究背景】
小西同学用一张长方形纸片对不同折法下的折痕进行了探究，如图，已知，，点，分别在边，上，且．
【初始探究】
（1）小西将纸片沿直线翻折，点的对应点为，点的对应点恰好落在对角线上．
①求线段的长度；
②若点为线段上一动点，求的最小值．
【拓展提升】
（2）在（1）的条件下，在，上取点，，沿着直线继续翻折，使点与点重合，求折痕长．
【分析】（1）①由，即可求解；
②过点作交过点和的平行线于点，交于点，点即为所求点，即可求解；
（2）由得，，即可求解．
【解答】解：（1）①设，则，
则，，
过点作于点，设交于点，
由翻折的性质知，，
则，
则；
②过点作交过点和的平行线于点，交于点，点即为所求点，则，
理由：为最小值，
则，
则的最小值；
（2），则，
连接、，则，
设，则，，
由得，，
即，
解得：，
则，
则，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
C
C
A
B
A
D