安徽省安庆市石化第一中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省安庆市石化第一中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列函数是二次函数的是（ ）
A. y＝ax2+bx+cB. y＝+x
C. y＝x（2x﹣1）D. y＝（x+4）2﹣x2
【答案】C
【解析】
【分析】形如：，则是的二次函数，根据定义逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】A. ，不是二次函数，故该选项不符合题意；
B. y＝+x，不是二次函数，故该选项不符合题意；
C. y＝x（2x﹣1）=，是二次函数，故该选项符合题意；
D. y＝（x+4）2﹣x2，不是二次函数，故该选项不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
2. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线顶点式：，直接得到抛物线的顶点坐标．
【详解】解：由抛物线为：，
抛物线的顶点为：
故选B．
【点睛】本题考查的是抛物线的顶点坐标，掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
3. 关于抛物线，下列说法错误的是( )
A. 开口向上B. 当时，y随x的增大而减小
C. 对称轴是直线D. 顶点
【答案】B
【解析】
【分析】二次函数的图像和性质，根据解析式画出图像，即可得到答案．
【详解】接：根据解析式，画出二次函数图像，如图所示，
A．开口向上，说法正确，不符合题意；
B．当时，y随x的增大而增大，说法错误，符合题意；
C．对称轴是直线，说法正确，不符合题意；
D．顶点，说法正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，图像的开口方向、图像的增减性、对称轴、顶点坐标是本题的关键．
4. 由函数的图像平移得到函数的图像，则这个平移是（ ）
A. 先向左平移4个单位，再向下平移5个单位
B. 先向左平移4个单位，再向上平移5个单位
C. 先向右平移4个单位，再向下平移5个单位
D. 先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了抛物线图象的平移， 求得原抛物线的顶点坐标及新抛物线的顶点坐标，看顶点坐标是如何平移得到的即可，解题的关键知道抛物线图象的平移和抛物线顶点的平移一致．
【详解】解：∵函数 的顶点为， 函数的顶点为，
∴向右平移4个单位，再向上平移5个单位可得到,
∴函数图象的平移也是先向右平移4个单位，再向上平移5个单位得到的，
故选：．
5. 下列二次函数中有一个函数的图像与x轴有两个不同的交点，这个函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：分别对A、B、C、D四个选项进行一一验证，令y=0，转化为一元二次方程，根据根的判别式来判断方程是否有根．
A、令y=0，得x2=0，△=0-4×1×0=0，则函数图形与x轴没有两个交点，故A错误；
B、令y=0，得x2+4=0，△=0-4×1×1=-4＜0，则函数图形与x轴没有两个交点，故B错误；
C、令y=0，得3x2-2x+5=0，△=4-4×3×5=-56＜0，则函数图形与x轴没有两个交点，故C错误；
D、令y=0，得3x2+5x-1=0，△=25-4×3×（-1）=37＞0，则函数图形与x轴有两个交点，故D正确；
故选D．
考点：本题考查的是抛物线与x轴的交点
点评：解答本题的关键是熟练掌握当二次函数与x轴有两个交点时，b2-4ac＞0，与x轴有一个交点时，b2-4ac=0，与x轴没有交点时，b2-4ac＜0．
6. 下列函数中，当 x＜0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大的有（ ）
①y=x；②y=﹣2x+1；③y=﹣6x2；④y=3x2；
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．
【详解】解：①y=x，正比例函数，k=1＞0，y 随着 x 增大而增大，正确；
②y=﹣2x+1，一次函数，k=﹣2＜0，y 随 x 的增大而减小，错误；
③y=﹣6x2，a=﹣6＜0，开口向下，对称轴为 x=0，故当 x＜0 时，图象在对称轴左侧，函数值 y 随 x 的增大而增大，正确；
④y=3x2，二次函数，a=3＞0，开口向上，对称轴为 x=0，故当 x＜0 时，图象在对称轴左侧，y 随着 x 的增大而减小，错误．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数、一次函数、正比例函数的增减性，是一道难度中等的题目．掌握函数的性质是解答此题关键．
7. 根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A. 0＜x＜0.5B. 0.5＜x＜1
C. 1＜x＜1.5D. 1.5＜x＜2
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【详解】解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
8. 有长24m的篱笆，一面利用围墙围成如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为x m，面积是s m2，则s与x的关系式是（ ）
A. s=﹣3x2+24xB. s=﹣2x2﹣24x
C. s=﹣3x2﹣24xD. s=﹣2x2+24x
【答案】A
【解析】
【分析】AB为x m，则BC为（24﹣3x）m，利用长方体的面积公式，可求出关系式．
【详解】解：如图所示：
AB为x m，则BC为（24﹣3x）m，
所以S=（24﹣3x）x=﹣3x2+24x．
故选A．
【点睛】考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，解题的关键是能够用自变量x表示出矩形的长与宽．
9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据各选项图象判断的取值范围求解即可得到答案．
【详解】解：A．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意；
B．由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意；
C．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项符合题意；
D． 由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的性质，解题的关键是掌握函数图象与系数的关系．
10. 二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）其中正确的结论有（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断结论①；将点代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．
【详解】解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴，
，
抛物线的对称轴为，
，
，则结论①正确；
将点代入二次函数的解析式得：，则结论③错误；
将代入得：，则结论②正确；
抛物线的对称轴为，
和时的函数值相等，即都为，
又当时，随的增大而减小，且，
，则结论④错误；
由函数图像可知，当时，取得最大值，最大值为，
，
，即，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②⑤，共3个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图像判断式子的符号、二次函数的性质等知识点，从函数图像上得到相关信息是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11. 如图，①，②，③，④，比较a．b．c．d的大小，用“”连接．__________

【答案】
【解析】
【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【详解】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，

所以，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．
12. 如图所示是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽时，拱顶（拱桥洞的最高点）距离水面，当水面下降时，水面的宽度为______．
【答案】
【解析】
【分析】先建立合适的平面直角坐标系，再设出抛物线的解析式，然后根据题意可知该抛物线过点，即可求得抛物线解析式，然后将代入求出相应的的值，再将这两个的数值作差，即可求得水面的宽度．
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，

设该抛物线的解析式为，
由题意可得，该抛物线过点，
，
解得，
该抛物线的解析式为，
当时，，
解得，，
当水面下降时，水面的宽度为，
答：当水面下降米时，水面的宽度为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数关系式．
13. 如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为6（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是______．
【答案】
【解析】
【分析】曲线段扫过的面积，则，即可求解．
【详解】解：曲线段扫过的面积，
则，
故抛物线向上平移2个单位，则
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出是解题关键．
14. 抛物线y=ax2-4x+5的对称轴为直线x=2．
（1）a=_____；
（2）若抛物线y=ax2-4x+5+m在-1＜x＜6内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是__．
【答案】 ①. 1 ②. m=-1或-17＜m≤-10
【解析】
【分析】（1）由抛物线y=ax2-4x+5的对称轴为直线x=2．可求a=1即可；
（2）由（1）知：a=1，可求抛物线为y=x-24x+5+m，与x轴有交点可得由Δ≥0得m≤-1，由对称轴为直线x=2，抛物线y=x2-4x+5+m在-1＜x＜6内与x轴只有一个交点，分两种情况：①物线y=x2-4x+5+m的顶点是（2，0），②当x=-1和x=6时，对应的函数值异号．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2-4x+5的对称轴为直线x=2．
∴-=2，
∴a=1，
经检验a=1满足要求，
故答案为：a=1；
（2）由（1）知：a=1，
∴抛物线y=ax2-4x+5+m为y=x-24x+5+m，
∴由Δ≥0得m≤-1，
∵对称轴为直线x=2，
∴抛物线y=x2-4x+5+m在-1＜x＜6内与x轴只有一个交点，分两种情况：
①物线y=x2-4x+5+m的顶点是（2，0），
∴0=4-4×2+5+m，
解得m=-1，
②当x=-1和x=6时，对应的函数值异号，而当x=-1时，y=10+m，x=6时，y=17+m，
∴或，
解得-17＜m＜-10，
当m=-17时，抛物线y=x2-4x+5+m在-1＜x＜6没有交点，
当m=-10时，抛物线y=x2-4x+5+m在-1＜x＜6有一个交点（5，0），
符合题意，
∴-17＜m≤-10
综上所述，m取值范围是m=-1或-17＜m≤-10，
故答案为：m=-1或-17＜m≤-10．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用函数性质确定与x轴交点问题，抓住顶点在x轴上，与当x=-1和x=6时，对应的函数值异号建立不等式组是解题关键．
三、解答题（15、16、17、18每题8分，19、20题每题10分，21、22题每题12分，23题14分）
15. 已知抛物线（为常数），求证：无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点．
【答案】见解析
【解析】
【分析】求得判别式并分解得到平方与正数的和，得到判别式大于0即可证明．
【详解】证明：∵，
∴无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，把抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程的问题是解题的关键．
16. 已知函数（m为常数）．
（1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．
（2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）且．
【解析】
【分析】（1）根据一次函数定义即可解决问题；
（2）根据二次函数的定义即可解决问题．
【小问1详解】
解：依题意且，
所以；
【小问2详解】
解：依题意，
所以且．
【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．
17. 已知二次函数．
（1）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求该二次函数的图象与x轴交点．
【答案】（1）直线，
（2），
【解析】
【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式，即可求解；
（2）令，有，解出方程，即可求解．
【小问1详解】
解：
，
∴二次函数的图象的对称轴为直线和顶点坐标为；
【小问2详解】
解：令，有，
解得：，，
∴该二次函数的图象与x轴交点为，．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18. 二次函数的图像如图所示，根据图像填空：
（1）方程两个根为_____________；
（2）不等式的解集为____________；
（3）函数y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为____________；
（4）若方程有两个不相等的实数根，k的取值范围为____________．
【答案】（1），
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
（1）根据图象可知二次函数与轴的交点坐标，交点的横坐标即为方程的两个根；
（2）由图象可知二次函数在轴上方图象的自变量取值范围，即可得到不等式的解集；
（3）根据二次函数的图象和性质，即可得到答案；
（4）由方程有两个不相等的实数根可知，二次函数与直线有两个交点，再利用顶点坐标，即可求出k的取值范围．
【小问1详解】
解：由图象可知，二次函数与轴的交点坐标为，，
即方程的两个根为，，
故答案为: ，;
【小问2详解】
解：由图象可知，二次函数在轴上方图象的自变量取值范围是，
即不等式的解集为，
故答案为：；
【小问3详解】
解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，
即函数y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为，
故答案为：；
【小问4详解】
解：方程有两个不相等的实数根，
方程有两个不相等的实数根，
即二次函数与直线有两个交点，
由图象可知，抛物线的顶点坐标为，
，
，
即方程有两个不相等的实数根，k的取值范围为，
故答案为：．
19. 如图，中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿向C点以的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为x秒，四边形的面积为．
（1）求y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）y的值能否取14？若能，求对应的x的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的解析式以及一元二次方程的应用：
（1）根据题意可得：，，则，根据三角形的面积公式即可求出S关于x的函数关系式；
（2）根据题意列出一元二次方程，判断是否有解即可
【小问1详解】
∵出发时间为x，点P的速度为，点Q的速度为，则，，
∴，
∴；
【小问2详解】
不能，理由如下，
由题意得：，
即，
∴，
∴该方程无实数根，
∴值不能取14．
20. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数的图象交于A，C两点．
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出当x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值．
【答案】（1）；（2）△ABC的面积为；（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数与方程的关系，当时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与x轴的两个交点，然后将点A代入一次函数解析式即可确定b的值；
（2）先求两个函数的交点C的坐标，把代入中，求解一元二次方程，即可确定点C的坐标，然后结合图象，求三角形面积即可；
（3）根据图象可得：在线段AC部分，直线函数值在抛物线函数值上方，结合A（－1，0），C（2，－3），即可确定x的取值范围．
【详解】解：（1）当时，
，
解得：，，
∴抛物线与x轴交于A（－1，0），B（3，0）．
∵直线经过A点，
∴，
∴；
（2）把代入中得：，
整理得
解得：（舍），，
把代入，得，
∴C（2，－3），
∴；
（3）根据图象可得：在线段AC部分，直线函数值在抛物线函数值上方，结合A（－1，0），C（2，－3），
∴，
当时，一次函数值大于二次函数值．
【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，包括二次函数与坐标轴交点，待定系数法确定一次函数解析式，结合图象求不等式解集等，理解题意，熟练掌握二次函数及一次函数的基本性质是解题关键．
21. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量取值范围；
（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入−成本），并写出自变量取值范围；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）当时，W随x的增大而增大；当时，W随x的增大而减小；当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元
【解析】
【分析】题目主要考查二元一次方程组及二次函数的应用，理解题意，列出方程组及函数关系式是解题关键．
（1）设，根据题意列出方程组求解即可；
（2）根据利润=收入−成本列出函数关系式即可；
（3）由（2）中结果化为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设．
由题意，得，
解得．
∴所求函数表达式为．
【小问2详解】
．
【小问3详解】
，其中，
∵，
∴当时，W随x的增大而增大；
当时，W随x的增大而减小；
当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元．
22. 阅读材料：设二次函数y1，y2的图象的顶点坐标分别为(h，k)，(m，n)，若h＝2m，k＝2n，且开口方向相同，则称y1是y2的“同倍二次函数”．
（1）请写出二次函数y＝x2﹣2x+2的一个“同倍二次函数” ；
（2）已知关于x的二次函数y1＝（x﹣）2﹣和二次函数y2＝2x2﹣ax+1，若函数y1恰是y2的“同倍二次函数”，求a的值．
【答案】（1）（答案不唯一）；（2）或
【解析】
【分析】（1）根据“同倍二次函数”求得顶点坐标即可求解；
（2）根据“同倍二次函数”列出方程即可解决问题．
【详解】（1），顶点为
的顶点坐标为
二次函数y＝x2﹣2x+2的一个“同倍二次函数”为：
故答案为： （答案不唯一）
（2） y1＝（x﹣）2﹣，，
由题意可得
解得或
【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，解一元二次方程，理解题意掌握配方法求顶点坐标是解题的关键．
23. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，直线BD解析式为y＝﹣x+3；（2）；（3）存在，（1，4）或（2，3）
【解析】
【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；
（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）过Q作QGy轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，
∴0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，
∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，
∴D点坐标为（0，3），
∴可设直线BD解析式为y＝kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3＝0，解得k＝﹣1，
∴直线BD解析式为y＝﹣x+3；
（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），
∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝，PM有最大值；
（3）如图，过Q作QGy轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，
设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），
∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO＝45°，
∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，
当△BDQ中BD边上的高为时，即QH＝HG＝，
∴QG＝＝2，
∵点Q在第一象限，
∴﹣x2+3x＝2，
解得x＝1或x＝2，
∴Q（1，4）或（2，3），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（1，4）或（2，3）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质及方程思想等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
x
0
0.5
1
1.5
2
y＝ax2+bx+c


1
3.5
7
售价x（元/千克）
50
60
70
销售量y（千克）
100
80
60