山东省德州市德州经济技术开发区德州太阳城中学2022-2023学年八年级上学期第一次月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份山东省德州市德州经济技术开发区德州太阳城中学2022-2023学年八年级上学期第一次月月考数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题4分，共48分）
1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，对每个选项进行分析即可得出答案．
【详解】根据三角形的三边关系，
得A．3+4=7＜8，不能组成三角形；
B．7+8=15，不能组成三角形；
C．5+6=11＞10，能够组成三角形；
D．3+3=6，不能组成三角形．
故选择：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定需要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2. 下列说法错误的是（ ）
A. 直角三角形只有一条高线．
B. 钝角三角形有两条高线在三角形的外部．
C. 任意三角形都有三条高线、中线、角平分线．
D. 锐角三角形三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点．
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形高线作法依次判断即可．
【详解】解：A、直角三角形有三条高线，选项说法错误，符合题意；
B、钝角三角形有两条高线在三角形外部，选项说法正确，不符合题意；
C、任意三角形都有三条高线、中线、角平分线，选项说法正确，不符合题意；
D、锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点，选项说法正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】题目主要考查三角形的高线，熟练掌握三角形高线的作法是解题关键．
3. 已知△ABC的一个外角为70°，则△ABC一定是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 锐角三角形或钝角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形外角与内角的关系计算即可．
【详解】∵△ABC的一个外角为70°，
∴与它相邻的内角的度数为110°，
∴该三角形一定是钝角三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形内角、外角的关系及三角形的分类，熟练掌握分类标准是解题的关键．
4. 如图，，，则判定和全等的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形全等的判定定理求解即可．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．
【详解】解：∵在和中，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．
5. 一个多边形的每个外角都是，这个多边形是（ ）
A. 三角形B. 八边形C. 十二边形D. 六边形
【答案】C
【解析】
【分析】据多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数列式计算即可得解．
【详解】解：360°÷30°=12．
故这个多边形是十二边形．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键．
6. 如图，在△ABC中，EFBC，ED 平分∠BEF，且∠DEF=60°，则∠B的度数为（ ）
A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】根据ED 平分∠BEF，求出角∠BEF=120°，从而求得，再根据EFBC，得，最终得到∠B的度数．
【详解】解：∵ED 平分∠BEF，∠DEF=60°
∴∠DEB=∠DEF=60°，
∴∠BEF=120°，
∴，
∵EFBC，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线和平行线的相关知识．
7. 如图，中，，，是边上的中线，若的周长为30，则的周长是（ ）
A. 20B. 24C. 26D. 28
【答案】B
【解析】
【分析】根据的周长为30，可得BD+AD=15，结合三角形中线的定义，即可求解．
【详解】解：∵的周长为30，
∴AB+BD+AD=30，
∵BD+AD=30-AB=30-15=15，
∵是边上的中线，
∴AD=CD，
∴的周长=CD+BD+BC=AD+BD+BC=15+9=24．
故选B．
【点睛】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义，是 解题的关键．
8. 如图，在中，，点为边上一点，且，则的度数为（ ）
A. B. C. 32°D.
【答案】B
【解析】
【分析】先设，根据，，得出，，，最后根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】设，
，
，，
，
，
，
，即．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和以及三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角定理并能灵活运用．
9. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的判定证得，得到，根据三角形的外角的性质求出，根据三角形内角和定理计算即可求出．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故选：C
10. 如图:，欲证，则可增加的条件是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
由结合全等三角形的判定定理，即可找出需添加条件，结合图形利用角的计算即可得出添加可证出．
【详解】解：添加，
∵，
∴．
又∵，
∴．
故选：D．
11. 图，点C在的边OB上，尺规作图痕迹显示的是（ ）
A. 作线段CE的垂直平分线B. 作的平分线
C. 连接EN，则是等边三角形D. 作
【答案】D
【解析】
【分析】根据作图得出△ODM≌△CEN（SSS），得出∠MAD=∠NCE，得出OM∥CN即可．
【详解】解：连结EN ,
在△ODM和△CEN中，
，
∴△ODM≌△CEN（SSS），
∴∠MAD=∠NCE，
∴OM∥CN，
故选D．
【点睛】本题考查尺规作图，掌握基本作图，三角形全等判定与性质，平行线的判定是解题关键．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则线段DE的长为（ ）
A. B. 3C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】过点F作FG⊥AB于点G，由∠ACB=90°，CD⊥AB，AF平分∠CAB，可得∠CAF=∠FAD，从而得到CE=CF，再由角平分线的性质定理，可得FC=FG，再证得，可得 ，然后设 ，则 ，再由勾股定理可得 ，然后利用三角形的面积求出 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
∵，
∴，
∴ ，
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，
∴BC=4， ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13. 如果一个正多边形的每个内角都等于，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作___________条对角线．
【答案】5
【解析】
【分析】根据正多边形的每个内角都等于，可得该正多边形的边数，即可求解．
【详解】解：∵正多边形的每个内角都等于，
∴该正多边形的边数为，
∴这个正多边形的一个顶点出发，可以作对角线为条，
故答案为：5
【点睛】考查多边形内角与外角和以及多边形的对角线，掌握从n变形的一个顶点出可以引出 条对角线是解题的关键．
14. 一个正方形的边长增加4，它的面积就增加64，这个正方形的边长是______．
【答案】6
【解析】
【分析】设原正方形的边长为，则变化后的正方形的边长为，由题意得，，解方程即可．
【详解】解：设原正方形的边长为，则变化后的正方形的边长为，
由题意得，，
解得，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，平方差公式，熟练掌握正方形面积公式，平方差公式结构是解题的关键．
15. 如图，在正五边形中，连接，则的度数为___________．
【答案】##36度
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形的内角和，首先利用多边形的内角和公式求得正五边形的内角和，再求得每个内角的度数，利用等腰三角形的性质可得的度数．
【详解】解：在正五边形中，每条边都相等，每个内角也相等，
正五边形内角和：
∴，
又∵，
∴ ．
故答案为．
16. 如图，BO平分于点D，点E为射线BA上一动点，若，则OE的最小值为_______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据角平分线的性质即可求出．
【详解】解：当时，最小，
平分，，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
17. 如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD、CD．若∠B=65°，则∠ADC的大小为___度．
【答案】65
【解析】
【详解】解：∵以点A为圆心，以BC长为半径作弧；以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，
∴AB=CD，BC=AD．
又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA（SSS）．
∴∠ADC=∠B=65°．
故答案为：65．
18. 观察下列图形：

它们是按一定规律排列的，照此规律，用6067个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．
【答案】2022
【解析】
【分析】把每个图案分成两部分，最下面位置处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，据此规律找出第n个图形五角星的个数为：，据此求解即可．
【详解】解：观察发现，第1个图形五角星的个数是：，
第2个图形五角星的个数是：，
第3个图形五角星的个数是：，
第4个图形五角星的个数是：，
⋯
第n个图形五角星的个数是：，
∵，
∴用6067个五角星摆出的图案应该是第2022个图形，
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了图形变化的规律，把图案中的五角星分成两部分考虑，找出第n个图形五角星的个数的表达式是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19. 已知△ABC三条边的长分别为：a+3，3a+1，a+5（a为正整数）．
（1）若△ABC是等腰三角形，求它的三边的长；
（2）若△ABC的三条边都不相等，求a的最小值．
【答案】（1）等腰三角形三边的长为4，4，6或5，7，7；（2）a的最小值为3．
【解析】
【分析】（1）由于a+3≠a+5，所以当这个三角形是等腰三角形时，分两种情况进行讨论：①a+3=3a+1；②a+5=3a+1．求出a的值后，根据三角形三边关系即可求解；
（2）根据三角形三边关系列出关于a的不等式组求出a的范围，再根据三角形的三条边都不相等，且为正整数可求a的最大值．
【详解】解：（1）①如果a+3=3a+1，
解得a=1，
三角形三边的长为4，4，6，符合三角形三边关系；
②如果a+5=3a+1，
解得a=2，
三角形三边的长为5，7，7，符合三角形三边关系．
综上所述，等腰三角形三边的长为4，4，6或5，7，7；
（2）a的最小值为3．
由三角形三边关系知，，
解得＜a＜7，
∵三角形的三条边都不相等，
∴a+3≠3a+1，a+5≠3a+1，
∴a≠1，a≠2，
∴＜a＜7且a≠1，a≠2，
∵a为正整数，
∴a的最小值为3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，一元一次不等式组的解法，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系．
20. 已知一个多边形的内角和与外角和的比是，求这个多边形对角线的条数．
【答案】条
【解析】
【分析】先求出多边形的边数，再求多边形的对角线条数即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
由题意得：，
解得：，
这个多边形对角线的条数为．
【点睛】本题主要考查多边形内角和与外角和，多边形的对角线条数，根据题意列出方程是关键．
21. 如图，，，与交于点，且，求的度数．
【答案】65°
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质可得，求出即可求解．
【详解】解：，
，
．
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质及直角三角形的性质，
22. 如图，，，，求的度数．

【答案】
【解析】
【分析】方法一，根据三角形内角和定理以及全等三角形性质得出，进而根据四边形内角和为360度，对顶角相等，即可求解．
方法二，利用全等三角形的性质，可得，进而根据题意，直接利用三角形的外角的性质得出，得出答案．
【详解】解：方法一 ∵，
∴，
∴．
方法二 ∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形的外角的性质是解题的关键．
23. 如图，在△ABC中，点E是AB延长线上一点，且BE＝AB．
（1）尺规作图：在∠CBE内作射线BD，使BD∥AC．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在BD上取点F，使BF＝AC，连接EF，求证△ABC≌△BEF．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．
【解析】
【分析】（1）利用尺规作∠CBD=∠C即可．
（2）根据SAS证明三角形全等即可．
【详解】解：（1）如图，射线BD即为所求．

（2）∵BD∥AC，
∴∠EBD＝∠A，
∵BE＝AB，BF＝AC，
∴△EBF≌△BAC（SAS）．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24. 如图，点为直线上一点，过点作射线，使；
（1）求的度数；
（2）如图，射线在的内部，射线和射线都绕着点旋转，当射线平分、射线平分时，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，射线和射线同时都在（2）中各自的位置继续绕着点顺时针旋转，射线每秒旋转，射线每秒旋转，（转过的角度小于）求经过几秒后．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）秒或秒
【解析】
【分析】（1）根据，设，，由可得，解出，即可求出的度数；
（2）根据角平分线可知，，由可得，可证；
（3）由，求出，设经过秒后，分类讨论：当没超过时，或当超过时，分别计算即可。
【小问1详解】
解：∵点为直线上一点，
∴，
∵，
∴设，，
∵，
∴，解得，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：证明：∵射线平分，射线平分，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵由（2）得，，
∴，
设经过秒后
由转过的角度小于，分情况讨论：
①当没超过时，
，解得；
②当超过时，
，解得，
综上所述，经过秒或秒后．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和角度的和差问题，根据图象得出角度之间的关系并列出一元一次方程是解答本题的关键。
25. 已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A＋∠D＝∠B＋∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，且分别与AB、CD相交于点M、N．若∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，且分别与AB、CD相交于点M、N，∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC．请直接写出∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系．
【答案】（1）见解析 （2）30°
（3）∠A＋2∠C＝3∠E
【解析】
【分析】（1）根据三角形外角的性质可得∠AOC＝∠A＋∠D、∠AOC＝∠B＋∠C，再运用等量代换即可证明结论；
（2）由角平分线的定义可得∠ADE＝∠CDE、∠ABE＝∠CBE，设∠ADE＝∠CDE＝α，∠ABE＝∠CBE＝β，根据（1）的方法可得∠A＋∠ADE＝∠E＋∠ABE、∠C＋∠CBE＝∠E＋∠CDE，即∠A＋α＝∠E＋β、∠C＋β＝∠E＋α，然后消去β、α即可；
（3）由三等分线的定义可得∠CDE＝∠ADC、∠CBE＝∠ABC，设∠CDE＝α，∠CBE＝β,则 ∠ADE＝2α、∠ABE＝2β，由(1)的结论可得∠A＋∠ADE＝∠E＋∠ABE、∠C＋∠CBE＝∠E＋∠CDE，即∠A＋2α＝∠E＋2β，∠C＋β＝∠E＋α，然后消去β、α即可．
【小问1详解】
证明：∵∠AOC是△AOD、△BOC的外角，
∴∠AOC＝∠A＋∠D，∠AOC＝∠B＋∠C，
∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
【小问2详解】
解： ∵DE、BE为角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE、∠ABE＝∠CBE
设∠ADE＝∠CDE＝α，∠ABE＝∠CBE＝β.
由(1)的结论可得∠A＋∠ADE＝∠E＋∠ABE，∠C＋∠CBE＝∠E＋∠CDE，
∴∠A＋α＝∠E＋β，∠C＋β＝∠E＋α，
∴∠A＋∠C＝2∠E，
∵∠A＝28°，∠C＝32°，
∴∠E＝30°．
【小问3详解】
解： ∵DE、BE为三等分线，
∴∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC
设∠CDE＝α，∠CBE＝β,则 ∠ADE＝2α、∠ABE＝2β
由(1)的结论可得∠A＋∠ADE＝∠E＋∠ABE，∠C＋∠CBE＝∠E＋∠CDE，
∴∠A＋2α＝∠E＋2β，∠C＋β＝∠E＋α，
∴∠A-∠E＝2(β-α), ∠E-∠C＝β-α
∴2（∠E-∠C）=∠A-∠E
∴∠A＋2∠C＝3∠E．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活运用将三角形外角的性质是解题的关键．