高中数学人教版第二册下B空间向量教学设计

这是一份高中数学人教版第二册下B空间向量教学设计，共7页。教案主要包含了法一:几何法(定义)，法二:坐标法，方法提炼等内容，欢迎下载使用。
1、掌握空间向量的加减、数乘、数量积运算的坐标表示以及平行向量、垂直向量坐标之间的关系;
2、掌握向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间的距离公式;会应用这些知识解决简单的立体几何问题.
(二)过程与方法:
1、通过类比平面向量运算的坐标表示得到空间向量运算的坐标表示,掌握其运算规律,并渗透类比的思想;
2、通过例题和练习让学生掌握用坐标法解决立体几何问题的一般步骤,体会向量法在研究空间图形中的作用,培养其空间想象能力和几何直观能力.
(三)情感与态度:
通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自主探究新知的能力.
2学情分析
学生已学习了空间向量的概念、运算及坐标表示,并初步体验了向量法在立体几何中的简单应用,对空间向量有了一定的认识.另一方面,学生已经较为系统地学习了平面向量的运算和坐标表示,将平面向量运算的坐标表示类比到空间向量,难度不是很大,难点还在于利用坐标运算来解决立体几何问题,这是以往没有接触过的,但只要熟悉向量的坐标表示,这个也是容易掌握的.
3重点难点
重点:空间向量运算的坐标表示,用坐标法解决简单的立体几何问题.
难点:选择合适的空间直角坐标系以解决立体几何问题.
4教学过程
4.1 第一学时
4.1.1复习回顾
1、空间向量的坐标表示
设e1,e2,e3为单位正交基底,对于空间任一向量p,由空间向量基本定理,存在有序实数组{x,y,z}使p=xe1+ye2+ze3,x,y,z叫做p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z).
这样就建立了空间向量p与空间直角坐标系中点(x,y,z)之间的一一对应
2、空间向量的运算,平行、垂直,模与夹角
问题:能否利用坐标来进行空间向量运算呢?
4.1.2类比旧知，探索新知
回顾平面向量运算的坐标表示,类比得到空间向量运算的坐标表示,填表完成后由学生回答.
a=(a1,

2、夹角:cs
=

3、两点 间的距离:
|AB|=
问题:①两个平面向量平行的坐标关系式a1a2+b1b2=0是怎么得到的?
②平面向量模长具有怎样的几何意义?
注意:类比是探究规律的重要方法.
学生容易类比得到以下结论:
(1)空间向量加减法、数乘、数量积运算的坐标表示
设a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),c=(a3,b3,c3) ,则
加法:a+b=(a1+a2,b1+b2,c1+c2)
减法:a-b=(a1-a2,b1-b2,c1-c2)
数乘:λa=(λa1,λb1,
c1)
数量积:a·b=a1a2+b1b2+c1c2
问题:你能对以上运算的坐标表示加以证明吗?
这个问题直接抛给学生是困难的,要引导学生回归到“空间向量的坐标表示”这一根本上来.
下面以数量积为例来进行证明.
证明:设i,j,k为单位正交基底,则a=a1i+b1j+c1k,b=a2i+b2j+c2k,所以a·b=(a1i+b1j+c1k)·(a2i+b2j+c2k),
利用向量数量积的分配律以及i·i=j·j=k·k=1,i·j=j·k=k·i=0 ,
即得a·b=a1a2+b1b2+c1c2 .
思考:其他运算的坐标表示可以类似证明,请同学们自己完成.
(2)空间向量平行与垂直的坐标表示
平行:
垂直:
注:两个空间向量平行与两个平面向量平行的条件本质上是一致的,即对应坐标成比例,且比值为 .
(3)长度、夹角、两点间距离公式
长度公式:
问题:你能说出其几何意义吗?
夹角公式:
注意:①
②当 时,两向量分别同向、垂直、反向
在空间直角坐标系中,已知点 ,则 两点间的距离为: .
两点间的距离公式是长度公式的推广,因 ,再根据长度公式即得.
注意:上述公式都与坐标原点的选取无关!
4.1.3例题分析，练习反馈
※典型例题
例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E1,F1 分别是A1B1, C1D1的一个四等分点,求BE1 与DF1 所成角的余弦值.
【法一:几何法(定义)】
师:本题用几何法可以吗?
学生不难说出可根据异面直线所成角的定义找到所求角,并通过解三角形得解.
师:能用今天学的坐标法解决吗?
分析:异面直线所成角可用对应的方向向量夹角来表示,再用夹角公式求解即可,为此要先建立坐标系.
问题:①该用哪个向量来表示所涉及的几何元素,即直线BE1与DF1 ?
② BE1与DF1的夹角与所求角之间是什么关系?
③既然要用向量法,又涉及坐标运算,首先要做什么?
④如何建立合适的坐标系?
【法二:坐标法】
解:如图,不妨设正方体的棱长为1,分别以DA,DC,DD1 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ,则B(1,1,0),E1(
),D(0,0,0),F1(
) .
所以BE1=(
)-(1,1,0)=( ) ,DF1=()-(0,0,0)=(
) ,
|BE1|=
,|DF1|= ,BE1·DF1=
.
所以
.
因此,BE1 与DF1 所成角的余弦值是
.
【方法提炼】用坐标法解决立体几何问题的一般步骤
①建立空间直角坐标系,读取点的坐标(建系读点)
②将空间图形中的元素关系用向量坐标来表示(构造向量并坐标化)
③进行向量的坐标运算,获得几何结论
变式1 若点E,F 分别是BB1,D1B1 的中点,求证EF垂直于DA1 .
变式2 G是BB1 的一个靠近点B 的四等分点, H为DD1上的一点,若GH垂直于DF1,试确定H点的位置.
分析:变式1较为简单,用几何法也可解决;变式2是“点在线段上”的题型,用几何法不是很直接,此时体现了向量法的优势.
※课堂练习
1、(课本课后练习3)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1 中,点M 是AB的中点,求证DB1 与CM 所成角的余弦值.

2、能力提升 如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,点P 在线段CC1 上,且CC1=3CP ,Q 为CD 上一点,若B1Q垂直于 平面AD1P ,试确定Q 点的位置.
4.1.4课堂小结，凝练所学
1、空间向量运算的坐标表示
(1)空间向量加减法、数乘、数量积运算的坐标表示
(2)两向量平行、垂直的坐标表示,夹角及长度公式
(3)用向量坐标法计算或证明立体几何问题
2、用向量法解决立体几何问题的一般步骤:
①建系,读取点坐标
②构造向量并坐标化
③进行向量的坐标运算,获得几何结论
4.1.5课后作业
作业本配套练习
4.1.6教学活动
平面向量
a=(a1,b1),b=(a2,b2),c=(a3,b3)
空间向量
a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),c=(a3,b3,c3)
向
量
运
算
的
坐
标
表
示
1、加减法: a+b=(a1+a2,b1+b2)
a-b=(a1-a2,b1-b2)
2、数乘:
b1)
3、数量积: a·b=a1a2+b1b2
1、平行: a//b⇔a1b2-a2b1=0
2、垂直: a垂直于b
a1a2+b1b2=0
1、模长: |a|=