丰城市第九中学2024-2025学年高二上学期期中考试（日新班）数学试卷(含答案)

这是一份丰城市第九中学2024-2025学年高二上学期期中考试（日新班）数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．已知函数则下列结论正确的是( )
A.是偶函数B.是增函数
C.是周期函数D.的值域为
4．已知函数的定义域为.记的定义域为集合A,的定义域为集合B.则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．函数的部分图象大致是( )
A.B.
C.D.
6．镜片的厚度是由镜片的折射率决定,镜片的折射率越高,镜片越薄,同时镜片越轻,也就会带来更为舒适的佩戴体验.某次社会实践活动中,甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片,折射率分别为,,,则这三种镜片中,制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为( )
A.丙同学和甲同学B.乙同学和甲同学C.甲同学和丙同学D.乙同学和丙同学
7．如图，矩形的三个顶点A、B、C分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为( )
A.B.C.D.
8．已知,,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设M,N,P为非空实数集,定义,则( )
A.B.
C.D.
10．若正数a,b满足,则( )
A.B.
C.D.
11．已知函数.则下列结论正确的是( )
A.图像关于点中心对称
B.图像关于直线对称
C.的最大值为
D.既是奇函数又是周期函数
三、填空题
12．若函数是奇函数,则________.
13．函数在R上单调递减,则实数a的取值范围是________.
14．定义:如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时,称为不交）的非空真子集,,…,,且,那么称子集族构成集合U的一个k划分.已知集合,则集合I的所有划分的个数为________.
四、解答题
15．已知集合,
（1）若,求实数m的取值范围;
（2）若,求实数m的取值范围.
16．已知函数,.
（1）若对任意,不等式恒成立,求m的取值范围;
（2）若对任意,存在,使得,求m的取值范围.
17．已知真命题:“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数的图象关于原点对称”.
（1）将函数的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图象对称中心的坐标;
（2）求函数图象对称中心的坐标.
18．已知
（1）当,解关于x的不等式;
（2）若存在,使得不等式成立,求实数a的取值范围.
19．已知函数是偶函数,e是自然对数的底数,
（1）求的最小值
（2）当时,
（i）令,,求的值域
（ii）记,已知,,且,当取最大值时,求的值.
参考答案
1．答案：C
解析：由命题“,”的否定是“,”,
故选:C.
2．答案：A
解析：由题意可知,所以,则.
故选:A
3．答案：D
解析：分段函数的左右两边的函数图像不关于y轴对称，A不正确.
当时，不单调，B不正确.
当时，没有周期性，C不正确.
当时，的值域为，当时，的值域为，所以的值域为，D正确.
故选:D.
4．答案：B
解析：的定义域为.
当时,,的定义域为,即.
令,解得,的定义域为,即.
,“”是“”的必要不充分条件,
故选:B.
5．答案：D
解析：易知的定义域为R,,所以是偶函数,排除A,C;
当时,,则,当时,,单调递减,当时,,单调递增,排除B,
故选:D.
6．答案：C
解析：,
,,所以,
,所以,
所以甲同学制作的最薄,丙同学制作的最厚.
故选:C
7．答案：A
解析：由图可知，点在函数的图象上，所以，
即，故，
则点在函数的图象上，所以，即，故，
则点在函数的图象上，所以，故，
又，，故点D的坐标为，
故选：A
8．答案：D
解析：设,
则有,,,
可得,即,解得,
所以.
故选:D.
9．答案：ACD
解析：对于A,由MN的定义得,显然成立,故A正确;
对于B,由MN的定义得,,故B错误;
对于C,设,,则,
,所以成立,故C正确;
对于D,设,则,
所以,
又,
所以,
所以成立,故D正确.
故选:ACD.
10．答案：ABC
解析：因为,且,所以（当且仅当时取“”）.
所以,故A正确;
,故B正确;
设（）,则在上恒成立,所以函数在上单调递增,所以,
所以成立,故C正确;
又,又,所以,即,故D错误.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：A：因为，
，
所以，
因此图像关于点中心对称，所以本选项结论正确；
B：因为，
，
所以，
因此图像关于直线对称，所以本选项结论正确；
C：，
设，所以，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，函数有极大值，
极大值为：，而，所以函数的最大值为，因此本选项结论不正确；
D：因为，
所以是奇函数，
因为，
所以是周期函数，因此本选项结论正确，
故选：ABD
12．答案：
解析：由题意知,所以,
即.
故答案为:.
13．答案：
解析：因为在R上单调递减,
所以,解得,
所以实数a的取值范围是.
故答案为:.
14．答案：4
解析：依题意,,
I的2划分为,共3个,
I的3划分为,共1个,
故集合I的所有划分的个数为4.
故答案为:4
15．答案：（1）;
（2）或.
解析：（1）由,
,
因为,即,显然,
所以,则.
（2）由（1）知:或,又,
所以或,可得或.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,
需满足,解得,
故m的取值范围为.
（2）对任意,存在,使得,
故在上的值域包含在上的值域,
其中时,,
的对称轴为,
若,则在上单调递增,
故,
但不会是的子集,舍去;
当时,则在上单调递减,
故,
是的子集,则,解得,
综上,m的取值范围是.
17．答案：（1）,
（2）
解析：（1）平移后图象对应的函数解析式为,
整理得,
由于函数的图象关于原点对称,由题设中真命题知,函数图象对称中心的坐标是.
（2）设的对称中心为,由题设知函数的图象关于原点对称,即为奇函数,
设,则,即.
由不等式的解集关于原点对称,得,解得,.
此时,.
任取,由可得,,
化简得,,解得,,
所以函数图象对称中心的坐标是.
18．答案：（1）答案见详解
（2）
解析：（1）若即,原不等式为,解得,
即原不等式的解集为;
若即,方程的解为1和,
当时,,原不等式的解集为;
当时,,原不等式的解集为R;
当即时,,原不等式的解集为.
综上,当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为R.
（2）由,得,
对于方程,,
所以在R上恒成立,故,
令,则,得可变形为,即,
对于对勾函数,在上单调递减,在上单调递增,
所以在处取得最小值,为,
所以在上的最大值为,
得.
综上,a的取值范围为.
19．答案：（1）
（2）（i）;
（ii）
解析：（1）函数的定义域为R,根据偶函数的定义:
,,即,
即:上式对任意恒成立,这等价于.
,等号成立当且仅当,.
所以的最小值为.
（2）（ⅰ）由（1）可得:,由于,为偶函数,故只需考虑时,的值域,
,
,
令,,,,
,单调递增,在上单调递增,
的值域为,,.
故的值域为.
（ⅱ）对于常数c,令,为偶函数.
下面先证明一个结论:在上单调递增.
证明:
.
由（2）可得:为偶函数,在上单调递增,在上单调递增,
证毕.
对于,,且,
先证明:当取最大值时,,,…,中最多只有一个,其余的数要么等于,要么等于2.
用反证法,假如当取最大值时,,,…,中存在两个数,,不妨设,
记,则,且,.
记,则,根据的单调性可知
,
在中,将,分别替换成,,
其余的数不变的情况下,得到了更大的值,这与取最大值相矛盾!
:,,…,中最多只有一个.
,,…,中没有数字在区间时,,,…,中的每一个数,要么等于,要么等于2,
记,,…,中等于2的元素个数为k,,,这与k为整数矛盾!
,,…,中只有一个数字在区间时,不妨记为,记等于2的数字个数为k,
则等于的数字个数为,则.
即:,由于,,
又,,,
这1000个数为,,,…,,1,2,2,2,…,2,其中有333个,666个2.
.