辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期期中数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知点，，则直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．如图，在平行六面体中，N是的中点，设，，，则等于( )
A.B.
C.D.
3．若圆C经过点，，且圆心在直线上，则圆C的方程为( )
A.B.
C.D.
4．光线从点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点，则所在直线的方程是( )
A.B.
C.D.
5．已知椭圆与直线交于A，B两点，点满足，则a的值为( )
A.B.6C.D.
6．在四边形中，，，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论不正确的是( )
A.
B.
C.平面平面
D.平面平面
7．已知直线与圆的交点为A、B，点C是圆M上一动点，设点，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知右焦点为F的椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点F，且，则E的离心率是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设椭圆的焦点为、，点M在椭圆上，则( )
A.焦点、坐标为，
B.的最大值为7，最小值为1
C.
D.为直角三角形的顶点M有4个
10．已知圆和圆的交点为A，B，直线与圆交于C，D两点，则下列结论正确的是( )
A.的取值范围是
B.圆上存在两点P和Q，使得
C.圆上的点到直线的最大距离为
D.若，则
11．已知正方体的棱长为2，如图，M为棱上的动点，平面，则下列说法正确的是( )
A.直线与平面所成角的正弦值范围为
B.当点M与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C.当点M为的中点时，若平面经过点B，则平面截正方体所得的截面图形是等腰梯形
D.已知N为的中点，当的和最小时，则
三、填空题
12．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是____________.
13．如图，已知二面角的大小为，，，，，且，，则____________.
14．下列命题
①若两直线与平行，则实数a的值为1
②圆上的动点P与定点所连线段的中点M的轨迹方程为
③若圆上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是
④已知动点P在直线上，圆，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，则四边形面积的最小值为4
正确的是____________.（请填序号）
四、解答题
15．分别求适合下列条件的曲线方程
(1)已知圆C经过三点，，，求圆C的方程；
(2)经过点，两点的椭圆的标准方程；
(3)已知椭圆的离心率为，短轴长为，求其标准方程；
16．如图，在四棱锥中，底面，底面四边形为菱形且，，M为的中点，N为的中点.
(1)证明：直线平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求点B到平面的距离.
17．若椭圆和椭圆满足，则这两个椭圆相似，m称为其相似比.
(1)求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程；
(2)设过原点的一条射线l分别与(1)中两个椭圆交于A，B两点（其中点A在线段上），求的取值范围.
18．已知半径为2的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线与圆C相切.
(1)求圆C的标准方程.
(2)已知，P为圆C上任意一点，问在y轴上是否存在定点B（异于点A），使得为定值？若存在，求出定点B坐标及定值；若不存在，请说明理由.
(3)在(2)的条件下，若点，试求的最小值.
19．如图，在平行六面体中，平面ABCD，，，
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积；
(3)线段上是否存在点E，使得平面EBD与平面的夹角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：，，
故直线的倾斜角.
故选：B
2．答案：A
解析：因为在平行六面体中，N是的中点，
所以.
故选：A.
3．答案：A
解析：圆C经过点，，
可得线段的中点为，又，
所以线段的中垂线的方程为，
即，
由，
解得，
即，圆C的半径，
所以圆C的方程为.
故选：A.
4．答案：A
解析：根据题意，做出如图的光线路径，
则点关于x轴的对称点，
点关于y轴的对称点，
则所在直线的方程即为直线方程，
由两点是方程得直线方程为：，
整理得：
故选：A.
5．答案：A
解析：因为A，B两点在直线上，
故可设，
故，
因为，
故
即，
因为A，B两点在椭圆上，
故
即，
故，等式两边同时减去1，
整理得到，
解得或.
而，
故，故,
故选：A.
6．答案：D
解析：对于B，如图①，因为，
，
所以，
又因为，，
所以，
所以，
所以，故B正确；
对于A，由B选项知，
又因为平面平面，平面，
平面平面，
所以平面，
因为平面，
所以，故A正确；
对于C，由选项A知，平面，
因为平面，
所以平面平面，故C正确;
对于D，如图②过点A作，垂足为E，
因为平面平面，平面，
平面平面，
所以平面，
显然平面，
所以平面与平面不垂直，故D错误.
故选：D.
图①
图②
7．答案：A
解析：由
可得，
则圆心，，
设，且直线过定点，
所以，，
，
所以
.
故选：A
8．答案：B
解析：设椭圆的左焦点为，连接，，
因为O点平分，
所以四边形为平行四边形，
又因为，
所以四边形为矩形，
设，
则，
，
在直角中，，
所以，
整理可得，所以，
在直角中，，
所以，
所以，所以，
故选：B.
9．答案：BC
解析：由椭圆，
可知，且焦点在y轴上，
则，焦点坐标为，，故A错误；
由椭圆的性质知，的最大值为，
最小值为，故B正确；
由椭圆的定义知，，故C正确；
因为，所以以为直径的圆与椭圆有4个交点，
当M为直角顶点时，
为直角三角形有4个，
当或垂直轴时，为直角三角形有4个，
故为直角三角形的顶点M共有8个，故D错误.
故选：BC
10．答案：AC
解析：A选项：圆的标准方程为，
圆心为,半径为，
因为直线与圆交于C，D两点，
所以圆到直线l的距离为，
即，
解得，
所以的取值范围是，故A正确；
B选项：圆的标准方程为，
圆心，半径，
根据两圆的方程有直线方程为，
圆到直线AB的距离为，
所以，
圆上任意两点P，Q，，故B错误；
C选项：圆上的点到直线的距离的最大值为，故C正确；
D选项：因为，
所以为等边三角形，
圆到直线的距离为，
所以，
故或，故D错误.
故选：AC
11．答案：ACD
解析：对于A选项，以点D为坐标原点，
，，所在直线分别为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，则点、、
设点，
平面，则为平面的一个法向量
且，，
，
所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确；
对于B选项，当M与重合时，
连接，，，
在正方体中，平面，
平面，，
∵四边形是正方形，则，
，，平面，
平面，
平面，
，同理可证，
，，平面，
平面，
易知是边长为的等边三角形，
其面积为，周长为.
分别取棱,,,,,的中点E，F，Q，N，G，H
易知六边形EFQNGH是边长为的正六边形，
且平面平面，
正六边形EFQNGH的周长为，面积为，
则的面积小于正六边形EFQNGH的面积，
它们的周长相等，B选项错误；
对于C选项，设平面交棱于点，
点，，
平面，平面，
，
即，得，，
所以，点E为棱的中点，
同理可知，点F为棱的中点，
则，，
而，
，且，
由空间中两点间的距离公式可得，，
，
所以，四边形为等腰梯形，C选项正确；
对于D选项，将矩形与矩形沿摊平为一个平面，
如下图所示：
若最短，则A，M，N三点共线，
，
，
又，
，D选项正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，
∴由，
解得：或，
∴实数m的取值范围是.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为二面角的大小为，
所以与的夹角为，
又因为，
所以
，
所以.
故答案为：.
14．答案：②③④
解析：当两直线与平行，则，
解得或，
经检验，或时，两直线不重合，
故实数a的值为1或，故①错误；
设，则，
代入圆的方程可得，故②正确；
圆上恰有两点到点的距离为1，
问题转化为以为圆心，半径为1的圆与圆M相交即可，
所以，
解得，故③正确；
因为,
所以当最小时，四边形面积有最小值，
由圆的性质知，的最小值即为
圆心到直线的距离，
所以四边形面积的最小值为，故④正确.
故答案为：②③④
15．答案：(1)
(2)
(3)或
解析：(1)设圆C的方程为
由圆C经过三点，，，
得，
解得，
所以圆的方程为.
(2)设椭圆方程为，
则有，
解得，
所以所求椭圆方程为.
(3)由得，
又，故，
所以，
解得，
所以椭圆的标准方程为或.
16．s答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：(1)证明：作于点P，分别以，，
所在直线为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系.
则，，，
，，，
，，
，，，
设平面的法向量为，
则，，
即，
取，解得；
所以，
平面，
平面；
(2)设与所成的角为，
，，
，
与所成角的余弦值为；
(3)设点B到平面的距离为d，
则d为向量在向量上的投影的绝对值，
由，得，
所以点B到平面的距离为.
17．答案：(1)
(2).
解析：(1)假定所求的椭圆方程为，
则有，解得，
所以所求的椭圆方程为;
(2)当射线与y轴重合时，，，此时.
当射线不与y轴重合时，由于对称性，仅考虑第一象限的情形.
假定射线的方程为，设，
则有，由，
解得，
∴.
同理.
则.
综上.
18．答案：(1)
(2)，
(3)
解析：(1)由题意设圆C的圆心坐标为，
则圆C的方程为，
因为直线与圆C相切，
所以点到直线的距离，
因为，所以，
故圆C的标准方程为；.
(2)假设存在定点B，设，如图，
设，则，
则
，
当，
即或（舍去）时，为定值，且定值为，
故存在定点B使得为定值，B的坐标为；
(3)由(2)知，故，
从而，
当且仅当P、B、D三点共线时，最小，
且，
所以的最小值为.
19．答案：(1)证明见解析
(2)4
(3)不存在，理由见解析
解析：(1)因为平面ABCD，
，平面ABCD，
所以，，
所以，，
因为，所以，
又因为，.
所以，
化简得.
所以，
所以.
(2)因为，由(1)知，
所以，
过作于H，则.
因为直棱柱中平面平面ABCD，
平面平面，
平面ABCD，
所以平面，
所以.
(3)假设存在点E满足条件，
因为平面ABCD，，
所以以D为原点，建立空间直角坐标系，
如图所示，，，，
，，，
，，
设，
则，
设平面EBD的一个法向量为，
由，
得，
令，得，
所以.
设平面的一个法向量，
由，
得，
令，得，
所以.
所以，
因为平面EBD与平面的夹角为，
即，
解得，
又因为，
所以舍去，
所以线段上不存在点E使得平面EBD与平面的夹角为.