2023~2024学年福建省三明市高二(上)期末质量检测数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年福建省三明市高二(上)期末质量检测数学试卷(解析版)，共17页。
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，
即，解得.
故选：A.
2. 双曲线的焦距为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】D
【解析】因为双曲线方程为，所以，
因为，所以，所以双曲线的焦距为4.
故选：D
3 等比数列中，若，，则（ ）
A. 10B. 16C. 24D. 32
【答案】B
【解析】设等比数列的公比是，因为，所以，
解得,
所以.
故选：B.
4. 两条平行线，间的距离等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知：，：，即，
因为两直线平行，所以距离为，故A正确.故选：A.
5. 如图，在四面体中，，，且（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
即
故选：D.
6. 已知，，若直线上存在点P使得，则实数k的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为直线上存在点使得，
所以点在以，为直径的圆上，但点不能是、，
由，为直径的圆，可得圆心为,半径为，即圆,
要使得，只需直线与圆有公共点，但公共点不能是,，
因为圆心到直线的距离为，
所以，解得，
当直线与圆有公共点为,时，则直线为轴，即.
综上所述：实数k的取值范围为.
故选:B.
7. 已知数列，的前n项和分别为，若，，，则（ ）
A. 150B. 100C. 200D. 5050
【答案】C
【解析】结合题意可得：当时，，
因为，所以当时，有，
由可得，即，易知，
所以，
又满足，故.
所以，
易知，
所以.
故选：C.
8. 抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．从抛物线的焦点F发出的两条光线分别经抛物线反射，若这两条光线均在抛物线对称轴同侧且与x轴的夹角均为60°，两条反射光线之间的距离为，则p＝（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】根据题意作出下图，两条光线分别为，
可设：，与联立消元得，
解得、，∴，
同理设：，与联立消元得，
解得、，∴，
∴，∴，故B正确.
故选：B.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 等差数列的前n项和为，若，则下列各项的值一定为m的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】设等差数列的公差为，若，
则，故A错误B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：BD
10. 下列说法中正确的是（ ）
A.
B.
C. 设函数，若，则
D. 设函数的导函数为，且，则
【答案】BCD
【解析】对于选项A:结合题意可得：,故选项A错误；
对于选项B:结合题意可得：,故选项B正确；
对于选项C: ,由，
，解得，故选项C正确；
对于选项D:结合题意可得：,，
解得，故选项D正确.
故选：BCD.
11. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有2个点到直线的距离等于
C. 曲线与恰有四条公切线
D. 已知圆，P为直线上一动点，过点P向圆C引切线，其中A为切点，则的最小值为2
【答案】ACD
【解析】对于选项A:由，
可得，
联立解得即该直线恒过定点.故A正确；
对于选项B: 由圆，可得圆心为，半径为，
所以到直线的距离为，
故直线与圆相交,
故到直线距离为有两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，
因此圆上有三个点到直线的距离等于.故选项B错误；
对于选项C: 曲线可化为，
故曲线是圆心为，半径为的圆；
曲线可化为，
故曲线是圆心为，半径为的圆；
所以，
故曲线与曲线外离，
此时公切线的条数有且只有4条.故选项C正确；
对于选项D: 由圆，可得圆心为，半径为，
所以,
要使最小，只需最小，
即只需到直线的距离，
所以.故选项D正确；故选：ACD.
12. 如图，在底面是直角三角形的直三棱柱中，P是的中点，，，若平面过点P，且与平行，则（ ）
A. 异面直线与CP所成角的余弦值为
B. 三棱锥的体积是三棱柱体积的
C. 当平面截棱柱的截面图形为等腰梯形时该图形的面积等于
D. 当平面截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于
【答案】AC
【解析】对于A，由题可知两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则

，，，
所以，，
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为，故A正确；
对于B，，
，故B错误；
对于C，如图，分别为的中点，

则，，，，，
所以，，，所以，，则共面，又，平面，平面，
所以平面，则四边形为平面α截棱柱的截面图形，
所以四边形是等腰梯形，且高为，
当不是中点时，不平行平面，
则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个，，故C正确；
对于D，如图，分别为的中点，

则，，，，，
所以，，则共面，
又，平面，平面，
所以平面，所以可得四边形为平面α截棱柱的截面图形，
由题可知，，，平面，平面，
所以平面，所以平面，又平面，
所以，
故四边形是直角梯形，当不是中点时，不平行平面，
则四边形不是梯形，直角梯形有且仅有一个，其面积为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知点，，以线段AB为直径的圆的标准方程为______．
【答案】
【解析】因为圆心的坐标为，，
所以该圆的标准方程为.
故答案为：.
14. 曲线处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】因为，所以，时，，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
所以曲线在点处的切线的方程为，
故答案为．
15. 已知双曲线的离心率为e，直线与双曲线交于M，N两点，若，则e的值是______．
【答案】
【解析】联立与得，
解得，
当时，，
由勾股定理得，
所以，解得，
所以离心率.故答案为：
16. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1：若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若“冰雹猜想”中，则m所有可能的取值集合为______．
【答案】
【解析】若，则，则，
若，则或，
当时，则，则或；
当时，则，则；
综上所述：m所有可能的取值集合为.
故答案为：.
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式：
（2）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前n项和．
解：（1）设等差数列的公差为，由题意得，
解得，
所以．
（2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，
所以，
所以
．
18. 在四棱锥中，底面是矩形，，分别是棱，的中点．
（1）证明：平面PAE：
（2）若平面，且，，求二面角的余弦值．
解：（1）如图，取中点，连接，，
因为点为中点，
所以且，
又因为四边形为矩形，为的中点，所以且，
所以且，故四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
（2）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，
所以，，设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，
由于轴平面，则平面的一个法向量为，
显然二面角为锐二面角，设其二面角的平面角为，
则，
所以二面角的余弦值为．
19. 已知椭圆的右焦点为，且经过点
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长．
解：（1）由题意得，解得，
故椭圆的标准方程为．
（2）由题意可得直线的方程为，
与椭圆方程联立，得，
设，，则，
故
．
20. 在如图所示的多面体中，四边形为菱形，且为锐角．在梯形中，，，，平面平面．
（1）证明：平面;
（2）若，，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，则求出，若不存在，说明理由.
解：（1）因为平面平面，，平面，
平面平面，
所以平面，
又因为平面,所以，
因为四边形为菱形，所以，
又，平面，所以平面，
（2）设，取中点,连接,
易得,因为平面，所以平面,
因，
所以．
因为为锐角，所以，所以为等边三角形，
所以，．
以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面CEF的一个法向量，则，
即，
取，可得，，故，
假设存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为，
，
设，
由,得，
即，
则．
设直线与平面所成的角为，
则，
解得，即或，又因为，所以，
故存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为.
21. 已知数列满足：．
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和．
解：（1）因为，所以，
又因为，所以，
所以，
所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列．
所以，
当时，，
所以，
当时，也满足上式，
故数列的通项公式为，
（2）由题意可知，
所以，
所以，
所以①
将①式两边同时乘以，得，②
①②得：
所以
故数列的前项和，
22. 在平面直角坐标系中，已知点，、为抛物线上不同的两点，，且于点．
（1）求的值；
（2）过轴上一点的直线交于、两点，、在的准线上的射影分别为、，为的焦点，若，求中点的轨迹方程．
解：（1）由及，得直线的斜率，
则直线的方程为，即，
设、，
联立可得，则，
由韦达定理得，于是，
由，得，即，即，解得．
（2）由（1）得抛物线的焦点，设的准线与轴的交点为，
因为点、，则，
，
由，得，所以或，
又因为，所以．

设的中点的坐标为，
当与轴不垂直，即时，由，可得，
即，即，即，即，
当与轴垂直时，点与点重合，所以，
综上，中点的轨迹方程为．