2023~2024学年福建省漳州市高二(上)1月期末数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年福建省漳州市高二(上)1月期末数学试卷(解析版)，共13页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知为等比数列，，，则（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】因为为等比数列，所以是与的等比中项，
则.
故选：B.
2. 已知圆C的标准方程为，则与圆C有相同的圆心，且经过点的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意设所求圆的方程为，
代入点，得，
所以所求圆的方程为．
故选：B．
3. 某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插人节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为（ ）
A. 6B. 12C. 20D. 72
【答案】B
【解析】这2个新节目插入节目单中且不相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，
选2个位置安排2个新节目，且两个新节目顺序可变，此时有种插法.
故选：B
4. 已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设直线的倾斜角为，其中，
由直线，可得斜率为，
即，可得，
根据题意，可得直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为，
因为直线经过点，可得直线的方程为，
即.
故选：D
5. 已知，为双曲线的两个焦点，为虚轴的一个端点，，则的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图，因为，
所以，
可得，
即，
可得，则的渐近线方程为.
故选：A.

6. 已知点A(-1，3)，B(3，1)，点C在坐标轴上，∠ACB=90°，则满足条件的点C的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】若点C在x轴上，设C(x，0)，由∠ACB=90°，得|AB|2=|AC|2+|BC|2，
即[3-(-1)]2+(1-3)2=(x+1)2+32+(x-3)2+12，解得x=0或x=2.
若点C在y轴上，设C(0，y)，同理可求得y=0或y=4，
综上，满足条件的点C有3个.
故选：C.
7. 已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，若，则，
由等比数列性质知，所以，故选项A错误；
又，因为，所以，所以，
则，故先增后减，所以，故选项B正确；
若，则，又，无法判断与1的大小，即无法判断与1的大小，故与大小没法判断，故选项CD错误.
故选：B
8. 已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长是（ ）
A. 6B. C. D. 8
【答案】D
【解析】设直线与相交于，

由题意，此时为等边三角形，
所以为线段的中点，进而可得为线段的垂直平分线，
所以.
因此，的周长等于
.故的周长为.
故选：D
二、多项选择题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.
9. 已知直线，，则（ ）
A. 过定点B. 当时，
C. 当时，D. 当时，的斜率不存在
【答案】ABD
【解析】对于A，直线的方程化为，令，解得，
所以直线过定点，正确；
对于B，当时，，，所以，正确；
对于C，当时，其斜率为2，其斜率为0，故两直线相交，错误；
对于D，当时，，直线的倾斜角为，故的斜率不存在，正确.
故选：ABD.
10. 2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去，展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）
A. 若展馆需要3种花卉，有4种安排方法
B. 共有14种安排方法
C 若“绿水晶”去展馆，有8种安排方法
D. 若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法
【答案】AB
【解析】A选项，若展馆需要3种花卉，则有种安排方法，正确.
B选项，4种花卉按去，展馆参展有种方法；
按去，展馆参展有种方法；
因此不同的安排方法种数是，正确.
C选项，若“绿水晶”去展馆，若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，
若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，
若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，所以共有种方法，错误.
D选项，由选项B知，4种精品花卉将去，展馆参展共有14种安排方法，
若2种三角梅去往同一个展馆，有种安排方法，
则2种三角梅不能去往同一个展馆，有种安排方法，错误.
故选：AB
11. 已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为线段中点B. 若，则
C. 存在直线，使得D. 面积的最小值为8
【答案】ABD
【解析】A选项，由题意得，准线方程为，
设直线方程为，，，
由抛物线定义得，解得，
故，不妨设，
故直线方程为，则，，故，
所以线段中点，A正确；
B选项，设，则，又，
解得，故，B正确；
C选项，联立与得，解得，
故，则，
中，令得，故，
则，
故不存在直线，使得，C错误；

D选项，由C选项可知，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积最小值为8，D正确.
故选：ABD
12. 已知数列的前项和为，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. 可能为1B. 数列是等比数列
C. D. 若，的最大值为64
【答案】BC
【解析】对于A，当时，，又，所以，故A错误；
对于B，由，得，即，由选项A知，故数列是以为首项，-1为公比的等比数列，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，为奇数时，
为偶数时，，
因为，所以的最大值不可能为64，故D错误；
故选：BC
三、填空题：本大题共4小题.
13. 圆在点处的切线方程为______.
【答案】
【解析】由题意可知：圆的圆心为，
因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线，
而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为，
故切线方程为：，即.
故答案为：
14. 已知，则______.
【答案】
【解析】令得，
所以.故答案为：
15. 数列满足，且，则数列的通项公式___.
【答案】
【解析】
，该通式对也适用，
所以答案为：.
16. 已知双曲线的左焦点为，以为圆心、为半径作圆， 若圆上存在点，双曲线的右支上存在点使得，则双曲线的离心率的取值范围为________．
【答案】
【解析】如图，若圆上存在点，双曲线的右支上存在点使得，
当与圆相切时，，此时，则，
则，因为，
所以，解得：
所以双曲线离心率的取值范围是.故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知的展开式中，所有二项式系数的和为32．
（1）求的值；
（2）若展开式中的系数为，求的值．
解：（1）∵所有二项式系数的和为32，
∴，∴．
（2）二项式展开式的通项公式为，
令，
∴展开式中的系数为，
∴解得．
18. 已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
解：（1）∵，，成等比数列，且公差
∴
∴，解得
∴
（2）∵
记的前项和为
∴.
19. 已知圆的圆心在轴上，且经过，两点，过点的直线与圆相交于，两点.
（1）求圆的方程；
（2）当时，求直线的方程.
解：（1）因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为，
因为圆经过，两点，
所以，
解得，
所以圆的方程为.
（2）记圆心到直线距离为，因为，解得，
当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离，符合；
当直线的斜率存在时，，即，
由，解得，所以直线，
即.
综上，直线为或.
20. 已知圆，动圆与圆内切，且与定直线相切，设动圆圆心的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于、两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程．
解：（1）如图：
设动点，显然动圆的半径要大于圆的半径，两圆内切，所以圆心距离，又因为动圆与直线相切，
所以，所以， 整理得，
∴的方程为；
（2）易知直线斜率不为0，故可设方程为，，，
联立得：，
，， ，
则
原点到直线的距离，
所以
解得，所以直线的方程为
21. 已知数列的前项和为，满足．
（1）求的通项公式；
（2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和．
解：（1）当时，有，解得；
当时，有，联立条件，
得，
即，即；
所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，
因此，．
（2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大排列依次为：
，，，，，，…
数列前6项为2，，，，．
．
注意到，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列，
，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列，

．
22. 已知为坐标原点，，的坐标分别为，，动点满足直线与的斜率之积为定值，设动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设直线与曲线相交于，两点，直线，，的斜率分别为，，（其中），的面积为S，以，为直径的圆的面积分别为，．若，，恰好构成等比数列，求的取值范围．
解：（1）设的坐标为，
依题意，得
整理得．
的轨迹是长轴长为4，短轴长为2的椭圆，不含长轴两端点．
（2）设直线的方程为（，且），
联立，得，
，即，
设，，
则，，
因为，，成等比，所以，即，
即，所以，
因为且及，上式可解得，
所以，，，，且
，
，
到的距离，
，
因为且，所以，
从而．