2023~2024学年河南省济源市高二(上)期末质量调研数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年河南省济源市高二(上)期末质量调研数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 已知为坐标原点，是椭圆， 已知直线等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为.
故选：B.
2. 过点且方向向量为的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率，又函数过点，所以直线方程为，即；
故选：B
3. 等差数列，0，，…的第20项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，，
所以，
则.
故选：C.
4. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】由于构成空间的一个基底，故不共面，
对于A，与共面，不共面，故，，不共面，
否则，若，，共面，则共面，不符题意，A错误；
对于B，假设，，共面，则存在实数，使得，
即，则，方程组无解，
假设不成立，故，，不共面，B错误；
对于C，，与共面，由于不共面，
故，与不共面，C错误；
对于D，，故，，共面，
故选：D
5. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】抛物线即的焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为，即，
所以点到直线距离为，则，
则双曲线的离心率为.
故选：A
6. 我国享誉世界的数学大师华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】可看作圆上的点与点连线的斜率，
如图，只需求出临界状态：相切时的斜率，
设直线为，
则圆心到直线距离，
解得：，
所以的取值范围为.
故选：D
7. 已知数列满足，，，则数列的第2024项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
所以
累加得
故选：C.
8. 已知为坐标原点，是椭圆：上位于轴上方的点，为右焦点.延长，交椭圆于，两点，，，则的值为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】如图，设椭圆的左焦点为，连接，
因为，结合椭圆的对称性可知，四边形为矩形，
设，则，，，
在中，，
化简整理得，所以，，
在中，，
所以，
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线：，其中，则下列说法正确的有（ ）
A. 直线过定点
B. 若直线与直线平行，则
C. 当时，直线的倾斜角为
D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【解析】由已知，直线：，
则直线过定点，A正确；
若直线与直线平行，则，
得，或，B错误；
当时，直线：，则，
所以倾斜角为，C正确；
当时，直线：，其在轴上的截距分别为，
不相等，D错误.
故选：AC.
10. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A. 当时，曲线C是椭圆
B. 当或时，曲线C是双曲线
C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
【答案】BCD
【解析】A选项，曲线是椭圆等价于，解得且，故A错误；
B选项，曲线是双曲线等价于，解得或，故B正确；
C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确；
D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确.
故选：BCD.
11. 设是公差为的等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】根据题意可得，
由等差数列性质可知．
因为，所以，
所以，
所以数列是递增数列，的前项和有最小值为，所以.
所以A，B正确，C，D不正确；
故选：AB．
12. 如图，正三棱柱中，，点为中点，点为四边形内（包含边界）的动点，则以下结论正确的是（ ）
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 若平面，则动点的轨迹的长度等于
D. 若点到平面的距离等于，则动点的轨迹为抛物线的一部分
【答案】BCD
【解析】对于A，，选项A错误；
对于B，过点作的平行线交于点，
以为坐标原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，

设正三棱柱底面边长为，侧棱长为，则，，，，，
所以，，
因，所以，即，解得，
因为，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，选项B正确；
取的中点，的中点，连接，则∥，平面，
平面，所以∥平面，同理∥平面，
又，平面，平面，所以平面∥平面，
因为平面且平面，
所以动点的轨迹的长度等于，故C正确；

对于D，设点E在底面ABC的射影为，作垂直于，垂足为F，

若点E到平面的距离等于，即有，又因为在中，，得，其中等于点E到直线的距离，故点E满足抛物线的定义，另外点E为四边形内（包含边界）的动点，所以动点E的轨迹为抛物线的一部分，故D正确.故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若圆与圆只有唯一的公共点，则__________.
【答案】或
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆的标准方程为，其中，
圆的圆心为，半径为，
由题意可知，两圆外切或内切，且，
若两圆外切，则，即，解得；
若两圆内切，则，即，
解得.
综上所述，或.
故答案为：或.
14. 在平面直角坐标系中,若的坐标,满足方程,则点的轨迹是__________（填曲线的类型，填方程不给分）.
【答案】直线
【解析】由，
得，
所以等式左边表示点到点的距离，
右边表示点到直线的距离，两距离相等，
而点在直线上，
所以点的轨迹是垂直直线于点的直线.
故答案：直线.
15. 已知数列均为正项,且是等差数列，，则__________.
【答案】100
【解析】因为且是等差数列，
设公差为，
所以，
所以是正项等比数列，
所以
，
所以，
故答案为：100.
16. 如图,在四棱台中,，，设，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】如图，因为，令，
则面，
则，所以的最小值即为四棱台的高，
过作面于，过作于，过作于，
连接，
因为面，面，所以，
又，，面，所以，
又，，得到，，
同理可得，，，所以，得到，
在中，，所以，
得到，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知圆关于直线对称,且圆与直线相切于点.
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程.
解：（1）因为圆与直线相切于点
所以过点与直线垂直的直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
由，解得圆心.所以半径.
故圆的标准方程为：；
（2）①若斜率存在，设过点的直线斜率为，
则直线方程为：，
即，所以圆心到直线的距离，
又因为，，所以，
解得.
此时直线的方程为.
②若斜率不存在，直线方程为，弦心距为2，半径，
弦长为，符合题意.
综上，直线的方程为或.

18. 已知数列满足：，，设.
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和.
解：（1）由，，可得.
因为，即，.
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.
（2）由（1）可得：，
即，
所以.
（3）由（2）可知：，
则，
可得，
两式相减可得：.
所以.
19. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子、分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记.
（1）证明：平面；
（2）当为何值时，的长最小并求出最小值；
（3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.
解：（1）因为四边形为正方形，
则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
因为，所以，.
则，易知平面的一个法向量为.
因为，所以.
又平面，所以平面.
（2），其中.
，
当时，最小，最小值为.
（3）由（2）可知，当、分别为、的为中点时，最短，
此时、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
20. 已知抛物线（）的焦点为,点为抛物线上一点,且.
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值.
解：（1）由抛物线过点，且，
得
所以抛物线方程为；
（2）由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，
设，联立
得，
所以，
所以，
所以
因为，
所以，
则，
，即，
解得或，
又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，
不符合题意，故舍去；
所以实数的值为.
21. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，，分别为侧棱，的中点，点在上且.
（1）求证：，，，四点共面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
解：（1）因为平面是菱形，所以，
又因为底面，面，所以，，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立如图空间直角坐标系：
因为，，，则，，，，，
因为，分别为侧棱，的中点，所以，，
设，，
因为，
所以，解得，即.
所以，，.
所以，由向量共面的充要条件可知，，，共面.
又，，过同一点，从而，，，四点共面.
（2）由（1）可得，，，
，
又因为，
所以，.
设平面的法向量，
由，得到，
取，可得，，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由（1）和（2）知，平面的法向量，
设到平面的距离为，则.
22. 已知椭圆：的离心率为.点在椭圆上,点，，的面积为，为坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线交椭圆于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，证明：的面积是定值，并求此定值.
解：（1）由已知得，∴，
又，∴，∴椭圆：.
（2）当直线的斜率不存在时，设直线：（且），
代入，得，
则，∴，
则，
当直线的斜率存在时，设点，，直线：，
代入，得，
∴，
，，，
∴，满足，，
又原点到直线的距离，
∴，为定值.
综上，的面积为定值，定值为.