2024~2025学年吉林省四平市九年级(上)期末模拟(九)数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年吉林省四平市九年级(上)期末模拟(九)数学试卷(解析版)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题2分，共12分）
1. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵将绕点顺时针旋转得到，且
∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，
∴∠B=∠BDC，
∴，
∴，
∴，
，
故选：C．
2. 已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A. 4045B. 4044C. 2022D. 1
【答案】A
【解析】∵，是方程的两个实数根，
∴，，
，
故选A．
3. 已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵
∵开口向上，对称轴为x=1，
∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．
故选：B．
4. 如图，内接于，CD是的直径，，则（ ）
A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°
【答案】C
【解析】∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故选：C．
5. 某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率，
故选D．
6. 若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由“倍值点”的定义可得：，
整理得，
∵关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，
∴
∵对于任意实数总成立，
∴
整理得，
∴∴，
∴，或
当时，解得，
当时，此不等式组无解，∴，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中阴影构成中心对称图形，涂黑的小正方形序号为__________；若与图中阴影构成轴对称图形，涂黑的小正方形序号为__________．
【答案】 ② ⑤或⑥或⑦
【解析】当涂黑②时,将图形绕O旋转180°,与原图重合,阴影部分为中心对称图形,故答案为②.
当涂黑⑤⑥⑦时,与阴影部分组成轴对称图形.
故答案为⑤⑥⑦.
8. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______．
【答案】
【解析】进行移项得，
二次项系数化为1得，
配成完全平方式得，即，
因为用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，
所以，，则．
9. 如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________．
【答案】
【解析】如图，设OA=a，则OB=OC=a，
由正方形的性质可知∠AOB=90°，，
由正方形的性质可得CD=CE=OC=a，∴DE=2a，
S阴影=S圆-S小正方形=，
S大正方形=，
∴这个点取在阴影部分的概率是．
10. 如图，在中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，当时，的长是___________．若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，当时，四边形面积S的取值范围是____________．

【答案】
【解析】∵点D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，∴；
如图，设，

由题意得，，且，
∴，
又F、G分别是的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
由题意得，与的距离是，
∴，
∴边上的高为，
∴四边形面积，
∵，
∴．
11. 平行四边形中，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接．再以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，若，且平分，，则图中阴影部分面积为______．（结果不取近似值）
【答案】
【解析】连接，

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，∴是等边三角形，
∴，∴，
∴，∴，
∴，，
∴，∴，
∴，，
，，
∴阴影的面积．
12. 如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为__________．

【答案】6
【解析】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接

∵是等边三角形，
∴
∵是等边三角形的外接圆，其半径为4
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴的最小值为的长度
∵是等边三角形，，
∴
∴的最小值为6．
13. 如图，在正方形中，，E为的中点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为______．

【答案】
【解析】∵正方形，
∴，，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
由旋转可得：，，
∴．
14. 如图，二次函数与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为．点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿运动到点A停止，则时间最短为________秒．
【答案】
【解析】如图，连接，作于点D，与交点即为符合题意的点P，
令，则，
解得或，
∴A，B两点坐标为，，
∴，
∵A，B两点关于对称，
∴，
∵顶点C到x轴的距离为，
∴
∴，
∵都是的高，
∴，
由题意得动点运动的时间为，
∵是等边三角形，，
∴，
∵作，
∴，
∴，
显然在l上另取一点，连接，
∵，
∴当时，运动时间最短为．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 已知关于的一元二次方程，其中分别是的边长．
（1）若方程有两个相等的实数根，试判断的形状；
（2）若是等边三角形，试求该一元二次方程的根．
解：（1）∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）当是等边三角形，
∴，
可整理为：，
∴，
∴，
解得：，．
16. 已知抛物线经过点，，，连接、，令．
（1）若，，求的值；
（2）若，，求a的值．
解：（1）∵，，
则点为抛物线的顶点，点、关于抛物线对称轴对称，
故，
∴；
（2）若，则，
则，，，
即点、、的坐标分别为、、，
则，，
∵，即，
∴，解得，
∴．
17. 如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边DE，AB的中点，．

（1）将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值；
（2）将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长．
解：（1）依题意，，，
当在的延长线上时，的距离最大，最大值为，
当在线段上时，的距离最小，最小值为；

（2）如图所示，过点作，交的延长线于点，

∵绕顶点逆时针旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
18. 一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3，这些小球除标有的数字外都相同．
（1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 ；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
解：（1）由题意可得，数字1，1，2，3中，数字1有2个，
所以，从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为，
故答案为：；
（2）树状图如下：

由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种，
摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，为半圆的直径，O为圆心，，延长到A，使得，直线与半圆交于B，C两点，且．

（1）求弦的长；
（2）求的面积．
解：（1）过点作于，如图，则，

∵直径，，
∴，，
∵，则
∴，则，∴，
在中，，∴，∴；
（2）由（1）可知：，，
∴，
∴．
20. 如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣2，0）．
（1）图中点B的坐标是______；
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是_____；点A关于y轴对称的点D的坐标是______；
（3）四边形ABDC的面积是______；
（4）在y轴上找一点F，使，那么点F的所有可能位置是______．
解：（1）过点B作x轴的垂线，垂足所对应的数为﹣3，因此点B的横坐标为﹣3，
过点B作y轴的垂线，垂足所对应的数为4，因此点B的纵坐标为4，
所以点B（﹣3，4）；
（2）由于关于原点对称的两个点坐标纵横坐标均为互为相反数，
所以点B（﹣3，4）关于原点对称点C（3，﹣4），
由于关于y轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，其纵坐标不变，
所以点A（﹣2，0）关于y轴对称点D（2，0）；
（3）＝2××4×4＝16；
（4）∵＝＝8＝，
∴AD•OF＝8，∴OF＝4，
又∵点F在y轴上，∴点F（0，4）或（0，﹣4）．
21. 已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．
（ⅰ）若，且，，求h的值；
（ⅱ）若，求h的最大值．
解：（1），
∴的顶点为，
∵抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1，
∴抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，
∴，
∴b=4；
（2）由（1）得
∵点Ax1,y1在抛物线上，点在抛物线上．
∴， ，
整理得：
（ⅰ）∵，
∴，
整理得：，
∵，，∴，∴；
（ⅱ）将代入，
整理得，
∵，∴当，即时，h取得最大值为．
22. 已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求：
（1）△PCD的周长；
（2）若∠P＝50°，求∠COD的度数．
解：（1）∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA＝PB＝6，ED＝AD，CE＝BC；
∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA＝12；
（2）连接OE，如图所示：
由切线的性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，
∴∠OAC＝∠OEC＝∠OED＝∠OBD＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝130°，
由切线长定理得：∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB＝×130°＝65°．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 如图，正六边形内接于．

（1）若是上的动点，连接，求的度数；
（2）已知的面积为．
求的度数；
求的半径．
解：（1）如图所示，在取一点，连接 ，

∵六边形是正六边形，
∴ ，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴，，
∴，
∴，
即的半径为．
24. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
解：（1）∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设，
∵经过点(0， )，
∴
解得∶
∴，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）该女生在此项考试中得满分，理由如下∶
∵对于二次函数，当y=0时，有
∴，
解得∶， (舍去)，
∵>6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 综合与实践
【问题提出】
某数学兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系．
【初步感知】
（1）如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，S＝________；
②求S关于t的函数解析式．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式（并写出自变量的取值范围）及线段AB的长．
【延伸探究】
（3）若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等．
①_______；
②当时，求正方形的面积．
解：（1）①∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，
∴当时，点P在上，且，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）由（1）知，抛物线过点，顶点为：，
则抛物线的表达式为：，
将代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
当时，则，
解得：（舍去）或8，
则；
（3）在题干图中画出，如下图：
从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，
若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等，
则，，如上图所示，此时符合题意．
①从图象看，，关于x=2对称，
则，
则①，
故答案为：4；
②从图象看，关于对称，
则②，
而③，
由①②③得：，
解得：，
当时，，
即正方形的面积为3．
26. 如图，矩形ABCD中，，BC=6，点O是BC的中点．点E从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC匀速运动；点F从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OC匀速运动．E，F两点同时出发，运动时间为t秒（0≤t≤），在两点运动过程中，以EF为边作等边三角形EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线BC的同侧．
（1）若点G落在边AD上，求t的值；
（2）若t=2，求△EFG和矩形ABCD重叠部分的周长；
（3）在整个运动过程中，设△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，试求出S与t之间的函数表达式．
解：（1）由题意，得OB=OC=3，BE=t，OF=2t，
∴EF=OB－BE＋OF=3－t＋2t=3＋t．
当G落在AD上时，如图①，
G到EF的距离为，∴EF=4，即3＋t=4，t=1．
（2）当t=2时（如图②），
设EG，FG分别与AD相交于点M，N，FG与CD相交于点K，
则BE=2，OF=4，EC=4，CF=1．
在Rt△CFK中，∠F=60°，∴KF=2，KC=．
∵CD=，∴KC=，即K是CD的中点．∴KN=2，MN=1，ME=4．
∴重叠部分的周长=4++2+1+4=11+．
（3）(i)当0≤t≤1时，
由（1）知，S=S△EFG==；
(ii)当1＜t≤时，如图③，
设EG，FG分别与AD相交于点M，N，则MN=t－1，
∴S=S四边形MNFE=(t－1＋t＋3)×=；
(iii)当＜t≤时，如图④，
设EG，FG分别与AD相交于点M，N，FG与CD相交于点K，
则MN=t－1，CF=2t－3，CK=，
∴S=S四边形MNFE－S△CFK=(t－1＋t＋3)×－=．
综上所述，S=