2024~2025学年吉林省四平市九年级(上)期末模拟(三)数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年吉林省四平市九年级(上)期末模拟(三)数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题2分，共12分）
1. 下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ）
A.B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、该方程的未知数的二次项系数是，当时不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意；
B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确，符合题意；
C、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意；
D、该方程有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
2. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：C．
3. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
，，
∴二次函数的开口向下，，
∴对称轴在y轴左侧，
故选：C．
4. 如图，在中，是直径，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：．
5. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A. 竹篮打水B. 瓮中捉鳖
C. 水滴石穿D. 守株待兔
【答案】A
【解析】A、竹篮打水，是不可能事件，符合题意；
B、瓮中捉鳖，是必然事件，不符合题意；
C、水滴石穿，是必然事件，不符合题意；
D、守株待兔，是随机事件，不符合题意；
故选：A．
6. 如图，正方形内接于．点为上一点，连接、CE，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接，，，
正方形内接于，
，，，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 若点关于原点对称点，那么________．
【答案】1
【解析】∵点关于原点的对称点是
故答案为：1．
8. 有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有49人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为__________人．
【答案】343
【解析】设一个人可以传染x个人，
，
解得：，（舍），
∴经过三轮后患了感冒的人数为：（人），
故答案为：343．
9. 抛物线与轴的两个交点之间的距离为______．
【答案】5
【解析】∵抛物线，
∴当时，，
解得：，．
∵，
∴抛物线与x轴两个交点之间的距离为5．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为__________．
【答案】
【解析】作轴于点，由旋转可得，轴，
∴四边形为矩形，∴，，
∴点坐标为．
11. 如图，的半径为10，弦AB的长为，，交AB于点，交于点，则_____．
【答案】8
【解析】∵的半径为10，∴，
∵，，∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：8．
12. 一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有5个．每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，那么可以推算出a的值大约是______．
【答案】25
【解析】由题意，得：摸到红球的概率为，
∴，∴；
故答案为：25．
13. 当______时，关于的方程有实数根．
【答案】
【解析】①当关于的方程为一元一次方程时，有，解得，
又因为时，方程无解，所以；
②当关于的方程为一元二次方程时，根据题意有，解得；
综上所述可知：.
14. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需为有游客居住的房间每天支出20元费用，若想要获得最大利润，则房价应定为每个房间每天______元．
【答案】
【解析】设房价定为元，每天的利润为元，
，
因为，
故当时，获得最大利润．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 解方程：．
解：，
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
16. 如图，是一个抛物线形拱桥，以拱顶O为坐标原点建立平面直角坐标系，当拱顶O离水面的高时，水面宽．
（1）求该抛物线表示的二次函数解析式；
（2）当水面下降到达时，求水面宽度增加多少？
解：（1）设该抛物线表示的二次函数解析式为，
∵，
∴抛物线经过点．∴．∴．
∴该抛物线表示的二次函数解析式为．
（2）∵当水面下降到达时，
∴．即．∴．
∴，．∴．
∴水面宽度增加．
17. 如图将绕点A逆时针旋转得到，点C和点E是对应点，若，，求BD的长．
解：由旋转的性质得：，，
∴．
18. 早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“A．虾饺，B．干蒸烧卖，C．艇仔粥，D．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同）
（1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是______________；
（2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率．
解：（1）∵共有四种茶点，
∴如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是：.
（2）画树状图如图所示：
由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果有2种，
∴P（张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”）.
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）的面积是______．
（2）请画出绕点B顺时针旋转90°后的．
（3）已知点为y轴上一点，当取得最小值时，m的值是______．
解：（1）的面积为．
（2）如图，即为所求．
（3）如图，作点A关于y轴的对称点，连接，则与y轴的交点即为所求的点P．
∵，∴，设直线的解析式为，
将点，代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
令，得，∴点P的坐标为，∴．
20. 如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为xm．
（1）的长为 米；
（2）如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
解：（1）∵隔离网的总长为30m，且，
∴，
∴米，
故答案为：；
（2）养殖园的面积不能达到，理由如下：
∵隔离网的总长为30m，
设，
∴，
根据题意得：，
整理得：，
∵，
∴该方程无实数根，
∴养殖园的面积不能达到．
21. 如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，，求的长．
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
（1）证明：∵与相切于点A，
∴，
∵平分，，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为2，
∴，
∵，，
∴，，
∵，都是的切线，
∴设，则，
∴在中
，即，
解得，
∴．
（3）解：中，，，
∴，，∴，∴，
，，
∴.
22. 如图，已知抛物线与轴交于 和两点，与轴交于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设是线段上的动点，作交于，连接，当的面积是面积的倍时，求点的坐标．
解：（1）∵抛物线与轴交于A-4,0和两点，
，解得：，
故此抛物线的解析式为：；
（2）由知：；
，
，；
，，
，，，
点的坐标为：．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O，并标出圆心．（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半径．
解：（1）如图，⊙O即为所求；
（2）直线BC与⊙O的位置关系为：相切，理由如下：
连接OD，
∴OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴AC∥OD，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，OD是半径，
∴直线BC与⊙O相切；
（3）设⊙O的半径为x，
在Rt△OBD中，OD＝x，OB＝8﹣x，BD＝4，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3．
答：⊙O的半径为3．
24. 如图，在三角形中，，，点P为内一点，连接，，，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，．

（1）用等式表示与的数量关系，并证明；
（2）当时，
①直接写出的度数为________；
②若M为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明．
解：（1），

证明：∵，，
∴，
∵将线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴；
（2）①当时，
则，
∵，，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：
②，理由如下：
延长到N，使，连接、，
∵M为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴且，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵'为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
六、解答题 （每小题10分，共20分）
25. 如图，在中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为．
（1）当点D落在上时，x的值为______．
（2）当点D落在上时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
解：（1）∵，，
∴，
当点在上时，如图所示，此时，
∵，四边形为正方形，
∴，，
∴，则，
∴，则，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
当点在上时，如图所示，此时，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，则，
∴，则，
∴；
（3）由（1）可知，当点在上时，，当点在上时，，
当时，如图，正方形和重叠部分图形的面积为正方形的面积，
∴；
当时，如图，
∵，
∴，，
∴，则，
又∵是正方形，
∴，则，
∴，则，
∴；
当时，如图，
，∴．
26. 如图，抛物线经过点A-4,0、，交轴于点．为抛物线在第三象限部分上的一点，作轴于点，交线段于点，连接．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求线段长度的最大值，并求此时点D的坐标；
（3）若线段把分成面积比为的两部分，求此时点的坐标．
解：（1）∵抛物线与x轴交于点，
∴设抛物线的表达式为，
将代入表达式，解得，抛物线的表达式为：，
即：；
（2）设直线的表达式为：，
将A-4,0代入表达式，得，
直线的表达式为：；
设，．
则；
当时，有最大值，为，
把代入，得：，
，
线段长度得最大值是，此时的坐标是；
（3）根据题意，，
当时，有：，
解得（舍去）；
当时，有：，
解得：，（舍去）；
综上所述：当时，满足条件．