2024~2025学年吉林省四平市九年级(上)期末模拟(四)数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年吉林省四平市九年级(上)期末模拟(四)数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题2分，共12分）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 两个负数相乘，积是正数是不可能事件
B. “煮熟的鸭子飞了”是随机事件
C. 射击运动员射击一次，命中十环是必然事件
D. “掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件
【答案】D
【解析】、两个负数相乘，积是正数是必然事件，故本选项说法错误，不符合题意；
、“煮熟的鸭子飞了”是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意；
、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项说法错误，不符合题意；
、“掷一次骰子，向上一面点数是”是随机事件，说法正确，符合题意；
故选：．
2. 若点与点关于原点对称，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】点与点关于原点对称，
，，
解得：，，
，
故选：A.
3. 关于x的方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不能确定
【答案】A
【解析】∵，∴，
∴方程有两个不相等实数根．
故选：A．
4. 将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为，则扇形的圆心角大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】已知，，
，，
解得．
故选：D．
5. 在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由二次函数可知，抛物线开口向上，顶点在y轴，由一次函数可知，直线与y轴的交点为0,2，故选项A、D不符合题意；
当时，二次函数顶点y轴正半轴， ，一次函数经过一、二、四象限，选项C不符合题意；
当时，二次函数顶点在y轴负半轴，，一次函数经过一、二、三象限，选项B符合题意．
故选∶B．
6. 若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是（ ）
A. 23B. 34
C. 23或34D. 或
【答案】A
【解析】设十位数字为，则个位数字为，依题意得：
，
整理得：，
∴
解得：（舍去），，
∴，
∴，
∴这个两位数是，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 若方程是关于的一元二次方程，则___________．
【答案】
【解析】是关于的一元二次方程，
，，解得：．
8. 把二次函数化为的形式，则______．
【答案】4
【解析】
，
∴．
9. 在平面直角坐标系中，将线段绕原点逆时针旋转，记点的对应点为，则的坐标为______．
【答案】
【解析】如图，
把绕坐标原点O逆时针旋转得到，
则，，，∴点．
10. 一个点到圆的最小距离是，最大距离是，则这个圆的半径长为__________．
【答案】或
【解析】设此点为P点，圆为，最大距离为PB，最小距离为，
∵此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离点，
∴有两种情况：
①当点P在圆内时，如图所示，
半径；
②当点P在圆外时，如图所示，
半径．
综上可知，圆的半径为或．
11. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点不与点重合，则的度数为______ ．
【答案】
【解析】如图，连接，，
∵是正五边形，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有30次摸到白球，估计这个口袋中有______个红球．
【答案】
【解析】摸了100次球，发现有30次摸到白球，
摸到白球的概率是，
设红球有个，则，解得，
故答案为：．
13. 如图，以矩形的顶点为圆心，以边的长为半径作弧，交线段的延长线于点，交边于点，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】如图所示，连接，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴．
14. 如图，在矩形中，，，点和点分别为边和边上的动点，且满足，则当的面积最大时，的值为______．
【答案】
【解析】设，
，，
，
，
，
当时，的面积最大，
即当的面积最大时，的值为．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 已知，求的值．
解：设，
据题意，得．
解得．
∵，
∴，
故答案为：3．
16. 小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为的概率．
（2）如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由．
解：（1）列表如下：
由表可知，共有种等结果，其中和为的结果有种，
∴这两数和为的概率为；
（2）这个游戏规则对双方不公平，理由如下：
由表可得，，，
∵，
∴这个游戏规则对双方不公平．
17. 如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为．

（1）求弧的长度；
（2）求纸扇上贴纸部分的面积．
解：（1）；
（2），，
，
，
，
贴纸部分的面积．
18. 二次函数中的自变量x和函数值y满足下表：
（1）这个二次函数的对称轴是直线________；
（2）m的值为________；
（3）当时，y的取值范围为________．
解：（1）∵由表中x、y的对应值可知，当与时y的值相等
∴对称轴是直线
故答案为：；
（2）∵点关于直线的对称点为
∴，
故答案为：；
（3）由表格数据可知，y随x的增大先减小后增大，
∴抛物线开口向上，
又对称轴是直线，
∴当时，．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，图1、图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上了黑色，请你再涂黑两个小菱形，使得整个涂色部分图形满足下列条件：

（1）图1中，整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）图2中，整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形．
解：（1）如图，涂色部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，

（2）如图，涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形，

20. 南昌市秋水广场喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点在y轴上，x轴上的点和点D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为．
（1）求水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式；
（2）求两个水柱的最高点M，N之间的距离．
解：（1）将点，代入函数解析式为，
则，解得，
∴函数解析式为.
（2）∵抛物线第一象限部分的函数解析式为，
∴当时，，
∴点坐标为，
从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴点坐标为，
∴两个水柱的最高点M，N之间的距离为.
21. 如图1，为直径，与相切于点B，D为上一点，连接，若．
（1）求证：为的切线；
（2）如图2，过点A作交延长线于点E，连接交于点F，若，求的长．
（1）证明：连接，
∵与相切，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又为半径，
∴为的切线；
（2）解：如图，连接，
设，
∵，
∴，
∵，
∴为的切线，
∵为的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
过点E作于M，则，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，解得，
∴，
∴，
∵，
∴．
22. 如图，点E是正方形内一点，将绕点A顺时针旋转至，点E的对应点为点F．
（1）若，，求的度数．
（2）连接，若，求线段的长．
解：（1），
，
绕点顺时针旋转至，
，
；
（2）绕点顺时针旋转至，点的对应点为点，
旋转至的位置，旋转角为，
，
．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点C0,-3，点P是直线下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求出四边形的面积最大时的P点坐标和四边形的最大面积．
解：（1）将、两点的坐标代入二次函数解析式得，，
解得：，
∴二次函数的表达式为：；
（2）如图，过点作轴的平行线与交于点，与交于点，

设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
设，则点的坐标为；
中，当时，
解得：，，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，∴当时，四边形的面积最大，
此时点的坐标为：，四边形的面积的最大值为．
24. 又是一年脐橙丰收季！小石通过网络平台进行直播销售．已知每箱（小箱）脐橙的成本是元如果销售单价定为每箱40元，那么日销售量将达到箱．据市场调查，销售单价每提高元，日销售量将减少箱．
（1）若销售单价定为每箱元()，请用含的式子表示日销售量；
（2）要使每天销售这种脐橙盈利元，同时又要让利给顾客，那么脐橙的售价单价应定为每箱多少元？
解：（1）由题意，得：；
（2）设这种脐橙的售价单价定为每箱元，则每箱的销售利润为元，
日销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要让利给顾客，
．
答：这种脐橙的售价单价应定为每箱50元．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形（要求），直接写出相应的点Q的坐标．
解：（1）设此抛物线的函数解析式为：，
将，，三点代入函数解析式得：
，解得，
所以此函数解析式为：；
（2）连接，
∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，
∴M点的坐标为，
∴
，
∵，
当时，S有最大值为：．
（3）设，
根据平行四边形的性质知，且，则，为平行四边形的边，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
又∵直线的解析式为，
则，
由，得，
整理得：
所以或
解得或或（不符合题意，舍去），
∵，
∴不可能是对角线
∴由此可得：或或．
26. 在平面直角坐标中，边长为2 的正方形的两顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O 在原点． 现将正方形绕点 O 顺时针旋转，当点A 第一次落在直线 上时停止旋转，旋转过程中，边交直线． 于点M，边交x轴于点N（如图）．
（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；（结果保留π）
（2）旋转过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数；
（3）设 的周长为p，在旋转正方形的过程中，p值是否有变化？ 请证明你的结论．
解：（1）∵A点第一次落在直线上时停止旋转，直线与y轴的夹角是，
∴旋转了．
∴在旋转过程中所扫过的面积为．
（2）在正方形中，，，
∵，
∴，．
∴．
∴．
又∵，
∴．
又∵，，
∴．
∴．
∴旋转过程中，当和平行时，正方形旋转的度数为．
（3）在旋转正方形的过程中，p值无变化．
证明：延长交y轴于E点，
则，，
∴．
又∵，．
∴．∴，．
又∵，，∴．
∴．∴，
∴．
∴在旋转正方形的过程中，p值无变化．x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
10
3
m
…