专题02 一元二次函数、方程和不等式（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（全国通用）.zip

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1、理解不等式的概念，掌握不等式的性质；
2、掌握基本不等式（）；
3、能用基本不等式解决简单的最大值或最小值的问题
4、会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程的根的关系；
5、了解一元二次不等式的意义，会求一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；
基础知识梳理
1、不等式的概念
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.
2、实数大小的比较
1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.
2、作差法比大小：①；②；③
3、不等式的性质
4、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果，，，当且仅当时，等号成立．
②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
5、两个重要的不等式
①（）当且仅当时，等号成立．
②（）当且仅当时，等号成立．
6、利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
7、二次函数
（1）形式：形如的函数叫做二次函数.
（2）特点：
①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.
②当且()时，恒有()；当且()时，恒有().
8、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
9.或型不等式的解集
10、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
考点精讲讲练
考点一：等式性质与不等式性质
【典型例题】
例题1．（2024北京）已知，则下面不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可.
【详解】对于ABD:取，满足，显然和，都不成立；
对于C：由可得，故成立.
故选：C
例题2．（2024福建）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】根据不等式的性质判断AB，举反例判断CD．
【详解】因为，
所以，A正确；
，因此，B错；
时，，但，，CD错；
故选：A．
例题3．（2024湖北）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】根据题意建立不等关系即可.
【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为，
则有.
故选：C
【即时演练】
1．已知四个实数．当时，这四个实数中的最大者是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】作差法比较代数式的大小
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合作差法比较大小.
【详解】由，得，则；
，则；
，则，
所以这四个实数中的最大者是.
故选：C
2．（多选）对于任意的实数，下列命题错误的有（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABD
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】根据不等式性质可判断.
【详解】A选项：，若，则，选项错误;
B选项：,，设，，，，则，选项错误;
C选项：若，则，选项正确；
D选项：，设a=2，，则，选项错误.
故选：ABD.
3．设，，则有 ．（请填“”、“”、“”，“”，“”）
【答案】