所属成套资源:【备战2025年学考】高中数学学业水平合格性考试总复习(全国通用)模拟题+专题训练(知识梳理+考点精炼+练习)教师版+学生版
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专题04 指数函数与对数函数(知识梳理+考点精讲精练+实战训练)-2025年高中数学学业水平合格性考试总复习(全国通用).zip
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这是一份专题04 指数函数与对数函数(知识梳理+考点精讲精练+实战训练)-2025年高中数学学业水平合格性考试总复习(全国通用).zip,文件包含专题04指数函数与对数函数知识梳理+考点精讲精练+实战训练原卷版docx、专题04指数函数与对数函数知识梳理+考点精讲精练+实战训练解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共67页, 欢迎下载使用。
1、了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质;
2、了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念;
3、能用描点法画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点;
4、理解对数的概念和运算性质,能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数;
5、了解对数函数的概念;
6、能用描点法画出具体对数函数的图象,探索并理解对数函数的单调性与特殊点;;
7、指导对数函数与指数函数互为反函数(且)
基础知识梳理
1、根式的概念及性质
(1)概念:式子叫做根式,其中叫做根指数,叫做被开方数.
(2)性质:
①(且);
②当为奇数时,;当为偶数时,
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是(,,且);
②正数的负分数指数幂的意义是(,,且);
③0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
3、指数幂的运算性质
①;
②;
③.
4、指数函数及其性质
(1)指数函数的概念
函数(,且)叫做指数函数,其中指数是自变量,函数的定义域是.
(2)指数函数的图象和性质
5、对数的概念
(1)对数:一般地,如果,那么数 叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.
(2)牢记两个重要对数:常用对数,以10为底的对数;自然对数,以无理数e=2.71828…为底数的对数.
(3)对数式与指数式的互化:.
6、对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质
根据对数的概念,知对数具有以下性质:
①负数和零没有对数,即;
②1的对数等于0,即;
③底数的对数等于1,即;
④对数恒等式.
(2)对数的运算性质
如果,那么:
①;
②;
③.
(3)对数的换底公式
对数的换底公式:.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数,进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底,由已知条件来确定,一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.
换底公式的变形及推广:
①;
②;
7、对数函数及其性质
(1)对数函数的定义
形如(,且)的函数叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是.
(2)对数函数的图象与性质
8、函数的零点
对于一般函数,我们把使成立的实数叫做函数的零点.注
意函数的零点不是点,是一个数.
9、函数的零点与方程的根之间的联系
函数的零点就是方程的实数根,也就是函数的图象与轴的交点的横坐标
即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
10、零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么,函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也就是方程的根.
注:上述定理只能判断出零点存在,不能确定零点个数.
11、常见函数模型
(1)指数函数模型(且,)
(2)对数函数模型(且,)
12、指数、对数、幂函数模型性质比较
考点精讲讲练
考点一:指数
【典型例题】
例题1.(2022天津)已知,,则的值为( )
A.B.2C.8D.15
例题2.(多选)(2024浙江)下列各式一定成立的是( )
A.B.
C.D.
例题3.(2023山西) .
【即时演练】
1.已知,,化简: .
2.若代数式有意义,则 .
3.计算:
(1);
(2)(,).
考点二:指数函数的概念
【典型例题】
例题1.(2024安徽)若函数是指数函数,则有( )
A.B.
C.或D.,且
例题2.(2023新疆)设函数(且), 满足.
(1)求的值;
(2)若,求使不等式对任意实数恒成立的的取值范围.
例题3.(2022江苏)已知定义在上的奇函数f(x)满足:时,.
(1)求的表达式;
(2)若关于的不等式恒成立,求的取值范围.
【即时演练】
1.已知函数(且)是奇函数,则( )
A.2B.3C.D.4
2.已知指数函数,则的值为 .
3.已知函数为奇函数.
(1)求的值;
(2)判断并证明的单调性;
(3)若存在实数,使得成立,求的取值范围.
考点三:指数函数的图象和性质
【典型例题】
例题1.(2024北京)在区间上,的最大值是其最小值的倍,则实数( )
A.B.C.D.
例题2.(2024云南)函数的最小值为( )
A.0B.1C.2D.3
例题3.(2024浙江)已知定义域为的函数,若对任意,,均有恒成立,则下列情形可能成立的是( )
A.B.C.D.
例题4.(2023海南)已知函数是奇函数.
(1)求实数的值;
(2)判断函数的单调性,并用函数单调性的定义证明;
(3)若对于任意都有恒成立,求实数的取值范围
例题5.(2020贵州)已知定义在上的函数.
(1)写出的单调区间;
(2)已知,对所有,恒成立,求的取值范围.
【即时演练】
1.已知,则的大小关系为( )
A.B.
C.D.
2.函数的大致图象是( )
A.B.
C.D.
3.函数的图象恒过定点,则点坐标为 .
4.已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值;
(2)判断函数的单调性,并用定义加以证明;
(3)若对任意的,不等式成立,求实数的取值范围.
5.已知函数是定义在R上的奇函数.
(1)求的解析式;
(2)求当时,函数的值域.
考点四:对数
【典型例题】
例题1.(2024云南)已知.若,则( )
A.0B.1C.2D.3
例题2.(2024福建)若,,则等于( )
A.B.C.D.
例题3.(2024湖北)已知,则 .
例题4.(2021江苏)计算
【即时演练】
1.计算:( )
A.8B.C.D.
2.计算: .
3.计算: .
4.计算: .
考点五:对数函数的概念
【典型例题】
例题1.(2024北京)函数的定义域为( )
A.B.C.D.
例题2.(多选)(2024浙江)若函数,则下列选项正确的是( )
A.定义域为B.值域为
C.图象过定点D.在定义域上单调递增
例题3.(2023云南)函数的定义域是 (用区间表示)
【即时演练】
1.若函数的定义域为,则实数取值范围是( )
A.B.C.D.
2.若是奇函数,当时, .
3.函数的定义域为 .
考点六:对数函数的图象和性质
【典型例题】
例题1.(2024北京)在下列函数中,在区间上单调递减的是( )
A.B.C.D.
例题2.(2024湖北)如图,是函数的图象,是由经轴对称变换得到的函数图象,则对应的函数解析式分别是( )
A.
B.
C.
D.
例题3.(2023吉林)已知,,,则( )
A.B.
C.D.
例题4.(2023辽宁)已知为定义在R上的奇函数,且当时,.求:
(1)时,的解析式;
(2)不等式的解集.
例题5.(2024湖北)已知函数,且.
(1)当时,判断函数的单调性,并加以证明;
(2)对给定的非零常数,是否存在实数,使得为奇函数?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【即时演练】
1.已知,,,则( )
A.B.C.D.
2.函数的大致图象是( )
A.B.
C.D.
3.已知且,若函数的图象经过定点,则定点坐标 .
4.函数的单调增区间为 .
5.已知(,且),且.
(1)求a的值及的定义域;
(2)求在上的最小值.
考点七:不同函数增长差异
【典型例题】
例题1.(多选)已知函数,则下列关于这三个函数的描述中,正确的是( )
A.随着的逐渐增大,增长速度越来越快于
B.随着的逐渐增大,增长速度越来越快于
C.当时,增长速度一直快于
D.当时,增长速度有时快于
例题2.已知实数满足.则下列关系式中可能成立的是 .(填序号)
① ② ③ ④ ⑤
【即时演练】
1.“红豆生南国,春来发几枝”,如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是( )
A.指数函数B.对数函数y=lg2t
C.幂函数y=t3D.二次函数y=2t2
2.(1)(2)(3)分别是与在不同范围内的图象,估算出使的的取值范围是 .(参考数据:,)
考点八:函数的零点与方程的解
【典型例题】
例题1.(2022河北)已知函数,若,且,则( )
A.B.C.D.或
例题2.(2024福建)已知x=1是函数的零点,则m为( )
A.1B.2C.3D.4
例题3.(2024高二上·北京·学业考试)已知函数的部分图象如图所示.
(1)求f1的值;
(2)求函数的零点.
例题4.(2024福建)已知函数且.
(1)求实数a的值;
(2)若函数在上恰有两个零点,求实数的取值范围.
【即时演练】
1.若为函数的零点,则所在区间为( )
A.B.C.D.
2.已知定义在上的函数的图象是连续不断的,且有如下部分对应值表:
判断函数的零点个数至少有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.已知函数
(1)若a=2,当时,求函数的值域;
(2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根,求实数的取值范围.
考点九:函数模型的应用
【典型例题】
例题1.(2024湖北)复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息与本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄,本金为10000元,每期利率为,本利和为(单位:元),存期数为,则关于的函数解析式为( )
A.B.
C.D.
例题2.(2024浙江)有一组实验数据如表,则体现这组数据的最佳函数模型是( )
A.B.
C.D.
例题3.(2023甘肃)心理学家有时间用函数测定在时间(单位:min)内能够记忆的量,其中表示需要记忆的量,表示记忆率.假设一个学生需要记忆的量为200个单词,此时表示在时间内该生能够记忆的单词个数.已知该生在5min内能够记忆20个单词,则的值约为(,)( )
A.0.021B.0.221C.0.461D.0.661
例题4.(2024广东)某城市为了鼓励居民节约用电采用阶梯电价的收费方式,即每户用电量不超过的部分按0.6元收费,超过的部分,按1.2元收费.设某用户的用电量为,对应电费为元.
(1)请写出关于的函数解析式;
(2)某居民本月的用电量为,求此用户本月应缴纳的电费.
【即时演练】
1.你见过古人眼中的烟花吗?那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”,是隋炀帝眼中的“灯树千光照,花焰七枝开”.烟花,虽然是没有根的花,是虚幻的花,却在达到最高点时爆裂,用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩,已知某种烟花距地面的高度h(单位:米)与时间t(单位:秒)之间的关系式为,则烟花爆裂的高度是( )
A.56.6米B.57.6米
C.58.6米D.59.6米
2.下列函数中,当x充分大时,增长速度最快的是( )
A.B.C.D.
3.已知甲地下停车库的收费标准如下:(1)停车不超过1小时免费;(2)超过1小时且不超过3小时,收费5元;(3)超过3小时且不超过6小时,收费10元;(4)超过6小时且不超过9小时,收费15元;(5)超过9小时且不超过12小时,收费18元;(6)超过12小时且不超过24小时,收费24元.小林在2024年10月7日10:22将车停入甲车库,若他在当天18:30将车开出车库,则他需交的停车费为 .乙地下停车库的收费标准如下:每小时2元,不到1小时按1小时计费.若小林将车停入乙车库(停车时长不超过24小时),要使得车停在乙车库比甲车库更优惠,则小林停车时长的最大值为 .
4.学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的研究调查中,发现其在40分钟的一节课中,注意力指数与听课时间(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的图象,当时,图象是二次函数的一部分,顶点为,听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的的注意力指数都为78,听课时间为4分钟的注意力指数为62;当时,图象是线段,其中.
(1)求关于的函数解析式;
(2)根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳,要使学生学习效果最佳,教师安排核心内容应在什么时间段?
实战能力训练
一、单选题
1.下列函数中,既是奇函数又是区间上的增函数的是( )
A.B.
C.D.
2.设,下列计算中正确的是( )
A.B.
C.D.
3.已知,则.( )
A.B.
C.D.
4.已知函数,则的值为( )
A.B.0C.1D.2
5.下列函数中,在区间上单调递增的是( )
A.B.
C.D.
6.函数的零点所在的区间是( )
A.B.C.D.
7.已知函数若,则实数的取值范围是( )
A.B.
C.D.
8.某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体,有三种方案可以选择,这三种方案的注入量随时间变化如下图所示:
横轴为时间(单位:小时),纵轴为注入量,根据以上信息,若使注入量最多,下列说法中错误的是( )
A.注入时间在小时以内(含小时),采用方案一
B.注入时间恰为小时,不采用方案三
C.注入时间恰为小时,采用方案二
D.注入时间恰为10小时,采用方案二
二、多选题
9.已知函数的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
在下列区间中,函数必有零点的区间为( )
A.B.C.D.
10.下列运算正确的有( )
A.B.
C.D.
三、填空题
11.函数的零点是 .
12.李明自主创业,经营一家网店,每售出一件商品获利8元.现计划在“五一”期间对商品进行广告促销,假设售出商品的件数(单位:万件)与广告费用(单位:万元)符合函数模型.若要使这次促销活动获利最多,则广告费用应投 万元,获得总利润为 万元.
四、解答题
13.已知,
(1)求的值;
(2)用a,b表示.
14.计算下列各式的值:
(1)
(2)
15.已知函数(其中)
(1)当时,求函数的零点;
(2)讨论关于的不等式的解集.
16.某企业在现有设备下每日生产总成本y(单位:万元)与日产量x(单位:吨)之间的函数关系式:,近年来各部门都非常重视大气污染防治工作,为了配合环境卫生综合整治,该企业引进了除尘设备,每吨产品的除尘费用为k万元,引进除尘设备后,当日产量时,总成本为142万元.
(1)求:k的值;
(2)若每吨产品出厂价为48万元,求:引进除尘设备后日产量为多少时,每吨产品的利润最大
17.已知函数,且.
(1)求实数的值,在图中作出的图象(可直接作图,不用书写过程),并求函数有个不同的零点时实数的取值范围;
(2)若函数在区间上为增函数,求实数的取值范围.
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26934" 明晰学考要求 PAGEREF _Tc26934 \h 1
\l "_Tc7852" 基础知识梳理 PAGEREF _Tc7852 \h 1
\l "_Tc6171" 考点精讲讲练 PAGEREF _Tc6171 \h 5
\l "_Tc14474" 考点一:指数 PAGEREF _Tc14474 \h 5
\l "_Tc25204" 考点二:指数函数的概念 PAGEREF _Tc25204 \h 6
\l "_Tc28354" 考点三:指数函数的图象和性质 PAGEREF _Tc28354 \h 7
\l "_Tc26794" 考点四:对数 PAGEREF _Tc26794 \h 9
\l "_Tc10160" 考点五:对数函数的概念 PAGEREF _Tc10160 \h 10
\l "_Tc2258" 考点六:对数函数的图象和性质 PAGEREF _Tc2258 \h 10
\l "_Tc23933" 考点七:不同函数增长差异 PAGEREF _Tc23933 \h 12
\l "_Tc16184" 考点八:函数的零点与方程的解 PAGEREF _Tc16184 \h 14
\l "_Tc25347" 考点九:函数模型的应用 PAGEREF _Tc25347 \h 15
\l "_Tc9247" 实战能力训练 PAGEREF _Tc9247 \h 17
底数
图象
性质
定义域为,值域为
图象过定点
当时,恒有;
当时,恒有
当时,恒有;
当时,恒有
在定义域上为增函数
在定义域上为减函数
注意
指数函数(,且)的图象和性质与的取值有关,应分与来研究
图象
性质
定义域:
值域:
过点,即当时,
在上是单调增函数
在上是单调减函数
函数
性质
在(0,+∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
先慢后快,指数爆炸
先快后慢,增长平缓
介于指数函数与对数函数之间,相对平稳
图象的变化
随x的增大,图象与轴接近平行
随x的增大,图象与轴接近平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个,当时,有
1
2
3
4
5
6
136.1
15.6
10.9
2
3
4
5
6
1.40
2.56
5.31
11
21.30
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