7_7、江苏省南京市六校联考2020-2021学年高一下学期期末数学试题

这是一份7_7、江苏省南京市六校联考2020-2021学年高一下学期期末数学试题，共8页。试卷主要包含了若复数满足，则，在中，.若，则的值可以等于等内容，欢迎下载使用。
本卷：共150分 考试时间：120分钟
一．单项选择题:共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．若复数满足，则（ ）
A．1B．C．D．
2.在中，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．某校高一、高二、高三年级分别有学生1100名、1000名、900名，为了了解学生的视力情况，现用分层抽样的方法从中随机抽取容量为60的样本，则应从高二年级抽取的学生人数为（ ）
A．18B．20C．22D．24
4.在中，内角、、所对的边分别为、、，满足，则=（ ）
A．B． C．D．
5．如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
6．已知的内角，，所对的边分别为，，，若向量与平行，则（ ）
A．B．C．D．
7．我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积．若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
P
Q
F
E
D
C
B
A
8.如图，在任意四边形中，其中, ,,分别是,的中点，,分别是,的中点，求=( )
A．B． C．D．
二．多选题:本大题共4小题,每小题5分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9．已知复数的实部与虚部之和为，则的取值可能为（ ）
A． B．C． D．
10．在中，.若，则的值可以等于（ ）
A．B．C．2D．3
11．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．棱台的侧面积为
B．棱台的高为
C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为
D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为
12．共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士.2020年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”.某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，为图中两个同心圆的圆心，三角形ABC中，，大圆半径，小圆半径，记为三角形OAB与三角形OAC的面积之和，其中，,当取到最大值时，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值是 B．的最大值是
C． D．
三．填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.计算：
14．在中，若,则= .
D
C
B
A
15. 如图，在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=3，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为___________.
B
M
A
C
P

（第15题） （第16题）
16．今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离.现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的圆O的内接四边形区域，沿着四边形边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区.其中, , ,(单位：米)，则= ；四边形的面积为 （平方米）.
四．解答题:共6小题,共70分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
在①，②z为纯虚数，③且对应的点在第一象限内，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知复数（i为虚数单位），为z的共轭复数，若_________，求实数m的值或取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）
18．（本小题满分12分）
已知的最小正周期为.
(1)求的值，并求的单调递增区间；
(2)求在区间上的值域.
19. （本小题满分12分）
如图，在平行四边形中，，,.
（1）求；
（2）求.
B
C
D
A
20．（本小题满分12分）
百年恰是风华正茂，迈向新征程的中国共产党，举世瞩目。100年来，中国社会沧桑巨变。今年是我国建党一百周年，某班(共50名同学)举行了一次主题为“学好百年党史，凝聚奋斗伟力”的党史知识竞赛活动，根据全班同学的竞赛成绩(均在80~100之间)绘制成频率分布直方图如图.
（1）求的值，并求在的学生总人数；
（2）若从成绩在的同学中随机选出两人，求至少有一人成绩在的概率.
21．（本小题满分12分）
如图，是以为直径的半圆上一点，．
（1）求证：平面；
（2）若，，求二面角的余弦值．
22.（本小题满分12分）
如图所示，某市有一块正三角形状空地，其中测得BC=10千米。当地政府计划将这块空地改造成旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中点D在AB边上，点E在BC边上，点F在AC边上，DF=2DE,，剩余部分需做绿化,设。
（1）若，求的长；
（2）当变化时，的面积是否有最小值？若有则求出最小值，若无请说明理由．
F
D
E
C
A
B
2020-2021学年第二学期联考
高一数学试卷参考答案
单项选择题:
1.D 2.C 3.B 4.D 5.D 6.A 7.C 8.B
二．多项选择题：
9.ABC 10. AD 11.AC 12.BD
三．填空题:
13.-1 14. 15. 16. ；
四．解答题:
17.解析：
选①：……………………………………………………… 2分
由得解得或；……………………………………………………………………………10分
选②：为纯虚数，所以解得；
选③：由得，
又对应的点在第一象限内， 则，故或。
18.解析：
(1)因为的最小正周期为，所以，则，………………………………………………………………………………3分
则，
令,解得，
所以函数的单调递增区间为………………………………………………………………6分
(2) 由得，则。………………………12分
19. 解析：
（1）因为……6分
（2）由（1）可知,在中由余弦定理可得，
故。…………………………………………………………………………12分
20. 解析：（1）由，解得.………………3分
其中在内有2人，在内有4人，在内有10人，
共有16人。…………………………………………………………………………6分
（2）其中在内有2人，在内有4人，设此六人分别为，
和，，，，则从成绩在的同学中随机选出2位，有，，
，，；，，，；，，；，；共15
种可能情形………………………………………………………………………8分
记“至少有一人成绩在”为事件C，………………………………9分
事件C包含，，，；
，，，；，，；，；14种情况，
故.……………………………………………………………………11分
答：至少有一人成绩在的概率为.………………………………12分
21. 解析：（1）因为垂直于圆所在的平面，
所以平面,
因为平面,所以，………………………………………2分
因为是以为直径的半圆上一点，
所以，……………………………………………………………………4分
又,平面,
所以平面………………………………………………………………6分
（2）连接，在半圆中，因为，所以
,
又因为是的中点，所以,
在内过点作,垂足为点，
连接，则,则即为二面角
的平面角，…………………………………………………………8分
H
其中,由
得,算得，………………10分
故二面角的
余弦值为.…………………………12分
22. 解析：(1)设千米，则千米，
千米，……………………………………………………2分
,,则
,故，所以，求
得千米. ……………………………………………………6分
(2)在中，由正弦定理得，
得，…………………………7分
同理，在中，得,…………8分
所以+，
得……………………………………………………9分
，
所以，所以平方千米. …………………………12分
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