10_10、北京市首都师范大学附属中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题（解析版）

这是一份10_10、北京市首都师范大学附属中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题， 每小题6分，共48分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：，，通过数轴表示可知，两个集合的公共部分为，即，故选C
考点：集合的运算.
2. 在四个函数①、②、③、④中，在区间的平均变化率最大的是（ ）
A. ④B. ③C. ②D. ①
【答案】B
【解析】
【分析】分析求出四个函数的平均变化率，然后比较即可
【详解】解：对于①，，对于②，，
对于③，，对于④，，
所以区间的平均变化率最大，
故选：B
3. “”是“直线与垂直”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：两直线垂直，所以，所以是充分不必要条件.
考点：充要条件.
4. 已知数列的通项公式，则数列的前项和取最小值时，的值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由求出的范围，即可得解
【详解】解：令，则，解得，
因为
所以当时，，当时，，
所以数列的前项和取最小值时，，
故选：B
5. 已知函数，那么下列结论正确的是
A. 在上是增函数B. 在上是减函数
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：：∵函数∴f′（x）=csx-；
令f′（x）=0，得x=；∴x∈[0，]时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
x∈[，π]时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；∴f（x）在x=时有极大值，也是最大值f（）．
∴选项A、B、C错误，D正确．
考点：利用导数研究函数的单调性
6. 已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，当，若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是
A. 0B. 0或C. 或D. 0或
【答案】D
【解析】
【详解】分析：先根据条件得函数周期，结合奇偶性画函数图像，根据函数图像确定满足条件实数的值.
详解：因为，所以周期为2，作图如下：
由图知，直线与函数图像在内恰有两个不同的公共点时直线 点A(1,1)或与相切，即或
选D.
点睛：
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
7. 已知全集，集合是集合的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：
①若，则；
②若，则；
③若，则
则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将集合的恰有两个元素的子集的集合全部列出，再检验是否满足①②③即可求解.
【详解】因为全集，集合是集合的恰有两个元素的子集，
则集合可能为
，不满足②；
，不满足①；
，不满足①；
，满足①②③；
，不满足②；
，不满足③；
所以，
故选：C.
8. 若函数的值域为，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】当时， ，故函数在 上单调递减，在 上单调递增，且过原点，最小值为；当时，若a0,此时图像是开口向上的二次函数图像，最小值在对称轴处取得，故最小值为
故答案为D．
点睛：这是分段函数的值域问题，先确定没有未知量的一支的图像和单调性，从而得到函数的值域，再解决含参数的一支的值域问题．分段函数的值域一般是两段的值域的并集；二次函数的值域问题和函数的对称轴有密切关系，研究轴处的函数值，就是函数的最值．
二、填空题：本大题共6小题， 每小题6分，共36分. 把答案填在题中横线上.
9. 设抛物线的焦点为，为其上的一点，为坐标原点，若，则的面积为 _____.
【答案】
【解析】
【分析】求出抛物线的焦点坐标，然后求出点的会标，即可求出三角形的面积
【详解】解：抛物线的焦点为，
因为为其上的一点，为坐标原点，，
所以点的横坐标为，
所以当时，，得，
所以的面积为，
故答案为：
10. 已知函数的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】化简函数解析式，根据函数图象与直线的两个相邻交点的距离等于，求出函数的周期，进而推出的值.
【详解】，
又的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，
故函数的周期，
所以，
故答案为：.
11. 各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为_____
【答案】
【解析】
【分析】由，，列方程组求解即可
【详解】解：设等比数列的公比为，
由，得，
由，得，
因为，所以，解得，或（舍去），或（舍去），
所以，得，
故答案为：
12. 已知角顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．若角满足，且为第二象限角，则的值是_____.
【答案】
【解析】
【分析】首先利用三角函数的定义计算、的值，由同角三角函数基本关系计算
的值，由两角差的余弦公式计算即可求解.
【详解】点到原点的距离，
由三角函数的定义可得：， ，
因为，且为第二象限角，
所以，
所以
，
故答案为：.
13. 已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【详解】如图所示，
由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，
∵∠MAN=60°，
∴|AP|=b，
∴|OP|=．
设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tan θ=．
又tan θ=，
∴，解得a2=3b2，
∴e=．
答案：
点睛：
求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，再根据和转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．
14. 定义在上的函数满足：①当时， ②.
（i） _____；
（ii）若函数的零点从小到大依次记为，则当时，_______.
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】（i）由于，可得，根据解析式求出，代入可得；
（ii）在同一坐标系内做出和的图像，根据图像得到的对称关系，把转化为等比数列前n项和即可求解.
【详解】（i）因为，所以，当时，，所以；
（ii）在同一坐标系内做出和的图像如图所示：
当时，利用对称性，依次有：，
……
所以
故答案为：3；
【点睛】已知函数有零点，求零点的和（积）的常用方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再直接求和（积）；
(2)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
三、解答题.本大题共4小题，共66分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1, CD＝3，cs B＝.
(1)求△ACD的面积；
(2)若BC＝，求AB的长．
【答案】(1) ；（2）4.
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据二倍角公式求cs D，再根据平方关系求sin D，最后根据三角形面积公式求求△ACD的面积；（2）根据余弦定理求AC，再根据余弦定理求AB
试题解析：(1)因为∠D＝2∠B，cs B＝，
所以cs D＝cs 2B＝2cs2B－1＝－.
因为D∈(0，π)，
所以sin D＝＝.
因AD＝1，CD＝3，
所以△ACD的面积S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝.
(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cs D＝12，
所以AC＝2.
因为BC＝2，＝，
所以＝＝＝＝，
所以AB＝4.
16. 已知数列{}的各项均不为0，其前项和为Sn，且满足=，=．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求{}的通项公式；
（Ⅲ）若，求的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．
【解析】
【详解】试题分析：试题分析：（Ⅰ）因为 ，令得，即,，因为，所以；
（Ⅱ）因为 ， 所以，两式相减，得到，因为，所以，所以都是公差为的等差数列，[对和，进行分类讨论求数列的通项公式；
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）数列的通项公式因为，
所以，对分为奇数和偶数进行分类讨论求最值
试题解析：（Ⅰ）因为，所以，即，
因为，所以．
（Ⅱ）因为，所以，两式相减，
得到，
因为，所以，
所以都是公差为的等差数列，
当时，,
当时，,
所以
（Ⅲ）当时，-
因为，
所以
所以当为奇数时，的最小值为，
当为偶数时，的最小值为，
所以当时，取得最小值为．
17. 已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是、，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用离心率为，可得，由椭圆短轴的端点是，，且，可得△是等腰直角三角形，由此可求椭圆的方程；
（2）设线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理，结合平分，则直线，的倾斜角互补，建立方程，即可求得结论．
详解】解：（1）由，得．
依题意△是等腰直角三角形，从而，故．
所以椭圆的方程是．
（2）设，，，，直线的方程为．
将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得．
所以，．
若平分，则直线，的倾斜角互补，所以．
设，则有．
将，代入上式，整理得，
所以．
将，代入上式，整理得.
由于上式对任意实数都成立，所以．
综上，存在定点，使平分．
点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查存在性问题的探究，属于中档题．
18. 已知函数．
Ⅰ求证：1是函数的极值点；
Ⅱ设是函数的导函数，求证：．
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据极值点的定义知道，要研究函数值左右两侧的函数值都比小即可；（2），转化为求证这个函数的最小值大于-1即可，对这个函数再求导，研究导函数的正负，最终得到，对这个式子求最小值即可．
（1）的定义域为 ，
当时，，即；
当时，，即；
根据极值的定义， 1是的极值点.
（2）由题意可知，
，
令，
，故在上单调递增.
又，又在上连续，
使得，即，
.（*）
随x的变化情况如下：
.
由（*）式得，代入上式得
.
令，
，故在上单调递减.
，又，.
即 .
点睛：本题是考查了函数的极值点的问题．一种方法是直接研究导函数的变号零点，还有就是直接按照极值点的概念，在极值点附近，函数值都比极值点处的函数值大或者小．还考查了函数的最值问题，直接构造函数，使得函数的最小值大于零即可．
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联系人：李老师：13810445359（同微信） 康老师：13810475358（同微信）
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极小值
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