山东省泰安市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（学生版）

这是一份山东省泰安市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（学生版），共7页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足(为虚数单位)，则在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知，，，则( )
A. 0.5B. 0.6C. 0.8D. 1
3. 如图，某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该圆柱的体积为( )
A. B. C. D.
4. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是( )
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
5. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，参保险种比例定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．已知该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如上统计图例，则以下四个选项错误的是( )

A 周岁人群参保总费用最少
B. 30周岁以下的参保人群约占参保人群的
C. 54周岁以上的参保人数最少
D. 丁险种更受参保人青睐
6. 抛掷-枚质地均匀的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，则( )
A. 甲乙互斥B. 乙丙互为对立C. 甲乙相互独立D. 甲丙相互独立
7. 已知，，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8. 已知正四面体的体积为，为棱的中点，球为该正四面体的外接球，则过点的平面被球所截得的截面面积的最小值为( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设复数，则下列说法正确是( )
A. 的虚部是
B.
C. 复平面内和分别对应的两点之间的距离为1
D.
10. 已知函数的最大值为3，且的图象关于直线对称，则下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为B.
C. 函数的图象关于点对称D. 函数在上单调递减
11. 已知点是所在平面内一点，且，，则下列说法正确是( )
A. 若，则点是边的中点
B. 若点是边上靠近点的三等分点，则
C. 若，则与的面积相等
D. 若点在边的中线上，且，则点是的重心
12. 如图，在直三棱柱中，已知，为的中点，过的截面与棱，分别交于点，，则下列说法正确的是( )

A. 三棱锥的体积为定值
B. 线段长度的取值范围是
C. 当点与点重合时，四棱锥的体积为2
D. 存在点，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 2022年2月20日晚，备受瞩目的第24届冬季奥运会在北京圆满落幕．这是一场疫情肆虐下的体育盛会，是一场团结、友谊、奋进、拼搏的盛会，是一场充分体现中华民族文化自信的盛会．筹备期间，某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者参与冬奥会的志愿服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派__________人．
14. 已知是第三象限角，且，则的值是___________.
15. 如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高________m．

16. 在锐角中，已知，，则的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在锐角中，内角对边分别为，向量，，且．
(1)求；
(2)若为中点，，的面积为，求的长．
18. 如图，平面，，，为中点．

(1)求证：平面；
(2)求点到平面距离．
19. 某城市正在进行创建文明城市的活动，为了解居民对活动的满意程度，相关部门从甲，乙两个社区各抽取了20人进行打分(分数为正整数，满分100分)．
甲社区20名居民的打分记录如下：
52，56，59，63，64，70，71，73，75，75，80，80，81，82，85，86，88，89，93，95．
将乙社区20名居民的打分分成五组，并画出了其频率分布直方图

(1)根据以上数据，求甲社区20名居民打分的第75百分位数；
(2)估计乙社区20名居民打分的平均分(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)；
(3)现从甲，乙两社区打分不低于90分的居民中，任选2人，求2人不在同一社区的概率．
20. 已知向量，，设．
(1)若，求的值；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在上有零点，求实数的取值范围．
21. 甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立．
(1)求第三局结束时甲获胜的概率；
(2)求乙最终以分获胜的概率．
22. 如图1，在边长为4的菱形中，，，分别为，的中点，将沿折起到的位置，得到如图2所示的三棱锥．

(1)证明：；
(2)为线段上一个动点(不与端点重合)，设二面角的大小为，三棱锥与三棱锥的体积之和为，求的最大值．