河北省唐山市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（教师版含解析）

这是一份河北省唐山市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（教师版含解析），共21页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁， 在中，角的对边分别是，已知，， 在中，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案涂在试卷上一律无效.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和改正带.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回，
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数，则复平面内表示的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】求出复数在复平面内对应的点的坐标，由此可得出结论.
【详解】，则复数在复平面内对应的点的坐标为，
因此，复平面内表示的点位于第四象限.
故选：D.
【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限的判断，属于基础题.
2. 已知，，若，则为( )
A. B. C. 0D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量平行的坐标表示可得结果.
【详解】因为，，，
所以，得.
故选：D
3. 某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为1，2，3，4的四种添加剂可供选用，则选用的两种添加剂芳香度之和为5的概率为( )
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用列举法列出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式即可得解.
【详解】从芳香度为1，2，3，4的四种添加剂中随机抽取两种添加剂，
其可能结果有，，，，，共6个，
其中选用的两种添加剂芳香度之和为5的结果有，共2个，
则所求概率为.
故选：B.
4. 在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用线线平行确定异面直线与所成角的角，再利用勾股定理求得，从而利用余弦定理即可得解.
【详解】记的中点为，连接，如图，

因为为棱的中点，为的中点，所以，
所以为异面直线与的所成角(或补角)，
因为在正三棱柱中，，
所以，，，
所以在中，，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
5. 为了解某块田地小麦的株高情况，随机抽取了10株，测量数据如下(单位cm)：60，61，62，63，65，65，66，67，69，70，则第40百分位数是( )
A. 62B. 63C. 64D. 65
【答案】C
【解析】
【分析】根据求百分位数的定义求解可得结果.
【详解】因为为整数，
所以第40百分位数是.
故选：C
6. 若圆锥的底面半径为，高为1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为( )
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解.
【详解】依题意，设圆锥的母线长为l，则，
设圆锥的轴截面的两母线夹角为，则，
因为，所以，
则过该圆锥的顶点作截面，截面上的两母线夹角设为，

故截面的面积为，当且仅当时，等号成立，
故截面的面积的最大值为2.
故选：A.
7. 从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不对立的是( )
A. “至少有1名女生”与“都是女生”
B. “至少有1名女生”与“至少有1名男生”
C. “恰有1名女生”与“恰有2名女生”
D. “至少有1名女生”与“至多有1名男生”
【答案】C
【解析】
【分析】根据互斥事件的定义判断ABD都不是互斥事件，再结合对立事件的定义判断C.
【详解】“至少有1名女生”与“都是女生”，能够同时发生，如3人都是女生，所以不是互斥事件，A错；
“至少有1名女生”与“至少有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，B错；
“至少有1名女生”与“至多有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，D错；
“恰有1名女生”与“恰有2名女生”不能同时发生，所以是互斥事件，又因为“恰有1名女生”与“恰有2名女生”之外，还可能有“没有女生”与“恰有3名女生”两种情况发生，即“恰有1名女生”与“恰有2名女生”可以同时不发生，所以不是对立事件，C正确.
故选：C.
8. 在中，角的对边分别是，已知，.若，则的面积为( )
A. B. 或C. D. 1或2
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理角化边可得或，分两种情况解三角形可得结果.
【详解】由及正弦定理得，
得或，
若，因为，，所以，，
若，则三角形为直角三角形，，
因为，，所以，，.
综上所述：的面积或.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知一组数据3，5，6，9，9，10的平均数为，方差为，在这组数据中加入一个数据7后得到一组新数据，其平均数为，方差为，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据平均数和方差的计算公式求解，即可判断各选项.
【详解】对于AB，，，
所以，A正确，B错误；
对于CD，，
所以，C错误，D正确.
故选：AD
10. 在中，下列结论正确的是( )
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若为钝角，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于AB，利用大角对大边与正弦定理的边角变换即可判断；对于C，举反例排除即可；对于D，利用正弦函数的单调性即可判断.
【详解】对于A，由大角对大边知，若，则，
所以由正弦定理得，故A正确；
对于B，若，则由正弦定理得，
所以由大边对大角，故B正确；
对于C，取，，则，，
所以不成立，故C错误；
对于D，若为钝角，则，所以，
因为在上单调递增，所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 若，是关于的方程的两个虚根，则( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】解方程可得，不妨令，分别计算各选项即可判断.
【详解】因为，所以，
根据求根公式可得，
又，是关于的方程的两个虚根，不妨令.
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：ACD
12. 如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则( )

A. 满足的点有且只有一个
B. 满足的点有两个
C. 存在最小值
D. 不存在最大值
【答案】BC
【解析】
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，然后利用点的四种位置进行分类讨论即可.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设菱形的边长为1，，则
，
所以，，
由，得，
所以，所以，
①当点在上时，，且，
所以；
②当点在(不含点B)上时，则，所以，化简，
所以，
因为，所以，即；
③当点在(不含点C)上时，，且，
所以，即，所以；
④当点在(不含点A、D)上时，则，所以，化简，
所以，
因为，所以，所以；
对于A，由①知，当时，，此时点与点重合；
由④可知当时，，，此时点在的中点处；
其它均不可能，所以这样的点有两个，所以A错误，
对于B，由②知，当时，，，此时点在的中点；
由③知，当时，，，此时点在点处；
其它均不可能，所以这样的点有两个，所以B正确，
对于CD，由①②③④可得：
当，即点为点时，取到最小值0；
当，即点为点时，取到最大值3，所以C正确，D错误，
故选：BC.
【点睛】关键点睛：此题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，然后分类讨论，考查数形结合的思想，属于较难题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若复数，，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据复数减法法则计算，再根据复数模的计算公式，即可得出结果.
【详解】∵，，
∴．
故答案为：．
14. 甲、乙两人参加驾考科目一的考试，两人考试是否通过相互独立，甲通过的概率为0.6，乙通过的概率为0.5，则至少一人通过考试的概率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】先求两人都未通过的概率，再根据对立事件的概率和为1求解两人至少有一人通过的概率即可.
【详解】因为两人考试相互独立，
所以两人都未通过的概率为，
故两人至少有一人通过的概率为.
故答案为：
15. 若的面积为，角的对边分别是，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角形面积公式与余弦定理的边角变换，结合切化弦得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】因为，
所以，
因为，且，所以，
则，即，
所以，则，即，
所以(负值舍去).
故答案为：.
16. 在正六棱台中，，，，设侧棱延长线交于点，几何体的外接球半径为，正六棱台的外接球半径为，则此正六棱台的体积为___________，__________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】第一空，利用棱台的体积公式，结合正六边形的性质即可得解；第二空，先分析正六棱台的外接球的球心所在位置，再利用勾股定理列出关于的方程组，从而求得；再利用平行线分线段成比例求得，从而确定了几何体的外接球的球心所在位置，进而求得，由此得解.
【详解】依题意，正六棱台中，，，
则其上底面是由六个边长为的正三角形组成，则其面积为，
其下底面是由六个边长为的正三角形组成，则其面积为，
其高为，
所以该正六棱台的体积为.
设上底面中心为，下底面中心为，连接，则垂直于上下底面，如图，
连接，则，
由题意可得，
作垂足为G，则，
连接，则，
故，则为钝角，
又由于正六棱台外接球球心位于平面上，
故设正六棱台外接球球心为O，则O在的延长线上，
因为外接球半径为，故，
即，解得，则，
连接，如图，易得三点共线，且，
所以，则，
易知，
所以是几何体的外接球的球心，则，
所以.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是发挥直观想象能力，结合图形确定了正六棱台的外接球的球心所在位置，从而利用方程组求得.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 已知平面向量与的夹角为，且，.
(1)求；
(2)若与垂直，求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)化为平面向量的数量积可求出结果；
(2)根据可求出结果.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为与垂直，所以，
所以，
所以，得.
18. 近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度.其计算公式是：，成年人的BMI数值标准是：BMI