2025邢台高二上学期第一次月考试题数学含解析

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1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.2.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 经过两点的直线的一个方向向量为，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线方向向量的定义即可求解.
【详解】由条件可得，解得.
故选：D.
2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A. B. 10C. D. 100
【答案】B
【解析】
【分析】先由投影得点的坐标，再由向量模的坐标公式可得所求.
【详解】由题意得，则，
故选：B.
3. 已知直线的两点式为，则（ ）
A. 直线经过点B. 直线的斜截式为
C. 直线的倾斜角为锐角D. 直线的点斜式为
【答案】C
【解析】
【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C.
【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误，
将两点式化为斜截式：，故B错误，
直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确.
故选：C.
4. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出以及，根据投影向量的含义即可求得答案.
【详解】由题意向量，
故，，
则向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
5. 经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出的斜率，根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.
【详解】设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，
所以，即，
因为，
所以或，
故直线的倾斜角的取值范围是．
故选：C．
6. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出，得到直线EF的一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案.
【详解】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为．
因为，所以点P到直线EF的距离为．
故选：A
7. 在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值.
【详解】∵，
∴．
∵，
∴．
∵四点共面，
∴，即．
∵，当且仅当时，等号成立，
∴的最小值为1．
故选：C
8. 在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，，为棱的中点，则点到平面的距离为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量方法求点面距离即可.
【详解】底面ABCD为等腰梯形，，，
如图，在底面ABCD中，过点作，垂足为，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则，
，
设平面的法向量为，
则，所以，两式相减可得，
令，解得，
则平面的一个法向量为，
则点到平面的距离为.
故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】AD项，假设共面，由空间向量基本定理建立方程组，由方程组无解推出矛盾则可得不共面结论；BC项，写出其中一个向量用另外两个向量表达的关系式，由平面向量基本定理可得共面结论.
【详解】A项，假设共面，则存在实数，使，
即，
由构成空间的一个基底，则，方程组无解.
故假设错误，故不共面，故A正确；
B项，由可知，共面，故B错误；
C项，由可知，共面，故C错误；
D项，假设共面，则存在实数，使，
即，
由构成空间的一个基底，则，方程组无解.
故假设错误，故不共面，故D正确；
故选：AD.
10. 已知直线经过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】分直线过原点和不过原点讨论求解即可.
【详解】若直线过原点，则在两坐标轴上的截距为0，满足题意，
此时直线的方程为，即；
若直线不过原点，设直线方程，
则，
若，此时直线方程为；
若，此时直线方程为.
综上所述，直线的方程为或或.
故选：ABD.
11. 在长方体中，为长方体表面上一动点，则的值可能是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】BC
【解析】
【分析】建立直角坐标系，先求出点的坐标，得出数量积以，再结合可得范围．
【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则．
设，则，
所以．
设，连接，则，
因为为长方体中心，所以．
因为，所以，所以．
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知的三个顶点，则边AB的中线所在直线的一般式为_________.
【答案】
【解析】
【分析】求中点坐标，由两点式求斜率，最后由点斜式写出直线方程即可.
【详解】由已知可得边的中点，又直线过点，
所以所求直线斜率，
所以边的中线所在直线方程为：，即.
故答案为：.
13. 已知直线经过定点，则的坐标为_________.
【答案】##
【解析】
【分析】整理直线方程为的形式，解方程组可得定点.
【详解】直线可化为，
联立方程组，解得.
所以定点的坐标为.
故答案为：.
14. 在三棱锥中建立空间直角坐标系后，得到，则三棱锥的体积为_________，三棱锥外接球的表面积为_________.
【答案】 ①. 1 ②. ####
【解析】
【分析】由向量坐标求出三棱锥的各棱长，由长度关系与数量积可得线面垂直关系，由垂直关系入手选定底面与高可求体积；设出球心坐标，由建立方程组求解可得，进而求出球的半径，则表面积可求.
【详解】由题意得，，
所以有，
且，
则，平面，平面，且，
故平面.
又，所以，又，
所以是正三角形，则，
故三棱锥的体积；
设三棱锥外接球的球心，
则由可得，
方程组，
解得，故，所以.
则外接球半径为，
则三棱锥外接球的表面积.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为2.
（1）若直线经过点，求的斜截式方程，并判断与是否平行；
（2）若直线的一般式方程为，求在轴上的截距，并判断与是否垂直；
（3）若直线与平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的一般式.
【答案】（1）；平行
（2）；垂直
（3）
【解析】
【分析】（1）由两点坐标可求斜率，再由点斜式方程可求，然后化为斜截式方程即可，比较两直线的斜率与截距可得平行；
（2）由一般式方程转化为斜截式方程可得在轴上的截距，再由两直线斜率之积为判定垂直；
（3）由两直线平行可求得的斜率为，设出斜截式方程，分别求出直线与坐标轴的交点，根据面积列出方程待定系数可得.
【小问1详解】
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又直线在轴上的截距为2，即直线过点，
则由点斜式可得直线方程为，
化为斜截式方程得，直线的斜率，
在轴上的截距为.
所以的斜截式方程为；
由直线经过点，
则直线的斜率，则直线的方程为，
故的斜截式方程为，在轴上的截距为.
由两直线斜率相同，在轴上的截距不同，则.
【小问2详解】
由直线的一般式方程为，
化为斜截式方程为，故在轴上的截距为；
直线的斜率，由，
所以两直线与互相垂直.
【小问3详解】
由直线与平行，则斜率，故可设直线方程为，
令，得；令，得；
由直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，
则，所以，解得.
所以直线的方程为，
即的一般式方程为.
16. 在三棱柱中，平面平面，，，，.
（1）证明：平面；
（2）若异面直线所成角的余弦值为，求BC.
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，结合得到平面，再由平行关系得到证明；
（2）作出辅助线，证明出⊥平面，建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，利用异面直角夹角的余弦值列出方程，求出，得到答案.
【小问1详解】
因为平面平面，交线为，
，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为，，平面，
所以平面，
又，所以平面；
【小问2详解】
取的中点，连接，因为，所以⊥，
因为平面平面，交线为，平面，
所以⊥平面，
取的中点，连接，则，
因为，所以⊥，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，所以，故，
设，则，设，
由得，
解得，故，
，
因为异面直线所成角的余弦值为，
所以，
解得，故.
17. （1）若直线沿轴向右平移5个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，求的斜率；
（2）一束光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
【分析】（1）设直线方程为，根据平移的应用得到平移后的直线方程为，由两直线重合可得，化简计算即可.
（2）由两点坐标求入射光线所在直线的斜率，再由斜截式可得直线方程；再由入射与反射光线关于轴对称，则斜率互为相反数，求出斜率再由斜截式可求反射光线所在直线方程.
【详解】（1）由题意，直线存在斜率，可设直线方程为，
直线沿x轴向右平移5个单位，沿y轴向上平移2个单位后，
所得直线方程为：
化简得.
因为平移后与原直线重合，则.
解得，即直线的斜率为.
（2）由两点坐标，可得直线的斜率为，
所以入射光线所在直线方程为，即.
因为反射光线与入射光线所在直线关于轴对称，
所以反射光线与入射光线所在直线的倾斜角互补，斜率互为相反数，
所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在直线方程为，
即.
18. 在空间几何体ABC-DEF中，四边形ABED，ADFC均为直角梯形，，，，．

（1）证明：平面平面．
（2）求直线DF与平面BEF所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到两个法向量垂直，故两平面垂直；
（2）在（1）的基础上，利用线面角的向量夹角公式得到答案.
【小问1详解】
证明：因为，所以AB，AC，AD两两垂直．
以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则．
设平面BEF的法向量为，因为，，
所以，解得，令，得，故．
设平面DEF的法向量为，因为，，
所以令，得．
因为，所以，所以平面平面．
【小问2详解】
设直线DF与平面BEF所成的角为，由（1）知，
平面BEF的一个法向量为，
则，
所以，
即直线DF与平面BEF所成的角为．
19. 在如图1所示的图形中，四边形为菱形，和均为直角三角形，，现沿将和进行翻折，使（在平面同侧），如图2.
（1）当二面角为时，判断与平面是否平行；
（2）探究当二面角为时，平面与平面是否垂直；
（3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）不与平面平行
（2）平面不与平面垂直
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为n=x,y,z，转化为是否为0即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，转化为两个向量数量积是否为0即可；
（3）求出平面与平面的法向量，进而求出向量夹角余弦值再转化即可.
【小问1详解】
若二面角为，则平面平面，
因为平面平面，且，所以平面，
如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为n=x,y,z，因为，
所以令，得，
因为，所以，
所以不与平面平行.
【小问2详解】
取的中点，连接，则，
因为，所以二面角的平面角为，即，
如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量为，因为，
所以令，得，
设平面的法向量为，
因为，
所以令，得，
因为，所以不垂直，所以平面不与平面垂直.
【小问3详解】
在（2）中的坐标系中，设平面的法向量为，
因为，
所以令，得，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.