山东省百校大联考2024-2025学年高三上学期12月学情诊断数学试题

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注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．复数的共轭复数是
A．B．C．D．
2．已知，，若，则实数的取值构成的集合是
A．B．C．D．
3．已知数列为等差数列，，为函数的两个极值点，则
A．B．C．D．
4．已知点为△外接圆的圆心，且，则向量在向量上的投影向量为
A．B．C．D．
5．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则的一个充分不必要条件可以是
A．与内所有的直线都垂直B．,,
C．与内无数条直线垂直D．,,
6．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点中心对称，则函数的解析式可能是
A．B．
C．D．
7．已知函数，则
A．B．C．D．
8．已知函数的定义域是，其导函数满足，且有，则
A．B．C．D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，为实数，则下列不等式正确的是
A．B． C． D．
10．已知函数，则下列说法正确的是
A．是偶函数
B．是周期函数
C．关于直线对称
D．当时，
11．如图，在三棱锥中，两两垂直且，分别为线段上异于端点的动点，满足，，下列说法正确的是
A．三棱锥的外接球的表面积是
B．当时，线段的最小值是
C．当时，三棱锥的体积是定值
D．若空间中的点满足且，则满足条件的点所形成的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则 ．
13． 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为________________．
14．已知△外接圆的半径为，是△的面积，分别是△三个内角的对边，若不等式恒成立，则的最大值为 ；点为△外接圆上的任意一点，当取得最大值时，的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知数列为正项数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
16.（15分）已知分别为△三个内角的对边，且．
（1）求；
（2）若△为锐角三角形，且有，求△面积的取值范围．
17.（15分）如图，在正四棱柱中，底面边长是1，点分别在侧棱上，且四点共面．设直线、与平面所成的角分别为、．
（1）设平面与平面相交于直线，求证：当时，；
（2）当时，求平面与平面所成角的余弦值的最大值．
18.（17分）已知函数，．
（1）求函数的图象经过的所有的定点坐标，并写出函数的一条以上述一个定点为切点的切线；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，证明：．
19.（17分）一般地，对于无穷数列：，我们称幂级数即为无穷数列的母函数，
例如：数列 的母函数为．
附公式：，其中．
（1）已知数列，，，求无穷数列的母函数；
（2）已知无穷数列的母函数为，记，请用表示数列的母函数；
（3）已知数列，，记，求．