福建省厦门第一中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

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高三年数学试卷
满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知M=x∈Z0＜x＜2，N=xx2-x≤0，则M∩N=( ).
A．{0,1}B．{1}C．{-1,1}D．∅
2．已知（2-2i）z=i，则=( ).
A．14+14iB．-14-14i C．14-14iD．-14+14i
3．已知数列{1an}是首项为5，公差为2的等差数列，则a11=( ).
A．125B．122C．117D．119
4．已知 , , , 则( ).
A. b>a>c B. c>b>a C. a>c>b D. a>b>c
5．将5名大学生分配到3个乡镇当官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有（ ）种.
A．240B．60C．150D．180
6．已知点P 是焦点为 F 的抛物线C : 4x2= y 上的一个点 ，过点P 作直线l : 的垂线 ，垂足为点 A，直线l 与y 轴的交点为B ，若PB 是∠FPA 的平分线 ，则△BFP 的面积为( ).
A．164B．264C．1128D．2128
7．已知为单位向量，且，向量满足 ，则
的最小值为( ).
A. 13 -1 B. 3 -1 C.14 - 213 D. 4 - 23
8．端午是一大中华传统节日.小玮同学包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O）.如图：已知粽子三棱锥 P -ABC 中，PA = PB = AB = AC = BC， H 、I 、J 分别为所在棱中点， D、 E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点 ，小玮同学切开后发现 ，沿平面CDE 或平面 HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅. 则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）.
A．23π9B．3π18
C．23π27D．3π54
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中正确的是
A．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60
B．若样本数据的标准差为8，则数据，，，的标准差为16
C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小
10 ．已知抛物线C : y2 = 4x的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A，B 两点，过点A 作C
的切线，交准线于点P ，交x 轴于点Q ，下列说法正确的有（ ）.
A. QF = AF B.直线QB 与C 也相切
C. PA 丄 PB D.若∠PAF = π6 则 AF = 4
11． (多选)已知是偶函数，是奇函数，且，则 ( )
A．是周期函数 B．的图象关于点中心对称
C． D．是偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知一组数据，，2，3，，大致呈线性分布，其回归直线方程为，则的最小值为 = ▲ ．
13．已知函数的最大值是3，的图象与轴的交点坐标为，其相邻两个对称中心的距离为2，则

14．数学家斐波那契有段时间痴迷于研究有趣的数列问题，意外发现了一个特殊的数列{an} :1，1，2，3，5，8，……, 从第3项起 ，每一项都等于它前面两项之和，即a1 = a2 =1，an+2 = an+1 + an，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”，若am= 2 (a3 + a6 + a9 +…+ a2022 )+1 ，则m= ▲ ．
四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在△中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，如图，，是上的动点，且始终等于，记．当为何值时，△的面积取到最小值，并求出最小值．
16.（15分）
已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为常数且．
（1）若数列为等差数列，求；
（2）若，求数列通项公式及．
17.（15分）
如图，在直角梯形中，，，，点是的中点，将△沿对折至△，使得，点是的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值．
18.（17分）
著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆的离心率为，且右顶点与上顶点的距离．
（1）求椭圆的面积；
（2）若直线交椭圆于，两点，
求△的面积的最大值为坐标原点）；
若以，为直径的圆过点，，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
19.（17分）
定义在上的函数，若对任意不同的两点，，，都存在，，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，，为函数在的相依区间．已知．
（1）当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点；
（2）若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，，，为函数在的相依区间，证明：．