人教A版高中数学必修第二册同步讲练测 第6章 平面向量及其应用章节复习+单元测试AB卷（2份，原卷版+教师版）

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第6章 平面向量及其应用 章末重难点归纳总结考点一 平面向量的概念【例1】下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若，则；③若，则四边形ABCD是平行四边形；④若，，则；⑤若，，；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段；⑦任何一个非零向量都可以平行移动．其中，假命题的个数是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若，方向不确定，则不一定相同，∴②错误；对于③，若，、不一定相等，∴四边形不一定是平行四边形，③错误；对于④，若，，则，④正确；对于⑤，若，，，当时，不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，向量没有固定的起点，所以向量不是有向线段，但向量可以用有向线段表示，∴⑥错误；对于⑦，任何一个非零向量都可以平行移动，∴⑦正确；综上，假命题是②③⑤⑥，共4个，故选：C.【一隅三反】1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③（为实数），则必为零；④为实数，若，则与共线；⑤向量的大小与方向有关．其中正确的命题的个数为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于①，两个向量具有公共终点，但两向量的起点和终点可能不共线，则两向量不是平行向量，①错误；对于②，向量有大小和方向两个维度，无法比较大小；但向量模长仅有大小一个维度，可以比较大小，②正确；对于③，当时，可以为任意实数，③错误；对于④，当时，，此时可以不共线，④错误；对于⑤，向量的大小即向量的模长，与方向无关，⑤错误.故选：A.2．（多选）给出下列命题正确的是（    ）A．空间中所有的单位向量都相等B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量C．若满足，且同向，则D．对于任意向量，必有【答案】BD【解析】对于A：向量相等需要满足两个条件：长度相等且方向相同，缺一不可，故A错；对于B：根据相反向量的定义可知B正确；对于C：向量是矢量不能比较大小，故C错；对于D：根据三角形三边关系知正确；故选：BD.3．（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（　　　）A．若 ，则 或B．若向量 是向量 的相反向量，则C．在正方体 中， D．若空间向量 ， ， 满足 ， ，则【答案】BCD【解析】对于选项A：若，即向量与的模相等，但方向不确定，故A错误；对于选项B：相反向量是指大小相等方向相反的两个向量，故B正确；对于选项C：在正方体中，与大小相等，方向相同，故，所以C正确；对于选项D：若 ，，则方向相同大小相等，故，若中有零向量结论也正确，所以D正确.故选：BCD.考点二 平面向量的运算【例2-1】已知的重心为O，则向量（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设分别是的中点，由于是三角形的重心，所以.故选：C.【例2-2】如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，，，，所以.由已知是的中点，所以，，.所以，，所以，.故选：B.【一隅三反】1．对于非零向量与，下列不等式中恒成立的是（    ）A．； B．； C．； D．．【答案】B【解析】设非零向量与的夹角为，则，，则故选：2．己知，，且与的夹角为，则________．【答案】【解析】.故答案为：.3．已知,是单位向量，且，若，那么当时，______．【答案】【解析】因为,是单位向量，所以，当时，，所以，所以，所以，所以，解得.故答案为：.4．给出下列等式：①；②；③；④．其中等式成立的个数为________．【答案】【解析】对于①，，①正确；对于②，，，②正确；对于③，，③错误；对于④，，④正确；等式成立的个数为.故答案为：.考点三 平面向量运算的坐标表示【例3-1】（多选）已知向量，，则下列结论不正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】设，因为向量，，则，解得，所以，对于A，因为，故A错误；对于B，因为，故与不共线，故B错误；对于C，，所以，所以，故C正确；对于D，，，所以，故D错误.故选：ABD..【例3-2】（多选）已知向量，，则下列说法正确的是（    ）A．B．若，则的值为C．若，则的值为D．若，则与的夹角为锐角【答案】AC【解析】因为，所以选项A说法正确；因为，所以，所以选项B说法不正确；因为，所以，所以选项C说法正确；当时，，所以，因此选项D说法不正确，故选：AC【例3-3】（多选）已知点、、、，则（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】对于A选项，，，则，故，A对；对于B选项，，所以，，B对；对于C选项，，所以，，C对；对于D选项，，则，D错.故选：ABC.【一隅三反】1．（多选）已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于A，，，与不垂直，A不正确；对于B，，有，B正确；对于C，，有，C不正确；对于D，，由选项C知，，D正确.故选：BD2（多选）下列命题正确的是（    ）A．已知，则向量在方向上的投影向量的长度为4B．若向量的夹角为钝角，则C．若向量满足，则或D．设是同一平面内两个不共线的向量，若，则可作为该平面的一个基底【答案】ABD【解析】对于选项A，因为，所以向量在方向上的投影向量的长度为，A正确；对于选项B，因为向量的夹角为钝角，所以，所以，B正确；对于选项C，当时，，但且，C错误；对于选项D，假设共线，则，又，所以，因为不共线，所以，方程组无解，故假设错误，即不共线，所以可作为该平面的一个基底，D正确；故选：ABD.3．（多选）已知向量，，则下列命题正确的是（    ）A．若，则B．若在上的投影向量为，则向量与夹角为C．与共线的单位向量只有一个为D．存在，使得【答案】BD【解析】A选项，若，则，，A选项错误.B选项，在上的投影向量为，所以， ，由于，所以，B选项正确.C选项，与共线的单位向量可以是，即和，所以C选项错误.D选项，若，则，，，，其中，所以，由于，，则当时，，所以存在，使得，D选项正确.故选：BD考点四 平面向量的基本定理【例4-1】如图，在边长为2的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点D），点F为BC的中点，则（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】A【解析】在边长为2的等边中, BD为中线，则故选：A【例4-2】如图，在中，，，，M是边上的中点，P是上一点，且满足，则（    ）．A． B． C． D．【答案】D【解析】因为P是上一点，故可设，因为M是边上的中点，所以，所以，，又，所以，故，所以，所以，因为，，，所以，所以，故选：D.【一隅三反】1．中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且，.则（    ）.A． B． C． D．【答案】A【解析】因为点M是BC的中点，所以，故，则，故，因为三点共线，所以存在使得，即，则，所以，解得：.故选：A2.设为所在平面内一点，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意作上图，则 ；故选：D.3．在中，点在边上，且，点在边上，且，连接，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，连接则，∴，，则.故选：A.4．在中，为直线上的任意一点，为的中点，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为为的中点，且，所以所以，且，，三点共线，所以，则．故选：A．5．如图，在平行四边形中，，，点为与的交点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，，知，分别为，的中点.如图，设与的交点为，易得，所以，所以.因为点是的中点，所以.由，，三点共线知，存在，满足.由，，三点共线知，存在，满足.所以.又因为，为不共线的非零向量，所以，解得，所以.故选：.考点五 正余弦定理【例5-1】（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．的面积为【答案】BC【解析】由题设，则，即，故，所以不为钝角，否则、都为钝角，则，又，即，整理得，故，，且为三角形内角，则，综上，的面积，故A、D错误，B、C正确.故选：BC【例5-2】（多选）在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（    ）A．，有唯一解 B．，无解C．，有两解 D．，有唯一解【答案】AD【解析】选项，已知三边三角形确定，有唯一解，正确；选项，由正弦定理得：，则，再由大边对大角可得，故可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B错误；选项C，由正弦定理得：，则，且，由大边对大角可得，则只能为锐角，故三角形有唯一解，C错误；选项D，由正弦定理得：，，由于，则是锐角，有唯一解，D正确.故选：AD.【一隅三反】1．（多选）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【解析】对于A，因为，所以，所以只有一解；故A错误；对于B，因为，所以由正弦定理得，因为，即，所以，所以有两解（，或），故B正确；对于C，因为，所以由正弦定理得，即，因为，所以有两解（，或，），故C正确；对于D，因为，所以由正弦定理得，由于，故，所以只有一解，故D错误；故选：BC2．已知是的内角，分别是其对边长，向量，，．(1)求角的大小；(2)若，，求的长．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：，．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴．（2）解：在中，，，，又∴．由正弦定理知：，∴，∴．3．已知的三个角所对的边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若，求的面积的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）由题意可得，由正弦定理，得．又，则．∵，∴．又，∴．（2）∵，由余弦定理，得，即∵，∴．∴，当且仅当时等号成立∴，故的面积S的最大值为.第6章 平面向量及其应用 章末测试（基础）考试时间：120分钟 满分：150分单选题(每题只有一个选择为正确答案，每题5分，8题共40分)1．对于非零向量、，“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对于非零向量、，若，则，∴由向量共线定理可知，若，则，不一定成立，∴是的充分不必要条件，故选：A2．已知向量，若，则（    ）A．(-2，-1) B．(2，1)C．(3，-1) D．(-3，1)【答案】A【解析】∵，∴，∴.∴.故选：A.3．在△ABC中，若A=60°，BC=4，AC=4，则角B的大小为（    ）A．30° B．45°C．135° D．45°或135°【答案】B【解析】由正弦定理，得，则sin B=因为BC>AC，所以A>B，而A=60°，所以B=45°.故选：B4．如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（       ）A． B． C． D． 【答案】B【解析】.故选：B5．在中，内角所对的边分别为.若，，且，则的外接圆的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，解得：；，解得：；由正弦定理得：，解得：，的外接圆面积.故选：A.6．在中，角的对边分别是向量向量，且满足则角（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得再根据正弦定理有，，即.由余弦定理得，,所以因为所以故选：C7．若两个向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为　　A． B． C． D．【答案】B【解析】两个向量，的夹角是，是单位向量，，．，．．设向量与的夹角为，，，则，，故选：．8．如图，在等腰直角中，斜边，且，点是线段上任一点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，,,设，则，，所以，因为，所以当时，取最小值，当时，取最大值4，所以的取值范围是，故选：B多选题9．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知， ，且，则A． B． C． D．【答案】AD【解析】.整理可得: 可得 为三角形内角, 故A正确，B错误.解得 ,由余弦定理得 解得, 故C错误，D正确.故选: AD.10．在中，，，，则角的可能取值为（    ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由余弦定理，得，即，解得或.当时，此时为等腰三角形，，所以；当时，，此时为直角三角形，所以.故选：AD11．下列说法错误的是（    ）A．∥就是所在的直线平行于所在的直线B．长度相等的向量叫相等向量C．零向量的长度等于0D．共线向量是在同一条直线上的向量【答案】ABD【解析】对于A：向量∥时，所在的直线与所在的直线可能重合，故A不正确；对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故B不正确；对于C：按定义，零向量的长度等于0，C正确；对于D：非零的共线向量是方向相同或相反的向量，可以在同一直线上，也可不在同一直线上，故D不正确；故选：ABD．12．已知是的重心，为的中点，下列等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】如图所示，因为点是的重心，为的中点，可得是的中点，由，所以A正确；由为的中点，根据向量的平行四边形法则，可得，又由是的重心，根据重心的性质，可得，所以，即，所以B正确；根据三角形重心的性质，可得，所以C不正确；由重心的性质，可得，所以D正确.故选：ABD.三、填空题13．已知平面向量，若与反向共线，则实数的值为 ____【答案】【解析】由题意，向量与反向共线，所以存在实数，使得，即，可得，解得或（舍去），所以.故答案为：.14．已知中角、、所对的边分别为、、，，，，则______．【答案】【解析】由得，则，即，由可知为锐角，则，得，由余弦定理得，即，解得．故答案为：.15．已知，则在方向上的投影为___________.【答案】【解析】，所以在方向上的投影为.故答案为：16．如图所示，在中，已知，为边上的一点，且满足，，则______【答案】【解析】令，因为，所以，所以，，在中，由正弦定理得解得.故答案为：四、解答题17．在中，内角，，的对边分别为，，．已知 （1）求证：（2）若，的面积为，求的周长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）法一：∵，∴由正弦定理，可得，即：，又∵，∴，又∵，∴或（舍去），∴．法二：∵，∴由余弦定理可得，整理可得，∴ ，∴.（2）∵，由（1）可知，又∵的面积为，且，∴，∴，∵由余弦定理可得，∴，∴的周长．18．设向量满足，且.(1)求与夹角的大小；(2)求与夹角的大小；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)由得：，解得：，，，.(2)，，，，.(3)，，.19．已知的内角的对边分别是，且.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据正弦定理，，因为，所以，因此有，因为，所以；（2）由余弦定理可知：，解得，（舍去），因此的面积为.20．在中，已知.（1）求角；（2）若，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）原式可化为：， ，，， 又，； （2）由余弦定理，得， ，，， ， .21．在中，角、、的对边分别为、、，已知.（1）若的面积为，求的值；（2）设，，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，则，的面积为，.因此，；（2），，且，所以，，即，.，.，，因此，.22．在锐角中，角的对边分别为，已知（1）若，求；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得，得，得，在，，由余弦定理，得，即，解得或.当时， 即为钝角（舍），故符合.（2）由（1）得，所以，，为锐角三角形，，，，，故的取值范围是.第6章 平面向量及其应用 章末测试（提升）考试时间：120分钟 满分：150分单选题1.已知，则（    ）A．三点共线 B．三点共线C．三点共线 D．三点共线【答案】C【解析】对于A:不存在实数 ，使得，故 三点不共线；对于B: 不存在实数 ，使得，故 三点不共线；对于C: ,故 ，所以三点共线；对于D: 不存在实数 ，使得，故 三点不共线；故选：C2．已知在边长为的正三角形中，､分别为边､上的动点，且，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图建系，则､､，则，，设()，则()，则，，∴，，∴，当时取最大值，故选：B.3．已知非零向量，满足，则“”是“”的（    ）条件A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】，，∴等价于，故选：A.4．在中，内角所对的边分别为，若则的形状是（    ）A．等腰三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形【答案】B【解析】因为，所以所以，所以故为等边三角形.故选：B.5．已知中，，，若满足上述条件的三角形有两个，则的范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，点C在射线上移动，从点B向射线引垂线，垂足为D，由题意可知，若三角形有两个，则点C应在点D的两侧（如：），而AB=2，所以BC的范围是.故选：B.6．已知在中，角A，，的对边分别为，，，若，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，所以，又，所以，所以，，所以，因为，，所以，故A正确，B、D错误；，所以，所以，故C错误.故选：A7．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（    ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【解析】由题意可得，故 ，，，故 ，由于 ，故，故选：C8．设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（    ）A．(1，9] B．(3，9] C．(5，9] D．(7，9]【答案】D【解析】因为，由正弦定理可得，则有，由的内角为锐角，可得，， 由余弦定理可得因此有 故选：D.多选题9．已知向量，，则下列叙述中，正确的是（    ）.A．， B．，C．､，使 D．､，使【答案】BC【解析】由题意，向量，，若，可得，此时方程无解，所以不存在，使得，所以A不正确；由，所以，所以B正确；由，可得，可得，所以C正确；因为，若，可得，可得，此时方程无解，所以D不正确.故选：BC.10．在中，若，则角的值可以为（    ）A． B． C． D．【答案】BC【解析】，，又，或.故选：BC.11．如图所示，设在中，角、、所对的边分别为、、，，且．若点是外一点，、，下列说法中，错误的命题是（    ）A．四边形周长的最小值为B．四边形周长的最大值为C．四边形面积的最小值为D．四边形面积的最大值为【答案】ABC【解析】在中，，由正弦定理得：，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴为正三角形，∵、，∴∵的周长的取值范围为，∴四边形周长的取值范围为，所以AB错误，四边形面积，∵，∴四边形面积的取值范围为，所以C错误，D正确，故选：ABC．12．下列说法中错误的是（    ）.A．若，，，则B．若且，则C．若，非零向量且，则D．若，则有且只有一个实数，使得【答案】ABD【解析】A选项，当，中至少有一个时，与可能不平行，故A错误；B选项，由且，可得或，故B错误；C选项，，根据数量积规则，则两边平方化简可得，∴，故C正确；D选项，根据向量共线基本定理可知当 都为非零向量时成立，为零向量时也成立 ，若 时， 不存在，但 （零向量与所有的向量共线），故D错误；故选：ABD.三、填空题13．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________．【答案】【解析】∵，，∴，∴，，∴，∵, ,，故答案为：.14．在中，为中点，若，则实数的值为___________.【答案】【解析】因为为中点，所以，，，因为，所以，因为所以，，解得.故答案为：15．在中，，，D为边上的点，且，，则________.【答案】【解析】如图，∵，，，在△ABD中，余弦定理，∵∴．由正弦定理：，可得：,故答案为：．16．在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是___【答案】【解析】如图，设，则,在和中，分别由余弦定理可得，两式相加，整理得，∴．①由及正弦定理得，整理得，②由余弦定理的推论可得，所以．把①代入②整理得，又，当且仅当时等号成立，所以，故得．所以．即面积的最大值是．故答案为．四、解答题17．如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.(1)若，求的值；(2)设，，，，求的值；【答案】(1)；(2)3.【解析】（1）因，所以，又因为的中点，所以，所以，又，所以；（2）因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三点共线，所以，即.18．在中，角、、的对边分别为、、，已知.（1）若的面积为，求的值；（2）设，，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，则，的面积为，.因此，；（2），，且，所以，，即，.，.，，因此，.19．在中，角、、所对的边分别为、、，且与共线.(1)求：(2)若，且，，求的面积.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：在中，，因为向量与向量共线，则，由正弦定理可得，所以，，、，则，所以，，因此，.（2）解：，且，，，，在中，由余弦定理有，即，即，，解得，所以，.20．如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，．(1)若，求，的值；(2)求的值；(3)求．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1），故（2）（3），21．已知在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.(1)求角A；(2)若D点在线段上，且平分，若，且，求的面积.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：∵，由正弦定理得：，即，则，又在中，，，故，故.(2)由题可知，设,则，由正弦定理得：，即，解得，由余弦定理得，解得；又，故.由余弦定理得，即，解得，则，.的面积为.22．在中、、为角、、所对的边，.（1）求角的值；（2）若且，求的取值范围.【答案】（1）或； （2）.【解析】（1）在中，，，则，，∴或；（2）∵，∴，由正弦定理得，所以，，故，∵，∴，，∴.