人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算精品精练

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一．复数加法与减法的运算法则
1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i
总结：实部相加减，虚部相加减
2.对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝z2＋z1；
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
二．复数乘法的运算法则和运算律
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律：z1z2＝z2z1
结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
3.两个复数代数形式乘法的一般方法
（1）首先按多项式的乘法展开.
（2）再将i2换成－1.
（3）然后再进行复数的加、减运算.
三．复数除法的法则
1.复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，则eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).
2.两个复数代数形式的除法运算步骤
①首先将除式写为分式.
②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数.
③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.
知识简用
题型一 复数的加减运算
【例1】计算：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【解析】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6).
题型二 复数的乘除法
【例2-1】计算：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）
（2）
（3）
【例2-2】计算下列各题
(1)； (2)；
(3).
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）原式.
（2）原式.
（3）
.
题型三 共轭复数
【例3-1】复数的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，所以共轭复数是故选：A
【例3-2】已知复数，是z的共轭复数，则的虚部为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，则∴的虚部为故选：C．
题型四 复数的综合运用
【例4-1】（多选）设复数，则（ ）
A．B．z的实部为1C．z的虚部为2D．z的共轭复数为
【答案】AC
【解析】因为，所以，故A正确；
的实部是，故B错误；虚部是2，故C正确；，故D错误.故选：AC.
【例4-2】（多选）已知复数，则（ ）
A．z的实部是B．z的虚部是
C．z的共轭复数为D．
【答案】ACD
【解析】∵，则有：z的实部是，A正确；z的虚部是，B错误；
z的共轭复数为，C正确；，D正确；故选：ACD.
【例4-3】（多选）已知复数z满足，则下列关于复数z的结论正确的是（ ）
A．
B．复数z的共轭复数为＝﹣1﹣i
C．复平面内表示复数z的点位于第二象限
D．复数z是方程x2+2x+3＝0的一个根
【答案】ABC
【解析】由，得．；，
复平面内表示复数的点的坐标为，位于第二象限；
，复数不是方程的一个根．故选：ABC.
7.2 复数的四则运算（精讲）思维导图
典例精讲
考点一 复数的加减运算
【例1】已知为虚数单位，计算下列各式．
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4).
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【一隅三反】
1．计算：
(1)； (2)；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
（7） （8）
【答案】(1)(2)（3）；（4）；（5）0；（6）8.（7）；（8）.
【解析】(1)；
(2)；
（3）
（4）
（5）
（6）=8
（7）；
（8）.
考点二 复数的乘除运算
【例2-1】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)4(2)(3)(4)
【解析】（1）．
（2）原式．
（3）．
（4）原式．
【例2-2】计算：
(1)； (2)．（3）i＋2i2＋3i3＋…＋2 020i2 020＋2 021i2 021.
【答案】(1)(2)（3）1010＋1011i
【解析】（1）原式．
原式
（3）原式＝(i－2－3i＋4)＋(5i－6－7i＋8)＋(9i－10－11i＋12)＋…＋(2017i－2018－2019i＋2020)＋2021i＝505·(2－2i)＋2 021i＝1010＋1011i.
【一隅三反】
1．设，则_______.
【答案】
【解析】由题意化简，
则，故答案为：
2．______．（其中i是虚数单位）
【答案】
【解析】
.故答案为：
3.计算．
(1)； (2)．
(3)； (4)；(5).
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
【解析】（1）解法1：原式．
解法2：原式．
（2）原式．
（3）原式.
（4）原式.
（5），，，
原式.
考点三 共轭复数
【例3】已知复数，则的共轭复数为___________.
【答案】
【解析】因为，所以，所以的共轭复数为.
故答案为：
【一隅三反】
1．已知为虚数单位，复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，共轭复数为.故选：C.
2．在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）．
A．第一象限；B．第二象限；C．第三象限；D．第四象限．
【答案】D
【解析】，所以其共轭复数为，它在复平面所对应的点坐标为，位于第四象限.故选：D.
3．已知复数z满足，其中为虚数单位，则z的共轭复数为___________.
【答案】
【解析】由于，所以，所以.故答案为：
考点四 在复数内解方程
【例4-1】已知是关于x的方程的根，则实数______.
【答案】2
【解析】因为是关于x的方程的根，所以也是方程的根，
所以，得，故答案为：2
【例4-2】已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】因为方程有两个虚根和，所以，则，
又由求根公式知两虚根为，，所以，
则，解得，满足要求，所以.故选：C.
【例4-3】在复数范围内分解因式：
(1)； (2)．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由于，所以.
（2）由于，所以.
【一隅三反】
1．已知是关于x的方程的一个根，则该方程的另一个根为________．
【答案】
【解析】是关于的方程的一个根，设该方程的另一个根为，
可得，解得.故答案为：．
2．已知是实系数一元二次方程的两个虚数根，且满足方程．
(1)求和．
(2)写出一个以和为根的实系数一元二次方程．
【答案】(1)，(2)（答案不唯一）
【解析】(1)因为是实系数一元二次方程的两个虚数根，则互为共轭复数，
设，，代入中，得，
整理得，，解得，，；
(2)；，
以和为根的实系数一元二次方程可以为．
3．已知复数，其中i为虚数单位.
(1)若z是纯虚数，求实数m的值；
(2)若，z是关于x的实系数方程的一个复数根，求实数的值.
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)因为复数是纯虚数，
所以解得：.
(2)当时，.
因为z是关于x的实系数方程的一个复数根，所以z的共轭复数也是实系数方程的根，所以，，解得：，，故.
考点五 复数的综合运用
【例5-1】（多选）已知复数：满足，则（ ）
A．B．z的虚部为
C．z的共轭复数为D．z是方程的一个根
【答案】AD
【解析】因为，所以，对A：，故选项A正确；
对B：z的虚部为，故选项B错误；对C：z的共轭复数为，故选项C错误；
对D：因为方程的根为，所以z是方程的一个根，故选项D正确.故选：AD.
【例5-2】已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若是虚数，则都是虚数.
A．①④B．②C．②③D．①②③
【答案】C
【解析】为复数，①若，因为没有大小（虚部为0，即为实数时除外），故是错误的，
②若，设，则，由，得，所以，正确，
③若，则，正确，
④若是虚数，不一定都是虚数，比如，而是虚数，故错误，
故②③正确，故选：C.
【一隅三反】
1．（多选）已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A．B．复数的虚部为
C．若复数为纯虚数，则D．若为复数，则为实数
【答案】AD
【解析】A：，故A正确；B：对于复数的虚部为-1，故B错误；
C：由复数z为纯虚数，设()，则，所以，故C错误；
D：设复数()，则，所以，故D正确.故选：AD
2．（多选）下列关于复数的命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【解析】对于A：因为，则，则，所以，故A正确；
对于B：若，则，故B正确；
对于C：令，，，由，所以，
所以，则，同理可得，所以，故C正确；
对于D：令，，则，但是、，所以，故D错误；
故选：ABC
3．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求：
(1)点D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
【答案】(1)5(2)7
【解析】（1）向量对应的复数为,所以向量，
对应的复数为,所以向量，，
，，
点对应的复数为5 .
（2），，
，，.
故平行四边形面积为7.
7.2 复数的四则运算（精练）
1．若复数，则等于（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【解析】，所以，故选：D.
2．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】则的虚部为故选：B
3．若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】因为复数满足，所以，则，
所以在复平面内对应的点位于第三象限，故选：C
4．已知复数z满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．z的虚部为iB．C．D．
【答案】D
【解析】，其虚部为，，，．
故选：D.
5．（多选）以下四种说法正确的是（ ）
A．=i
B．复数的虚部为
C．若z=，则复平面内对应的点位于第二象限
D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数
【答案】ABD
【解析】对于A，，A正确；对于B，复数的虚部为，B正确；
对于C，，则，复平面内对应的点在y轴负半轴上，C不正确；
对于D，复平面内，实轴上的点对应的复数是实数，D正确.
故选：ABD
6．（多选）若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．对应的点在第三象限B．
C．为纯虚数D．的共轭复数为
【答案】AB
【解析】因为，对于A：对应的点（-2，-1）在第三象限，正确；对于B：模长，正确；对于C：因为，故不是纯虚数，C不正确；对于D：的共轭复数为，D不正确.故选：AB.
7．（多选）若复数（为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A．B．的虚部为
C．为纯虚数D．
【答案】ACD
【解析】；对于A，，A正确；
对于B，由虚部定义知：的虚部为，B错误；对于C，为纯虚数，C正确；
对于D，由共轭复数定义知：，D正确.故选：ACD.
8．已知是虚数单位，复数，下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为B．的共轭复数对应的点在第三象限
C．的实部为1D．的共轭复数的模为1
【答案】D
【解析】因为，所以，所以的虚部为，故A错误；
的共轭复数为，其对应的点是，在第一象限，故B错误；的实部为，故C错误；
的共轭复数为，则模长为，故D正确，故选：D.
9．设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】因为，所以可得，解得，
所以，对应点为，位于第四象限，故选：D
10．（多选）复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的实部为3B．的虚部为2
C．D．
【答案】BD
【解析】由于，可得,
即选项D正确；由得的实部为-3，虚部为2，故A错误，B正确；
由共轭复数的定义可知，故C错误.故选：BD.
11．若复数的实部和虚部相等，则实数______．
【答案】
【解析】因为，又复数的实部和虚部相等，所以，所以.
故答案为：.
12．设复数满足，则______．
【答案】
【解析】设复数，因为，所以，，所以．
故答案为：.
13．若为实数，，则______．
【答案】
【解析】，则，因为a为实数，所以．
故答案为：
14．若关于的方程有虚根，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为一元二次方程有虚根，则，解得：.
故答案为：
15．复数等于______．
【答案】
【解析】
.故答案为：
1．已知、，且，若，则的最大值是（ ）．
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【解析】设，，故，，则，
，
，当时，有最大值为4.故选：C
2．在复平面上，一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为，，0，则第四个顶点对应的复数不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设第四个点对应复数为，则或或，
所以或或．故选：A．
3．已知，且，i为虚数单位，则的最大值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】∵，故设，，∴，
∴，故复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
∵表示圆上的点到点的距离，∴的最大值是，故选：B．
4．若复数和复数满足，则_____．
【答案】
【解析】设，且，
则，又，所以，
也即，则，因为，
所以
故答案为：.
5．设复数，满足，，则___________.
【答案】
【解析】依题意设，，，所以，
因为，所以，
所以，所以，所以
所以所以；
故答案为：
6．已知关于的实系数方程有一个模为1的虚根，则实数的值为______．
【答案】
【解析】因为关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，
所以方程的判别式小于零，即或，
由已知两根是互为共轭的虚根，设为，而由题意可知：，
由根与系数的关系可得：，而，
因此有，解得.或，舍去，满足题意.
故答案为：.
7．若复数满足，则复数的值是______．
【答案】
【解析】由可得，即，所以，则，
故答案为: .
8．已知关于的一元二次方程的两根为、．
(1)若为虚数，求的取值范围；
(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)或
【解析】（1）因为为虚数，所以，即.
（2）因为，所以，，
①当时，，则；
②当时，，则；
综上，的值为或．
9．已知，且，复数为虚数单位）满足．
(1)求；
(2)若关于的方程有实根，求的所有可能值．
【答案】(1)(2)或
【解析】（1）
，因为，所以，
又，所以，即；
（2）因为，，所以，设实根为，则，
所以，所以，因为所以或，
若，则无实数解，舍去；若，则，所以，
又由(1)知，所以，所以或.
10．已知复数，求的值．
【答案】
【解析】因为，所以
所以所以，，
所以
11．设复数和，其中是虚数单位，．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，且和为某实系数一元二次方程的两根，求实数所有取值的集合．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）设为复平面的坐标原点，
∵对应的点为，即，
对应的点为，则在标准单位圆上，
的几何意义为，则，即，
故的取值范围为.
（2）由题意可得：，
则，
，
∵和为某实系数一元二次方程的两根，∴，则，
由，解得或，
若，则，故成立；
若，则或，故或，成立；
故实数所有取值的集合.