高中人教A版 (2019)第八章 立体几何初步8.1 基本立体图形精品课后测评

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一．空间几何的分类
1.多面体：由若干个平面多边形围成的几何体
2.旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋
转面围成的几何体叫做旋转体
二．多面体
（一）棱柱
1.定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
2.特征
①两个面互相平行（即上下底面平行）
②其余各面是平行四边形；
③相邻两个四边形的公共边互相平行
3.分类
(1)按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
(2)按侧棱是否与底面垂直
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.
棱锥
1.定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
2.特征
定底面：只有一个面是多边形，此面即为底面
看侧棱：相交于一点
3.分类：
(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……
(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.
（三）棱台
1.定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台
特征
定底面：两个互相平行的面，即为底面
看侧棱：延长后相交于一点
三．旋转体
（一）圆柱
定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
圆柱的轴：旋转轴
圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边
（二）圆锥
定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
圆锥的轴：旋转轴
圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边
圆台
定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
圆台的轴：旋转轴
圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面
圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
球
定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球
球心：半圆的圆心
半径：连接球心和球面上任意一点的线段
直径：连接球面上两点并经过球心的线段
四．简单组合体的结构特征
1.概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.
2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.
知识简用
题型一 棱柱
【例1-1】下列命题正确的是（ ）
A．棱柱的每个面都是平行四边形B．一个棱柱至少有五个面
C．棱柱有且只有两个面互相平行D．长方体是正四棱柱
【答案】B
【解析】对于A，棱柱的上下底面可以是三角形或者是梯形，故A不正确；
对于B，面最少的就是三棱柱，共有五个面，B正确；
对于C，长方体是棱柱，但是上下、左右、前后都是互相平行的，C不正确；
对于D，正四棱柱是特殊的长方体，D错误.
故选：B
【例1-2】满足下列条件的棱柱中，一定是直棱柱的是（ ）
A．底面是矩形B．有一个侧面与底面垂直
C．有一个侧面是矩形D．相邻两个侧面是矩形
【答案】D
【解析】如图所示是一个斜四棱柱：
因为底面是矩形，故A错误；因为侧面与底面垂直，故B错误；
侧面是矩形，故C错误；当相邻两个侧面是矩形时，则这两个侧面的交线与底面垂直，即得到侧棱与底面垂直，则该棱柱一定是直棱柱，故D正确.故选：A.
【例1-3】下列关于棱柱的说法错误的是（ ）
A．所有的棱柱两个㡳面都平行
B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行
C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
D．棱柱至少有5个面
【答案】C
【解析】由棱柱的定义: 有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻四边形的公共边互相平行的几何体是棱柱，知A、B正确的；对于C，如图，
有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，但它不是棱柱，所以C错误．三棱柱有五个面，棱柱有个面，D正确.
故选：C
【例1-4】已知某多面体的平面展开图如图所示，其中是三棱柱的有________个．
【答案】2
【解析】根据平面展开图，还原几何体如下所示：
故第二个和第四个为三棱柱，三棱柱的个数有2个.故答案为：2.
题型二 棱锥
【例2-1】下列几何体中是棱锥的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解析】由棱锥的定义逐个判断即可得解.由棱锥的定义可得，只有几何体⑤、⑥为棱锥.故选：C.
【例2-2】下列命题中正确的是
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这
些面围成的几何体是棱锥；
③四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面；
④棱锥的各侧棱长相等．
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】B
【解析】由棱锥的定义,可知棱锥的各侧面都是三角形,故①正确；
有一个面是多边形,其余各面都是三角形,如果这些三角形没有一个公共顶点,那么这个几何体就不是棱锥,故②错；四面体是由四个三角形所围成的几何体,因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥,故③正确；棱锥的侧棱长可以相等,也可以不相等,故④错．综上可知,正确的有①③
故选:B
【例2-3】下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于A选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱柱，故A选项不正确；
对于B选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱锥，故B选项正确；
对于C选项，图形沿着折线翻折起来是一个三棱台，故C选项不正确；
对于D选项，图形沿着折线翻折起来是一个四棱柱，故D选项不正确；
故选：B.
题型三 棱台
【例3-1】下面有关棱台说法中，正确的是（ ）
A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形
C．棱台的侧棱长必相等D．楼台的上下底面可能不是相似图形
【答案】B
【解析】A. 四棱台要求侧棱延长后交与一点，上下两个底面平行且是相似四边形的几何体不一定符合，故A错误；B. 棱台的所有侧面都是梯形，正确；C. 棱台的侧棱长不一定相等，故C错误；
D. 楼台的上下底面一定是相似图形，故D错误.
故选：B.
【例3-2】下列关于棱锥､棱台的说法正确的是（ ）
A．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台
C．棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
【答案】D
【解析】对于A，棱台的各侧棱的延长线交于一点，因此有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，故A错；
对于B，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台，故B错误；
对于C，棱台的侧面展开图不一定是由若干个等腰梯形组成的，故C错误；
对于D，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确.
故选:D.
【例3-3】（多选）下列关于棱台的说法中正确的是（ ）
A．所有的侧棱所在直线交于一点
B．只有两个面互相平行
C．上下两个底面全等
D．所有的侧面不存在两个面互相平行
【答案】ABD
【解析】由棱台的定义可知：棱台所有的侧棱所在直线交于一点，A正确；
棱台只有两个面互相平行，就是上、下底面平行，B正确；
棱台的上下两个底面相似但不全等，故C不正确；
棱台所有的侧面不存在两个面互相平行，D正确．
故选：ABD．
题型四 旋转体
【例4-1】（多选）下列关于圆柱的说法中正确的是（ ）
A．圆柱的所有母线长都相等
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转所形成的几何体是圆柱
【答案】ABD
【解析】对于A，圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，且都相等，所以A正确，
对于B，用平行于圆柱底面的平面截圆柱，由圆柱的性质可知截面是与底面全等的圆面，所以B正确，
对于C，用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是椭圆面或椭圆面的一部分，所以C错误，
对于D，一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转所形成的几何体是圆柱，所以D正确，
故选：ABD
【例4-2】下列结论中正确的是（ ）
A．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆锥
B．以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆台
C．以平行四边形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆柱
D．圆面绕其一条直径所在直线旋转后得到的几何体是一个球
【答案】D
【解析】在选项A中，若绕直角三角形的斜边所在直线旋转一周，
则得到的几何体不是一个圆锥，故选项A错误；
在选项B中，若绕直角梯形的上底所在直线旋转一周，
则得到的几何体不是圆台，故选项B错误；
在选项C中，若平行四边形的一个内角为锐角，
则绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体不是圆柱，故选项C错误；
在选项D中，圆面绕其一条直径所在直线旋转后得到的几何体是一个球，故选项D正确.
题型五 组合体
【例5-1】如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（ ）．
A．一个球体
B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
【答案】B
【解析】中间轴是圆的直径所在直线，且是中间矩形的对称轴，绕它旋转一周，中间矩形形成圆柱，圆形成球，所以几何体是一个球体中间挖去一个圆柱．故选：B．
【例5-2】将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）
A．一个圆台、两个圆锥B．一个圆台、一个圆柱
C．两个圆台、一个圆柱D．一个圆柱、两个圆锥
【答案】D
【解析】设等腰梯形，较长的底边为，则绕着底边旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，轴截面如图，
故选：D
【例5-3】如图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意；B中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意；C中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意；D中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意.故选：D.
8.1 基本立体图形（精讲）
思维导图
典例精讲
考点一 多面体
【例1-1】关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是（ ）
A．棱柱的侧棱长都相等
B．四棱锥有四个顶点
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
【答案】B
【解析】对于A：根据棱柱的定义可以判断棱柱的侧棱长都相等.故A正确；
对于B：根据棱柱的定义可以判断四棱锥有五个顶点．故B错误；
对于C、D：根据棱台的定义可以判断三棱台的上、下底面是相似三角形，正棱台的侧棱长都相等.故C、D正确. 故选：B.
【例1-2】下列说法中正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有一个面是多边形，其余各面都是梯形的几何体叫棱台
D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥
【答案】D
【解析】因为有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，所以A、B错误；而一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，所以棱台各侧棱的延长线交于一点，所以C错误；因为有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，所以D正确.故选：D.
【例1-3】下列说法正确的是______（填序号）.
①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱；
②有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
④用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间那部分的几何体是棱台；
⑤存在一个四棱锥，其四个侧面都是直角三角形.
【答案】⑤
【解析】对于①，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，故①不正确；
对于②，如图1中的几何体，满足有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但其不是棱柱，故②不正确；
对于③，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，故③不正确；
对于④，由棱台的定义，知截面和棱锥的底面平行，故④不正确；
对于⑤，如图2所示，在正方体中，四棱四个侧面均为直角三角形，故⑤正确.
图1 图2 故答案为：⑤．
【一隅三反】
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．底面是正方形的四棱柱是正方体
B．棱锥的高线可能在几何体之外
C．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
【答案】B
【解析】底面是正方形的四棱柱可能是斜棱柱，不一定是正方体，故A错误；
斜棱锥的高线有可能在几何体之外，故B正确；
根据棱柱的定义可得，有两个面互相平行，
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱.而满足选项C条件的几何体可能是组合体.故C错误；
有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故D错误．
故选：B．
2．下列说法正确的有（ ）
①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
A．0个B．1个
C．2个D．3个
【答案】A
【解析】①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．
②如图1，不正确，侧棱延长线可能不交于一点.
③错误．不一定是正三棱锥,如图2所示：
三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD．满足底面BCD为等边三角形．三个侧面ABD，
ABC，ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定等于AD，即三条侧棱不一定全部相等．
④不正确，不存在这样的正六棱锥.极限考虑，如图3的正六边形ABCDEF分割成了6个全等的小正三角形，三角形所有边长相等，从而不存在答案所说的正六棱锥.
故选：A.
3．下列命题：
①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；
②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；
③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，
显然不是棱柱，故①错误；
②如图2，满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；
③如图3，四边形为矩形，
即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误．故选：A
考点二 旋转体
【例2-1】下列说法正确的是（ ）
A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
【答案】C
【解析】以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转一周所得的旋转体是是两个同底圆锥的组合体，A错；
以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，B错；
圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，正确；
平行于圆锥底面平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，如果截面不平行于底面，则截得的不是圆锥和圆台，D错.
故选：C.
【例2-2】给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（ ）
A．①②④B．②③④C．①③⑤D．②④⑤
【答案】D
【解析】由于圆柱母线所在的直线互相平行且与旋转轴平行，而在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，
这两点的连线与旋转轴不一定平行，故①错误，④正确；由圆锥母线的定义知②正确；
在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，
且圆台所有母线的延长线交于一点，故③错误，⑤正确.故选：D.
【一隅三反】
1．下列结论中正确的是（ ）
A．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球
B．直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥
C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
D．用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台
【答案】B
【解析】因为半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故错误；
当以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转时，其余各边旋转形成的面所围成的几何体是圆锥，故正确；
当两个平行截面不平行于上、下两个底面时，两个平行截面间的几何体不是旋转体，故错误；
圆锥的截面不与底面平行时，圆锥底面与截面组成的部分不是圆台，故错误.
故选：B.
2．给出下列命题：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②④
【答案】D
【解析】由圆柱的母线无论旋转到什么位置都与轴平行，故①错误；
圆锥是以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的，
故②正确；
③中连接的线可能存在与轴异面的情况，而圆台的母线与轴共面，故③错误；
④由于圆柱中任意母线均与轴平行，故其中任意两条母线相互平行，故④正确；
综上可知②④正确，①③错误.故选：D.
考点三 组合体
【例3-1】如图所示的组合体，其结构特征是（ ）
A．由两个圆锥组合成的 B．由两个圆柱组合成的
C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
【答案】D
【解析】由图知：该组合体是由一个圆锥和一个圆柱组合成的，故选：D
【例3-2】如图所示的几何体的结构特征是（ ）
A．一个棱柱中截去一个棱柱 B．一个棱柱中截去一个圆柱
C．一个棱柱中截去一个棱锥 D．一个棱柱中截去一个棱台
【答案】C
【解析】图中的几何体为一个棱柱截去一个角，截去的角是一个棱锥.故选C.
【一隅三反】
1．如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是 ( )
A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B．该组合体仍然关于轴l对称
C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D．该组合体中的球和半球只有一个公共点
【答案】A
【解析】将该几何体绕轴l旋转180°后形成一个组合体，该组合体是由圆台、圆柱、圆锥和球，半球
组成的，由此A选项错误故选A
2．如图所示的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是
A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱
【答案】B
【解析】螺栓是圆柱，螺母的横截面是六边形内有一个圆，所以螺母可以看成一个棱柱中挖去一个圆柱.故选B.
3．（多选）下列关于球体的说法正确的是（ ）
A．球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C．一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
D．球的对称轴只有1条
【答案】BC
【解析】空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确；
由球体的定义，知C正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误.故选:BC.
考点四 展开图
【例4】如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后“抗”字一面相对面上的字是（ ）
A．新B．冠C．病D．毒
【答案】C
【解析】将展开图折叠成正方体可得“击”字与“冠”字相对，“抗”字与“病”字相对，“新”字与“毒”字相对，
故选：C.
【一隅三反】
1．如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（ ）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）
【答案】B
【解析】（1）图还原正方体后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；
（2）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；
（3）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；
（4）图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；
综上可得，还原成正方体后，正方体完全一样的是（2）（3）．故选：B．
2．纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，里面朝上展平得到如图所示平面图形，则标“△”的面的方位是（ ）
A．南B．北C．西D．下
【答案】A
【解析】
由题意，正方体的表面展开图，相对面之间一定相隔一个正方形，
再由展开图是里面朝上展平得到的，根据“上北下南，左西右东”，因此标“△”的面的方位是南.故选：A
3．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（ ）
A．者B．事C．竟D．成
【答案】A
【解析】根据正方体的表面展开图，换元成正方体，如图所示：其中“者”在最里面，“有”在最外面．构成对面关系．故选：A．
考点五 最短距离
【例5-1】如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将圆柱侧面展开半周，则展开矩形长为，
，.故选：C.
【例5-2】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，AA1＝2，P、Q分别为棱AA1，C1D1的中点则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意在长方体中，分别为棱，的中点，
若按照如下方式展开，则
若按照如下方式展开，则
若按照如下方式展开，则
所以
故选：C
【例5-3】如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（ ）
A．4B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，
连接与分别交于两点，将三棱锥由展开，则，为虫子爬行从点沿侧面到棱上的点处，再到棱上的点处，然后回到点的最短距离，∵，∴由勾股定理可得，所以虫子爬行的最短距离4，故选：A.
【例5-4】如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，O为底面圆心，OA，OB为底面半径，且∠AOB=M是母线PA的中点，则在此圆锥侧面上，从M到B的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．B．-1C．D．+1
【答案】A
【解析】【如图为圆锥的侧面展开图，,，则，
在中，，则，为M到B的路径中，最短路径的长.故选：A.
【一隅三反】
1．边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（ ）
A．10cmB．5cm
C．5cmD．cm
【答案】D
【解析】圆柱的侧面展开图如图所示，
展开后，∴，即为所求最短距离．故选:D.
2．如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A．cmB．cmC．9cmD．cm
【答案】B
【解析】第一种情况：把所看的前面和上面组成一个平面，如图所示，则这个长方形的长和宽分别为和，
所以所走的路程最短线段为；
第二种情况：把看到的左面与上面组成一个长方形，如图所示，则这个长方形的长和宽分别为和，
所以所走的路程最短线段为；
第三种情况：把看到的前面与右面组成一个长方形，如图所示，则这个长方形的长和宽分别为和，
所以所走的路程最短线段为；
故选：B.
3．在四面体中，，与直线，均垂直，且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点，则其爬过的路程最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，所以平面，所以平面平面，将底面旋转，以为轴，旋转至平面与平面共面，如图，此时的直线距离即为最短距离，设到直线的距离为，则，所以.故选：A
4如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图为半圆锥的侧面展开图，
连接，则的长为蚂蚁爬行的最短路线长，设展开图的扇形的圆心角为，
根据题意得，在中，，所以，
所以扇形弧长为，所以圆锥底面圆的周长为，即，得.故选：A
考点六 截面问题
【例6-1】用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是（ ）
①等边三角形 ②直角梯形 ③菱形 ④五边形
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【解析】如图，用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是等边三角形，菱形，五边形，
故选：C
【例6-2】已知正方体，棱长为2，E为棱的中点，则经过，D，E三点的正方体的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】正方体中，平面，则平面与平面的唯一交线与平行.取中点F，连接、、、，则四边形即为经过，D，E三点的正方体的截面
梯形中，，，
则梯形的高为则梯形的面积为故选：A
【例6-3】如图：正三棱锥中，，侧棱，平行于过点的截面，则平面与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示：沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，
则即为截面周长的最小值，且，
在中，由余弦定理得：，
.故选：B.
【例6-4】底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点平行于底面的平面所截，
设截面圆的半径为，由，可得，可得，
所以截得的截面圆的面积为.故选：A.
【一隅三反】
1．已知过的平面与正方体相交，分别交棱，于，.则下列关于截面的说法中，不正确的是（ ）
A．截面可能是矩形B．截面可能是菱形
C．截面可能是梯形D．截面不可能是正方形
【答案】C
【解析】如下图，当分别与对角顶点重合时，显然是矩形；
如下图，当，为，的中点时，显然是菱形，由正方体的性质及勾股定理易知：不可能为正方形；
根据对称性，其它情况下为平行四边形；综上，C不正确.故选：C.
2．如图，正四棱锥的所有棱长都等于，过不相邻的两条棱作截面，则截面的面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据正棱锥的性质，底面ABCD是正方形，∴AC＝a．在等腰三角形SAC中，SA＝SC＝a，又AC＝a，∴∠ASC＝90°，即S△SAC＝a2.本题选择C选项.
3.已知正方体的棱长为6，E、F分别是、的中点，则平面CEF截正方体所得的截面的周长为______．
【答案】
【解析】延长EF交DA的延长线于N，连接CN交AB于点G，连接FG；延长FE交的延长线于点M，连接CM交点H，连接EH；则正方体被平面CEF截得的截面为CHEFG．
∵E、F分别是、的中点，则易知AN＝，∴AN＝，∴，
∴，，；同理，，，；
∴平面CEF截正方体所得截面的周长为：
EF＋FG＋GC＋CH＋HE＝．
故答案为：.
8.1 基本立体图形（精练）
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．四棱柱是平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的六面体是长方体
D．底面是矩形的四棱柱是长方体
【答案】C
【解析】对于A，当四棱柱的底面是梯形时，则此四棱柱不是平行六面体，所以A错误，
对于B，直平行六面体是平行六面体的侧棱与底面垂直，底面可以是一般的平行四边形，则它不是长方体，所以B错误，
对于C，根据长方体的结构特征可知，六个面都是矩形的六面体是长方体，所以C正确，
对于D，当四棱柱的侧棱与底面不垂直时，则不是长方体，所以D错误，
故选：C
2．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A． 是棱台B． 是圆台
C． 不是棱柱D． 是棱锥
【答案】D
【解析】对A，侧棱延长线不交于一点，不符合棱台的定义，所以A错误；
对B，上下两个面不平行，不符合圆台的定义，所以B错误；
对C，将几何体竖直起来看，符合棱柱的定义，所以C错误；
对D，符合棱锥的定义，正确．故选：D．
3．如图所示的简单组合体的组成是（ ）
A．棱柱、棱台B．棱柱、棱锥
C．棱锥、棱台D．棱柱、棱柱
【答案】B
【解析】由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成.故选：B.
4．（多选）如图，为正方体中所在棱的中点，过两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【答案】BD
【解析】由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，
如图，截面的形状只可能为四边形和六边形.故选：BD
5．下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
（2）由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体
（3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
（4）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
A．3个B．2个C．1个D．0
【答案】C
【解析】（1）如图，侧棱延长线可能不交于一点，故（1）错误
（2）正确，符合多面体的定义
（3）不正确，不存在这样的正六棱锥，正六边形中心与各个顶点连线，构成了6个全等的小正三角，所以正六棱锥棱长不可能与底边相等，故（3）错误.
（4）错误 . 不一定是正三棱锥,如图所示:
三棱锥中有. 满足底面为等边三角形. 三个侧面 ，， 都是等腰三角形，但长度不一定等于，即三条侧棱不一定全部相等．
故选：C
6．一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（ ）
A．前，程B．你，前C．似，棉D．程，锦
【答案】A
【解析】因为“祝”字面和“前”字面中间隔着“你”字面，所以“祝”字面和“前”字面相对，同理“你”字面和“程”字面中间隔着“前”字面，所以“你”字面和“程”字面相对，故选：A.
7.下列说法中错误的是（ ）
A．正棱锥的所有侧棱长相等
B．圆柱的母线垂直于底面
C．直棱柱的侧面都是全等的矩形
D．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形
【答案】C
【解析】对于A,根据正棱锥的定义知,正棱锥的所有侧棱长相等,故A正确；
对于B,根据圆柱是由矩形绕其一边旋转而成的几何体,可知圆柱的母线与底面垂直,故B正确；
对于C,直棱柱的侧面都是矩形,但不一定全等,故C错误；
对于D,圆锥的轴截面是全等的等腰三角形,故D正确.综上可知,错误的为C故选:C
8．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（ ）
A．8B．C．D．
【答案】B
【解析】当圆柱的高为4时，设圆柱的底面半径为，则，则，则圆柱轴截面面积为， 当圆柱的高为2时，设圆柱的底面半径为，则，则，则圆柱轴截面面积为， 综上所述，圆柱的轴截面面积为，故选：B.
9．已知圆柱的高为2，若它的轴截面为正方形，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．2πC．D．8π
【答案】B
【解析】圆柱的高为2，若它的轴截面为正方形，则圆柱的底面半径为1，其体积为2π.故选:B
10．若一个圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】设底面半径为r．因为轴截面是等腰直角三角形，所以圆锥的高也是r．据题意得，解得．故选：C.
11．（多选）如图长方体被一个平面截成两个几何体，其中，则（ ）
A．几何体是一个六面体
B．几何体是一个四棱台
C．几何体是一个四棱柱
D．几何体是一个三棱柱
【答案】ACD
【解析】在长方体中，，，所以，
因为有六个面，所以几何体是一个六面体，故A正确；
因为，所以侧棱的延长线不能交于一点，故不是四棱台，故B错误；
因为几何体的侧棱平行且相等，四边形与四边形是平行且全等的四边形，
所以几何体为四棱柱，同理几何体是一个三棱柱，故C、D正确；
故选：ACD
12．（多选）用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（ ）
A．四棱台B．四棱柱C．三棱柱D．三棱锥
【答案】BCD
【解析】如图三棱柱，连接，则可得平面截三棱柱，得到一个三棱锥，所以D正确，若用一个平行于平面的平面去截三棱柱，如图平面，则得到一个三棱柱和一个四棱柱，所以BC正确，因为四棱台的上下底面要平行，所以要得到四棱台，则截面要与三棱柱的上下底面相交，而四棱台的侧棱延长后交与一点，棱柱的侧棱是相互平行的，所以用一个平面去截一个三棱柱，不可能得到一个四棱台，所以A错误，
故选：BCD
13．（多选）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是
A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．正方体
【答案】ACD
【解析】圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截面都不可能是三角形，三棱锥平行于底面的截面是三角形，
正方体的截面可能是三角形，如图：故选：ACD
14.如图，已知正三棱柱的底面边长为1cm，侧面积为，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为___________cm.
【答案】
【解析】将正三棱柱沿侧棱展开，其侧面展开图如图所示，
依题意，由侧面积为，所以，则，依题意沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线为；故答案为：
15.已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达的最短路线的长为___________.
【答案】10
【解析】将正三棱柱的侧面展开两次，再拼接到一起，其侧面展开图，如图所示的矩形，连接，因为正三棱柱的底面边长为1，高为8，可得矩形的底边长为，高为，
所以.故答案为：.
16.在正三棱锥中，，，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为___________．
【答案】
【解析】将正三棱锥沿棱展开，得到如下图形，由展开图可得，沿爬行时，路程最短；
因为，，所以，因此.
故答案为：.
17．已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为______.
【答案】
【解析】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点间的线段距离最短.
即蚂蚁爬行的最短的路线为，由，，，
，从而最短距离为.
18．在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为
【答案】3
【解析】取的中点F，连接，如下图：
因为E为的中点，所以点E、F关于平面对称，所以，最小值为.
19．如图，某圆柱的高为，底面圆的半径为，则在此圆柱侧面上，从圆柱的左下点A到右上点B的路径中，最短路径的长度为______．
【答案】
【解析】如图，将圆柱侧面展开，，
则在圆柱侧面的展开图上，最短路径的长度为．故答案为：.
20．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m．
【答案】
【解析】如图所示，根据题意可得为边长为的正三角形，所以，
所以圆锥底面周长，根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，可得，
故，则，所以，所以小猫所经过的最短路程是．
故答案为：
1．（多选）长方体的棱长，则从点沿长方体表面到达点的距离可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】则从点沿长方体表面到达有三种展开方式，
若以为轴展开，则，
若以为轴展开，则，
若以为轴展开，则.
故选：ABC.
2．若圆锥的侧面展开图是半径为5，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【解析】设圆锥的底面圆半径为r，则，解得r＝4，设截面与圆锥底面的交线长为a（），由题意，截面是一个等腰三角形，截面三角形的高，所以截面面积
，当且仅当，即时等号成立，
故选：C．
3．已知正三棱柱的所有棱长都是2，点M在棱AC上运动，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图，将三棱柱的上底面ABC沿AC展开至与平面共面，此时．
因为，且，由余弦定理可得，
解得，所以的最小值为．故选：A.
4．在正四棱锥中，，为的中点，为的中点，则从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分以下几种情况讨论：
（1）当点沿着平面、到点，将平面、延展为同一平面，如下图所示：
易知、均为等边三角形，延展后，，，
所以，四边形为菱形，所以，且，
因为、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，此时；
（2）当点沿着平面、到点，将平面、延展至同一平面，如下图所示：
连接，则，且，，，
因为，由余弦定理可得；
（3）当点沿着平面、到点，连接，如下图所示：
则，，，
由余弦定理可得；
（4）当点沿着平面、、到点，将这三个侧面延展为同一平面，如下图所示：
易知、、三点共线，且，，，
由余弦定理可得.
综上所述，从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为.
故选：C.
5．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且．若点、、分别为棱、、上的动点（不包含端点），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】把四棱锥沿展开，得到如图所示图形：
的最小时，点与共线时，所以求的最小值即求的长度，因为，，
所以在中，结合余弦定理得，所以，因为，所以，
在中，,故选：C.
6．如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，将正四棱柱的侧面展开，则的最小值为．
在中，，，则．故选：D
7．已知正三棱锥P-ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P-ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设侧棱长为，则由底面边长为3，高为1，由可求得，
如图，设，则，且，于是，
所以，当且仅当即时取等号
故四边形的面积最大值为，故选：C.
8．在正方体中，，E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【解析】取的中点为M，连接EM，，则，且，则．又正方体中，，所以，，因此，所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，因此该等腰梯形的高为，所以该截面的面积为．故选：D．
9．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：
（1）蚂蚁经过的最短路程；
（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）将长方体与顶点相关的两个面展开，共有三种方式，如图所示：
则的长就为最短路线．
若蚂蚁沿前侧面和上底面爬行，如图1，则经过的最短路程为，
若蚂蚁沿侧面爬行，如图2，则经过的最短路程为，
若蚂蚁沿左侧面和上底面爬行，如图3，则经过的最短路程为，
，∴所以蚂蚁经过的最短路程是；
（2）最长的路线应该是依次经过棱长为的路线，
由，所以最长路程是．