人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.2 立体图形的直观图精品精练

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一．水平放置的平面图形的直观图的画法
（1）画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或），它们确定的平面表示
（2）画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 轴和轴的线段
（3）取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中 长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度
为原来的一半
二.空间几何体直观图的画法
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.
(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，
画底面的直观图.
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.
三．直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
四．直观图与原图面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝eq \f(\r(2),4)S或S＝2eq \r(2)S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
知识简用
题型一 斜二测画法的概念理解
【例1-1】对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述错误的是（ ）
A．三角形的直观图仍然是一个三角形
B．的角的直观图会变为的角
C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
【答案】B
【解析】对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，
因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；
对于B，的角的直观图会变为或的角，故B错误；
对于C，D，由斜二测画法的特点可知，C，D显然正确．
故选：B．
【例1-2】关于斜二测画法画直观图说法不正确的是（ ）
A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同
B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴
C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变
D．斜二测坐标系取的角可能是
【答案】C
【解析】对于A选项，在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同，A选项正确；
对于B、C选项，由平行于轴或轴的线段长度在直观图中仍然保持不变，
平行于轴的线段长度在直观图中是原来的一半，则B选项正确，C选项错误；
对于D选项，在平面直角坐标系中，，
在斜二测画法中，或，D选项正确.故选：C.
题型二 斜二测画法画平面图形
【例2】用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图：
(1)边长为的正三角形；
(2)边长为的正方形；
(3)边长为的正八边形．
【答案】作图见解析
【解析】(1)解：如图①所示，以边所在的直线为轴，以边的高线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
画对应的轴、轴，使，
在轴上截取，在轴上截取，
连接、、，则即为等边的直观图，如图③所示.
(2)解：如图④所示，以、边所在的直线分别为轴、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
画对应的轴、轴，使，
在轴上截取，在轴上截取，
作轴，且，连接，
则平行四边形即为正方形的直观图，如图⑥所示.
(3)解：如图⑦所示，画正八边形，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，
设点、在轴上的射影点分别为、，
画对应的轴、轴，使，
在轴上截取，，，
在轴上截取，作轴且，
作轴，且，作轴，且，
作轴，且，作轴，且，
连接、、、、、、、，
则八边形为正八边形的直观图，如图⑨所示.
题型三 斜二测画法画空间图形
【例3】画出下列图形的直观图：
(1)棱长为4cm的正方体；
(2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥．
【答案】(1)画法见解析，
；
(2)画法见解析，
【解析】(1)如下图所示，按如下步骤完成：
第一步：作水平放置的正方形ABCD的直观图，使得AB=4cm，BC=2cm，且∠DAB=45°，取平行四边形ABCD的中心O，作x轴∥AB，y轴∥BD，
第二步：过点O作∠xOz=90°，过点A、B、C、D分别作等于4cm，顺次连接，
第三步：去掉图中的辅助线，就得到棱长为4的正方体的直观图.
(2)如下图所示，按如下步骤完成：
第一步：作水平放置的圆的直观图，使cm，cm.
第二步：过作轴，使，在上取点，使=4cm，连接，.
第三步：去掉图中的辅助线，就得到所求圆锥的直观图.
题型四 斜二测画法的相关计算
【例4-1】如图所示，在四边形OABC中，OA=2，，BC=3，且，则四边形OABC水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，为的直观图，根据斜二测画法的规则可知，，，平行于轴，∴该图形的面积为．
故选：C.
【例4-2】已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【解析】，所以，还原如图所示：
则，所以平面图形面积．
故选：D．
【例4-3】如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是__________．
【答案】14
【解析】在直观图中，设与交于点，则，，，

在原图形中，，，，所以原图形周长是
故答案为：1.
8.2 立体图形的直观图（精讲）
思维导图
典例精讲
考点一 斜二测画法的概念理解
【例1-1】关于斜二测画法，下列说法错误的是（ ）
A．平行直线的直观图仍然是平行直线
B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线
C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的
D．线段的中点在直观图中仍然是中点
【答案】B
【解析】对于A，平行直线在直观图中长度可能会变化，但平行关系不变，A正确；
对于B，平行于轴和轴的两条直线，在直观图中夹角为，B错误；
对于C，直观图中与两条坐标轴重合的直线，还原后与平面直角坐标系中的轴重合，实际位置互相垂直，C正确；
对于D，线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点，D正确.
故选：B.
【例1-2】如图，已知等腰三角形，则在如图所示的四个图中，可能是的直观图的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】D
【解析】根据坐标轴夹角为或，等腰三角形的直观图如图所示：
只有③④符合故选：D
【一隅三反】
1．（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．相等的线段在直观图中仍然相等
B．平行的线段在直观图中仍然平行
C．一个角的直观图仍是一个角
D．相等的角在直观图中仍然相等
【答案】BC
【解析】由斜二测画法原则：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，
平行于x轴且相等的线段在直观图中仍相等，而不是所有相等线段都能相等，A错误；
平行线段在直观图中仍然平行，B正确；
一个角在直观图中也是一个角的形式出现，C正确；
如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等，D错误.
故选：BC
2．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是______．（填序号）
①原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变；
②原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的；
③画与直角坐标系对应的时，必须是；
④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．
【答案】③
【解析】原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变，故①正确；
原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的，故②正确；
画与直角坐标系对应的坐标系时，也可以是，故③错误；
在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同，故④正确.
故答案为：③.
考点二 斜二测画法画平面图形
【例2-1】如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】A
【解析】先作出一个正三角形，然后以所在直线为轴，以边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
画对应的轴，使夹角为，画直观图时与轴平行的直线的线段长度保持不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，
然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，
故选：A
【例2-2】在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是（ ）
（1）三角形的直观图一定是三角形 （2）正方形的直观图一定是菱形
（3）等腰梯形的直观图可以是平行四边形 （4）菱形的直观图一定是菱形
A．（1）（2）B．（1）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）
【答案】B
【解析】由斜二测画法的规则可知（1）正确，（2）错误；
（3）中的平行性质不变，但梯形两底平行且长度不相等，故在直观图中平行且长度不相等，故可能为平行四边形，（3）错误；
（4）中由平行于轴的长度不变，平行于轴的长度减半，故菱形的直观图为平行四边形，（4）错误；
故选：B.
【一隅三反】
1.斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是（ ）
A．矩形的直观图一定是矩形
B．等腰三角形的直观图一定是等腰三角形
C．平行四边形的直观图一定是平行四边形
D．菱形的直观图一定是菱形
【答案】C
【解析】对A，矩形的直观图可以是平行四边形，故A错误；
对B，等腰三角形的直观图的两腰不相等，不一定为等腰三角形，故B错误；
对C，根据斜二测画法的规则线段的平行性不变，所以平行四边形的直观图一定是平行四边形，故C正确；
对D，菱形的直观图中，一组对边长度可以改变，所以直观图不一定是菱形，故D错误.
故选：C.
2．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定），并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系.
(1)矩形；(2)平行四边形；(3)正三角形；(4)正五边形
【答案】答案见解析
【解析】(1)解：根据斜二测画法的规则，可得：
设，，则，直观图中边边上的高为，
因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.
(2)解：根据斜二测画法的规则，可得：
设，，则，直观图中边边上的高为，
因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.
(3)解：根据斜二测画法的规则，可得：
设，，则，直观图中边边上的高为，
因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.
(4)解：根据斜二测画法的规则，可得：
设，，则，的边边上的高为，
所以，，
同理可得，，，，
设五边形的面积为，直观图五边形的面积为，
则.
考点三 斜二测画法画空间图形
【例3-1】用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图．
【答案】作图见解析
【解析】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形．
①画出水平放置的长、宽分别是8 cm、6 cm的矩形ABCD的直观图．
②作Az垂直于AB，在Az轴上截取．
分别过点B、C、D作，，，且．
③连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示．
【例3-2】画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．
【答案】答案见解析
【解析】（1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O，使得 .
（2）画底面.在x轴上以O为中点截取线段FC，使FC=6cm,在y轴上以O为中点取线段GH,
使 ,分别过点G,H作x轴的平行线，并在平行线上分别以G,H为中点截取AB=3cm,ED=3cm,
连接BC,CD,EF,FA,则六边形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直观图.
（3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使，过A,B,C,D,E,F各点作z轴的平行线，
在这些平行线上分别截取5cm长的线段 .
（4）成图.顺次连接,并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得到所要求作的正六棱柱的直观图

【例3-3】已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
【答案】答案见解析
【解析】（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．
（3）画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．
（4）连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图
如图②）．
【一隅三反】
1．如图，绕BC边所在的直线旋转一周，由此形成的空间图形是由哪些简单的空间图形构成的？画出这个空间图形的直观图.若绕AC边所在的直线旋转一周呢？
【解析】在图(1)中，过A作AO⊥BC于O，如图，
显然，是由公共直角边OA，且另外一条直角边在旋转轴上的两个直角三角形拼接而成，则绕直线BC旋转一周所得几何体，是与绕直线BC旋转一周的两个同底圆锥构成的组合体，
所以这个空间图形是两个同底的圆锥构成的组合体，其直观图如图，
在图(2)中，过B作BO1⊥AC于O1，如图，
显然，是由去掉而成，它们有公共直角边O1B，且另外一条直角边在旋转轴上，
则绕直线AC旋转一周所得几何体，是绕直线AC旋转一周所得圆锥挖去绕直线AC旋转一周所得圆锥构成的几何体，
所以这个空间图形是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥构成，其直观图如图.
2．已知一棱柱的底面是边长为的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.
【答案】见解析
【解析】（1）画轴.画出轴、轴轴，三轴相交于点，使，.
（2）画底面.以点为中点，在轴上画，在轴上画，分别过点，作轴的平行线，过点，作轴的平行线，设它们的交点分别为，，，，则四边形就是该棱柱的底面.
（3）画侧棱.过点，，，分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长的线段，，，，如图①所示.
（4）成图.连接，，，，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图②所示.
3．（2022·全国·高一专题练习）如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图．
【解析】由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示.
考点四 斜二测画法的相关计算
【例4-1】已知正△ABC的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是（ ）
A．a2B．a2C．a2D．a2
【答案】D
【解析】因为正△ABC的边长为a，所以其面积S＝a2，又因为直观图面积S′与原图面积之比为，即＝，所以S′＝×a2＝a2．答案：D
【例4-2】如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是（ ）
A．14B．10C．28D．14
【答案】C
【解析】∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，
∴原图形是一个直角梯形．又A′D′＝4，∴原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，
故其面积为.故选：C
【例4-3】如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图，则在直观图中，梯形的高为___________.
【答案】
【解析】四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，故的高为2，面积，故其直观图的面积，设直观图的高为，则，解得：，即在直观图中，梯形的高为.故答案为：.
【一隅三反】
1．如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由直观图可还原如下图所示，
其中，，，，的周长为.
故选：C.
2．如图，已知通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，则为（ ）
A．面积为的等腰三角形 B．面积为的等腰三角形
C．面积为的直角三角形 D．面积为的直角三角形
【答案】D
【解析】如图因为斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，
故，,
将直观图还原，则,,
故所得三角形为直角三角形，面积为.故选：D.
3．如图所示，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由斜二测画法规则知，正方形的原实际图形是平行四边形，如图，
其中，因此有，所以原图形的周长为（cm）.故选：B
4．用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△，其中，，则△ABC的面积为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【解析】由题设，△和△均为等腰直角三角形，所以，即轴，原直角坐标系中轴，而，则，在△中边上的高等于的长，又，
所以△ABC的面积为.故选：C.
8.2 立体图形的直观图（精练）
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（ ）
A．相等的角在直观图中仍然相等
B．相等的线段在直观图中仍然相等
C．正方形在直观图中仍然是正方形
D．平行的线段在直观图中仍然平行
【答案】D
【解析】选项A：通过举反例，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，A错误.
选项B：由于斜二测画法的法则是平行于x轴的线平行性与长度都不变；平行于y轴的线平行性不变，但长度变为原长度的一半，故B错误.
选项C：正方形的两邻边相等，但在直观图中不相等，C错误.
选项D：由斜二测画法可知，平行的线段在直观图中仍然平行，D正确.
故选：D.
2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是（ ）
A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点
【答案】B
【解析】根据斜二测画法可知：平行不变，即原图中的平行，则直观图也平行，原图的相交，直观图中也相交，但相对应的角度会改变，，所以错误的是B
故选：B．
3．关于用“斜二测画法”所得的直观图，下列说法正确的是（ ）
A．菱形的直观图仍为菱形
B．相等的角，在直观图中仍相等
C．长度相等的线段，在直观图中长度仍相等
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的线段也平行
【答案】D
【解析】由直观图的做法可知：原图形中的平行性质仍然保持，而相等长度和角的大小不一定与原来相等.
选项A：菱形的直观图是平行四边形，错误；
选项B：相等的角在直观图中不一定相等，如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等，错误；
选项C：平行于轴且相等的线段在直观图中仍相等，而不是所有相等线段都能相等，错误；
选项D：平行线段在直观图中仍然平行，正确；
故选：D
4．运用斜二测画法作图时， 下列情况中可能出现的是（ ）
A．z轴方向上的线段的长度在直观图中是原来的一半
B．平行四边形在所在平面内的直观图不是平行四边形
C．以相交于一个顶点的三条棱所在直线为轴作图， 正方体的直观图中所有棱长相等
D．直角三角形的直观图还是直角三角形
【答案】D
【解析】根据斜二测画法可知，与轴平行的线长度不变，故A错误；斜二测画法画平面图形的直观图，原来平行的线依然平行，故平行四边形的直观图依然是平行四边形，故B错误；正方体的直观图中，与、轴平行的线长度不变，与轴平行的线长度变为原来的一半，故C错误；对于D：如图直角三角形，，，
则其直观图如下所示：
则，，又，则，
所以，故D正确；
故选：D
5．如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形B．等腰三角形，但不是直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】C
【解析】将其还原成原图，设，则可得，，从而，所以，即，故是等腰直角三角形.故选：C.
6．已知水平放置的矩形的长为4，宽为，用斜二测画法画出该矩形的直观图，则所画直观图的面积为（ ）
A．32B．C．4D．2
【答案】C
【解析】根据斜二测画法的规则可知，矩形的直观图为平行四边形, 如图，
其中，所以平行四边形的面积.故选：C
7．利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，可能是下面的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正方形的直观图是平行四边形，且邻边长不相等，分别为和，可排除选项ABD，故选：C．
8．在直角坐标系中水平放置的直角梯形如图所示.已知为坐标原点，,,.在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为（ ）
A．8B．10C．D．
【答案】D
【解析】如图，画出直观图，
过点作，垂足为.因为，，所以，，，则，故四边形的周长为，所以D正确.
故选：D.
9．（多选）对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
【答案】ACD
【解析】由直观图的做法可知：原图形中的平行性质仍然保持，而相当长度和角的大小不一定与原来的相等.
对于A：等腰三角形的直观图不再是等腰三角形，故A错误；
对于B：因为正方形的对边平行，所以在直观图中仍然平行，故正方形的直观图为平行四边形成立.故B正确；
对于C：梯形的上下底平行，在直观图中仍然平行；两腰不平行，在直观图中仍然不平行；所以梯形的直观图仍是梯形.故C错误；
对于D: 正三角形的直观图不是等腰三角形.故D错误.
故选：ACD
10．（多选）如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，则关于平面四边形OABC有（ ）
A．图形为矩形B．周长为8C．边OC的长度为2D．面积为
【答案】BD
【解析】把直观图还原为原图形，如图所示，所以原图形为平行四边形，故A错；
根据题意，，，，平面四边形OABC的周长为：，故B正确，C错误；
所以平行四边形的面积，故D正确.
故选：BD.
11．（多选）如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．是钝角三角形
B．的面积是的面积的2倍
C．是等腰直角三角形
D．的周长是
【答案】CD
【解析】根据斜二测画法可知，在原图形中，O为的中点，，因为，所以，则是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示：
所以的周长是，面积是4，故A错误，C，D正确.由斜二测画法可知，的面积是的面积的倍，故B错误.故选：CD.
12．如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为________．
【答案】
【解析】在斜二测直观图中， 由为等腰直角三角形，，可得，．
还原原图形如图：
则，则，
故答案为：.
13．如图，正方形是一水平放置的平面图形ABCD在斜二测画法下的直观图.若，则平面图形ABCD的面积是______.

【答案】
【解析】由斜二测画法的规则知与轴平行或重合的线段与轴平行或重合，其长度不变，所以,
与轴平行或重合的线段与轴平行或重合，其长度变成原来的一半.正方形的对角线在轴上，可求得其长度为，如图所示：平面图中，在轴上，且其长度变为原来的2倍，即.
则平面图形ABCD的面积.
故答案为：
13．如图，某四边形的直观图是上底为1，下底为2，高为的梯形，则原四边形的面积为________．
【答案】6
【解析】过点作的垂线，垂足分别为，因为是梯形，且，,，
所以，因为，所以，
画出原图形如下：
由直观图和原图形知：，原来图形为直角梯形，且，
所以原来图形的面积.
故答案为:6.
14．如图，在斜二测画法下被画成正三角形，请画出的真正图形．
【答案】作图见解析
【解析】如图，即为所求图形．
作图过程：过C作CD⊥AB于D，延长DA到O，使得DO＝DC，连接OC，则∠COD＝45°．过O作Oy⊥OB，并以Oy作为y轴，OB作为x轴，在y轴正半轴取，使得，连接、，则根据斜二测画法的原理可知即为真正的图形．
15．画出如图所示的水平放置的正方形的直观图（画在原图上）．
【答案】直观图见解析
【解析】该正方形直观图如图所示，
16．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．
【答案】答案见解析
【解析】(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(2)所示．
(2)如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D，使得O′D′＝OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC.
(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．
1．一个菱形的边长为，一个内角为，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由条件可知，较长的对角线的长度是，
较短的对角线的长度是，
根据斜二测画法的规则可知，，，菱形直观图的面积
故选：C
2．如图，是用斜二测画法画出的直观图，则的周长为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】作出的直观图如下图所示：
由图可得，，因此，的周长为.故选：C.
3．如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．是钝角三角形B．的面积是的面积的2倍
C．B点的坐标为D．的周长是
【答案】D
【解析】根据题意，将还原成原图，如图，
对于A，中，有，，所以，，故是等腰直角三角形，A错误；
对于B，的面积是，的高为，
所以的面积为，的面积是的倍，B错误；
对于C，因为，B的坐标为，C错误；
对于D，的周长为，D正确
故选：D.
4．如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】过做轴的平行线，交轴与点，作轴，垂足为 ， 如图所示：
则 ， ， 由斜二测画法规则知在原图中对应的点为在轴上，且 ， 此即为的边上的高． 故选：D．
5．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形，已知点是斜边的中点，且，则的边长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由斜二测画法可知该三角形为直角三角形，，根据直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度变为原来的一半，因为，所以，所以，
故选：D
6．已知菱形的边长为，一个内角为，将菱形水平放置，使较短的对角线成纵向，则此菱形的直观图面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解法一、菱形的边长为，一个内角为，画出它的平面直观图，如图四边形所示：
在菱形中，所以， ，在四边形中，，，所以四边形的面积为．
解法二、菱形的边长为，一个内角为，所以对角线，，
菱形的面积为，该菱形的平面直观图面积为
故选：A．
7.已知三角形ABC的斜二侧画法的直观图是边长为2的正三角形如图所示，则C的坐标为__________
【答案】
【解析】在直观图中，在轴上取点，使得轴，如下图：
则，由正弦定理可得，
又，可得，，故将直观图还原为平面图如下图：
在平面直角坐标系中如图所示，连接,,.
故故答案为：.