高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系精品习题

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一．平面
1.平面的概念
几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的.
2.平面的画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.
如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②.
3.平面的表示法
图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
4.平面的几个特点
(1)平面是平的；
(2)平面是没有厚度的；
(3)平面是无限延展而没有边界的
二．点、线、面之间的位置关系
1.直线在平面内的概念
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
2.一些文字语言与符号语言的对应关系
平面的基本性质及作用
1.三个基本事实内容
2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
四．空间两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交.
2.空间两条直线的三种位置关系
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点,平行直线：在同一平面内，没有公共点)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))
五．直线与平面的位置关系
六．平面与平面的位置关系
知识简用
题型一 空间几何三种语言的相互转化
【例1-1】将下列符号语言转化为图形语言：
(1)A∉α， a⊂α.
(2)α∩β＝a， P∉α且P∉β.
(3)aα， a∩α＝A
(4)α∩β＝a， α∩γ＝c， β∩γ＝b， a∩b∩c＝O.
(1)如图(1)所示．
(2)如图(2)所示．
(3)如图(3)所示．
(4)如图(4)所示．
【例1-2】画图表示下列语句（其中P，M表示点l，m表示直线，，表示平面）：
(1)，，；
(2)，，；
(3)；；
(4)，，．
【解析】(1)如图所示，
(2)如图所示，
(3)如图所示，
(4)如图所示，
题型二 点、线共面
【例2-1】如图所示，在正方体中，E，F分别是AB和的中点．求证：E，C，，F四点共面．
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接EF，，．
由E，F分别是AB，的中点，可得．
又，所以，故E，C，，F四点共面．
题型三 点共线
【例3-1】如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．
【解析】证明：若EF，GH交于一点P，则E，F，G，H四点共面，
又因为EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，
所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，由基本事实3可得P∈BD.
【例3-2】已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P，Q，R三点共线．
【答案】见解析
【解析】证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．
法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC⊂面APR.又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.
∴P，Q，R三点共线．
题型四 线共点
【例4】如图，在三棱柱中，，．求证：直线，BP，CQ相交于一点．
【解析】如图，连接PQ．
由，，得，且．
又，∴，且，
∴四边形BCQP为梯形，∴直线BP，CQ相交．设交点为R，则，．
又平面，且平面，
∴平面，且平面，
∴R在平面与平面的交线上，即，
∴直线，BP，CQ相交于一点．
题型五 两条直线的位置关系
【例5-1】如图，在直三棱柱中，棱与直线异面有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【解析】在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线有，共3条.
故选: C.
【例5-2】在长方体中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】取的中点，连接、、、，如下图所示：
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，所以，且，
因为且，且，故四边形为平行四边形，所以，，
所以，异面直线与所成角为或其补角，
由勾股定理可得，，
，，则，
所以，，因为，故.
因此，异面直线与所成角的大小是.
故选：B.
题型六 直线与平面的位置关系
【例6-1】（多选）若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为（ ）
A．平行B．相交C．直线在平面内D．相切
【答案】AC
【解析】如图1所示，与平行，，而直线在平面内，
如图2所示，与平行，，而.
综上：若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为平行或直线在平面内.故选：AC
题型七 平面与平面的位置关系
【例7-1】如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
【答案】C
【解析】如图所示，a⊂α，b⊂β，a∥b.由图形可知，这两个平面可能相交，也可能平行．
【例7-2】若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．
【答案】相交
【解析】∵点A∈α，B∉α，C∉α，∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，∴平面ABC与平面α的位置关系是相交．
【例7-3】如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F分别为B′C′，A′D′的中点，求证：平面ABB′A′与平面CDFE相交．
【解析】证明：在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E为B′C′的中点，所以EC与BB′不平行，则延长CE与BB′必相交于一点H，所以H∈EC，H∈B′B，又BB′⊂平面ABB′A′，CE⊂平面CDFE，所以H∈平面ABB′A′，H∈平面CDFE，故平面ABB′A′与平面CDFE相交.
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系（精讲）
思维导图
典例精讲
考点一 符号语言
【例1】如图所示，用符号语言可表述为（ ）
A．，，
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题可知平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，
所以用符号语言可表示为，，，故选：A.
【一隅三反】
1．下列推理错误的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】由 ，，，根据公理1可得，A对，
由，根据公理1可得，D对，
由，可得或，C错，
由，，，根据公理2可得，B对，
故选：C
2．（多选）已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A：,则点A可能在面α内，也可能不在面α内.故A错误；
对于B：为公理2，可判断面面相交.故B正确；
对于C：为公理1，可判断出线在面内.故C正确；
对于D：说明直线与平面有公共点，又，所以.故D正确.
故选：BCD.
3．（多选）设P表示一个点，表示两条直线，表示两个平面，下列说法不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
【答案】AB
【解析】当时，P∈a，，但α，A错；当a∩β=P时，,B错；
∵，P∈b，∴，∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又，由a与b确定唯一平面，该平面经过直线a与点P，∴该平面与α重合，∴，故C正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故D正确.
故选：AB.
考点二 点线共面
【例1】在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面；

对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得，又，则，故、、、四点共面
对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故、、、四点不共面；
对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故、、、四点不共面．
故选：B
【一隅三反】
1．如图，正方体中，若，，分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则下列判断错误的是（ ）
A．，，，四点共面B．，，，四点共面
C．，，，四点共面D．，，，四点共面
【答案】B
【解析】因为正方体中，，，分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心，所以是的中点，所以在平面上，故A正确；
因为，，在平面上，不在平面上，所以，，，四点不共面，故B错误；
由已知可知，所以，，，四点共面，故C正确；
连接并延长，交于点，则为的中点，连接，则，所以，，，四点共面，故D正确．
故选：B.
2．如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论：
①A、M、O三点共线； ②A、M、O、不共面：
③A、M、C、O共面； ④B、、O、M共面，
其中正确的序号为_________．
【答案】①③
【解析】连接，因为是的中点，所以，
平面与平面有公共点A与，则平面平面，
对于①，平面，则平面，因为平面，则，即A，M，O三点共线，所以①正确，
对于②③，由①知A，M，O三点共线，所以A，M，O，共面，A，M，C，O共面，所以②错误，③正确；
对于④，连接，则都在平面上，若平面，则直线平面，所以平面，显然平面，所以④错误，故答案为：①③
考点三 点共线、线共点
【例3-1】在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证：
(1)点E，F，G，H四点共面；
(2)直线EH，BD，FG相交于一点．
【解析】（1）由题意，作图如下：
空间四边形中，分别是的中点，.
又，，，四点共面.
（2）证明：连接、，因为分别是的中点，所以，
且，又因为，所以，且，
所以，且，故四边形为梯形，且是梯形的两腰，
所以相交于一点.设交点为，因为平面，所以平面，
同理平面，而平面平面，所以，
故点时直线的公共点，即直线相交于一点.
【例3-2】如图，为空间四边形，点，分别是，的中点，点，分别在，上，且，．
(1)求证：，，，四点共面；
(2)求证：，必相交且交点在直线上．
【解析】（1）证明：连接，因为，分别是，的中点，，；
所以，，
所以，所以，，，四点共面．
（2）证明：易知，又，所以，
结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线，不平行．
设它们交点为，平面，同理，所以平面，
又平面平面，因此，即，必相交且交点在直线上．
【一隅三反】
1．如图，在正方体中，对角线与平面交于点，、交于点， 为的中点，为的中点．求证：
(1)三点共线；
(2)、、、四点共面；
(3)、、三线共点．
【解析】（1）∵平面，∴，平面；
又∵平面，∴平面；
∵、交于点M，∴，；
又平面，平面，
∴平面，平面；
又平面，平面；
∴、、三点在平面与平面的交线上，
∴、、三点共线；
（2）连接，∵E为的中点，F为的中点，∴，
又∵，，∴四边形是平行四边形，
∴；∴，∴E、F、C、D1四点共面；
（3）∵平面平面，
设与交于一点P，则：，平面，
∴平面，同理，平面，
∴平面平面，
∴直线、、三线交于一点P，即三线共点.
2．如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．
(1)证明：E，F，D，B四点共面．
(2)证明：BE，DF，三线共点．
【解析】（1）如图， 连接EF，BD，．
∵EF是的中位线，
∴．
∵与平行且相等，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴E，F，D，B四点共面．
（2）∵，且，∴直线BE和DF相交．
延长BE，DF，设它们相交于点P，
∵直线BE，直线平面，∴平面，
∵直线DF，直线平面，∴平面，
∵平面平面，
∴，∴BE，DF，三线共点．
考点四 平面分空间区域
【例4-1】下列命题中正确的是（ ）
A．过三点确定一个圆
B．两个相交平面把空间分成四个区域
C．三条直线两两相交，则确定一个平面
D．四边形一定是平面图形
【答案】B
【解析】A，过不共线三点确定一个圆，错误；B，两个相交平面把空间分成四个区域，正确；
C，三条直线两两相交，若第三条在另两条确定的平面内可以确定一个平面，否则不能确定一个平面，错误；D，四边形可以是平面图形，也可以是空间四边形，错误.
故选：B
【例4-2】空间的4个平面最多能将空间分成（ ）个区域．
A．13B．14C．15D．16
【答案】C
【解析】一个平面把空间分成2部分，两个平面最多把空间分面4部分，3个平面最多把空间分布8个部分，前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，这里平面的每一部分就是第四个平面与前三个平面分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，这样所有空间部分的个数为．
故选：C．
【例4-3】两个平面能把空间分成几个部分（ ）
A．2或3B．3或4C．3D．2或4
【答案】B
【解析】若两个平面平行，此时两个平面把空间分成3个平面，若两个平面相交，此时两个平面把空间分成4个平面，故两个平面能把空间分成3个或4个部分.
故选:B
【一隅三反】
1．空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．1条或3条
【答案】D
【解析】三个平面可能交于同一条直线，也可能有三条不同的交线，如图所示：
故选：D
2．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成
A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分
【答案】C
【解析】可用三线a，b，c表示三个平面，其截面如图，将空间分成7个部分，故选C．
3．三个互不重合的平面把空间分成六部分时，它们的交线有
A．1条B．2条
C．1条或3条D．1条或2条
【答案】D
【解析】①若三个平面两两平行，则把空间分成4部分；
②若三个平面两两相交，且共线，则把空间分成6部分；
③若三个平面两两相交，且有三条交线互相平行，则把空间分成7部分；
④若三个平面两两相交，且有三条交线交于一点，则把空间分成8部分；
⑤若三个平面其中两个平行和第三个相交，则把空间分成6部分；
故三个平面把空间分成6部分时，分两类：
①当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线；
②当三个平面交于一条直线时，有一条交线，
故三个平面把空间分成6部分时，它们的交线有1条或2条．
故选D．
4．已知空间四点中，无三点共线，则经过其中三点的平面有（ ）
A．一个B．四个C．一个或四个D．无法确定平面的个数
【答案】C
【解析】若空间中的四点共面，则经过其中的三点的平面只有一个，
若空间中的四点不共面，设这四点为，由于无三点共线，所以由公理2，可知过三点确定一个平面，过三点确定一个平面，过三点确定一个平面，过三点确定一个平面，所以经过其中三点的平面有4个，综上，空间四点中，无三点共线，则经过其中三点的平面有1个或4个，
故选：C
考点五 空间直线的位置关系
【例5】如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（ ）
直线与直线异面B．直线与直线共面
C．直线与直线异面D．直线与直线共面
【答案】B
【解析】如图，点与点重合，故A错误；∵，且，∴四边形是平行四边形，∴，∴与是共面直线，故B正确；∵，∴与相交，故C错误；∵，不在一个平面内，且与既不平行也不相交，∴，是异面直线，故D错误.故选：B.
【一隅三反】
1．如图，长方体的12条棱中与异面的共有（ ）
A．4条B．5条C．6条D．7条
【答案】C
【解析】由题意，长方体的12条棱中与异面的有共6条
故选：C
2．如图，在三棱柱中，是正三角形，E是的中点，则下列叙述中正确的是（ ）
A．与是异面直线B．与共面
C．与是异面直线D．与所成的角为
【答案】C
【解析】对于A，由于与都在平面内，故与是共面的，故错误
对于B，由于在平面内，而与平面相交于点，点不在上，故与是异面直线，同理，与是异面直线，所以B错误，C正确.
对于D，与所成角就是与所成角，且E是的中点，也为正三角形，所以，即与所成的角为，故错误.
故选: C.
3．如图，在长方体中，则下列结论正确的是（ ）
A．点平面B．直线平面
C．直线与直线是相交直线D．直线与直线是异面直线
【答案】D
【解析】在长方体中，
直线平面，点，且不重合，即点平面，A不正确；
点平面，点平面，即直线平面，B不正确；
直线平面，则与平面无公共点，直线平面，
所以直线与直线没有公共点，C不正确；
直线平面，即直线与平面无公共点，直线平面，
则直线与直线没有公共点，又，直线，即直线与直线不平行，
因此直线与直线是异面直线，D正确.
故选：D
考点六 直线与平面、平面与平面的位置关系
【例6】若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线与平面平行B．直线与平面相交
C．直线上至少有一个点在平面内D．直线上有无数多个点都在平面外
【答案】D
【解析】对于A，若直线与平面相交，此时除交点外，其余点都在平面外，A错误；对于BC，若直线与平面平行，则所有点都在平面外，BC错误；对于D，直线无论与平面相交还是平行，则都有无数个点在平面外，D正确.故选：D.
【一隅三反】
1．如图，在梯形中，是直角梯形所在平面外一点，画出平面和平面的交线，并说明理由．

【解析】很明显，点是平面和平面的一个公共点，即点在交线上，由于，
则分别延长和交于点，如图所示．
因为平面，所以平面．同理，可证平面．
所以点在平面和平面的交线上，连接，直线是平面和平面的交线．
2．如图，在长方体中，P为棱的中点．
(1)画出平面PAC与平面ABCD的交线；
(2)画出平面与平面ABCD的交线．
【解析】（1）平面PAC与平面ABCD的交线为AC，如图(1).
（2）延长交于点E，连接CE，则CE为平面与平面ABCD的交线，如图(2).
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系（精练）
1．点A在直线l上，直线l在平面内，用符号表示，正确的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【解析】点A在直线l上，则，l在平面内，则故选：D
2．若直线和没有公共点，则与的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．异面D．平行或异面
【答案】D
【解析】因为两直线相交只有一个公共点，两直线平行或异面没有公共点，故选：D.
3．下列命题中正确命题的个数是（ ）
①三角形是平面图形； ②四边形是平面图形；
③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【解析】在①中，有不共线的三点确定一个平面，得三角形是一个是平面图形，故①为真命题；
在②③中，若这四条边不在同一平面内，例如空间四边形，则该四边形则不是平面图形，
∴②③为假命题；在④中，圆是平面图形，∴④为真命题；故选：B．
4．下列条件中不能确定一个平面的是（ ）
A．不共线三点B．两条相交直线C．两条平行直线D．四边形
【答案】D
【解析】A、B、C：由共面公理，三个不共线的点可以确定一平面、两条相交直线或平行直线都可以确定一个平面；D：四边形有平面四边形和空间四边形，故不一定能确定一个平面.故选：D
5．已知表示不同的点，表示直线，表示不同的平面，则下列推理中错误的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，与重合
D．，，
【答案】C
【解析】对于A，，，则上所有点均在平面内，即，A正确；
对于B，，，在平面与平面的交线上，即，B正确；
对于C，若三点共线，则由，，可得在平面与平面的交线上，无法得到与重合，C错误；
对于D，，，，且，则与相交，即，D正确.
故选：C.
6．已知四个选项中的图形棱长都相等，且P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在A图中，分别连接，由正方体可得四边形为矩形，则，
因为为中点，故，则，所以四点共面.
在B图中，设为所在棱的中点，分别连接，
由A的讨论可得，故四点共面，同理可得，故，同理可得，
故平面，平面，所以六点共面.
在C图中，由为中点可得，同理，故，所以四点共面.
在D图中，为异面直线，
故选：D.
7．已知平面，直线，则直线a，b的位置关系为（ ）
A．相交B．平行C．异面D．平行或异面
【答案】D
【解析】平面，直线， 如图在正方体中，令平面，平面，当时，显然有，当时，显然有与异面，所以直线a，b的位置关系为平行或异面，故选：D
8．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．A，M，O三点共线B．M，O，A1，A四点共面
C．B，B1，O，M四点共面D．A，O，C，M四点共面
【答案】C
【解析】因为，则，，，四点共面.因为，则平面，又平面，
则点在平面与平面的交线上，同理，、也在平面与平面的交线上，所以、、三点共线，从而，，，四点共面，，，，四点共面.由长方体性质知：，是异面直线，即，，，四点不共面.故选：C.
9．下列命题中
①空间中三个点可以确定一个平面.
②直线和直线外的一点，可以确定一个平面.
③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面.
④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面.
⑤如果两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合.
真命题的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解析】命题①：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误；
命题②：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确；
命题③：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，所以命题③错误；
命题④：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，所以命题④错误；
命题⑤：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，所以命题⑤错误；
故选：A.
10．（多选）有下列命题：
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
其中正确命题是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】BC
【解析】对于①，经过不共线的三点确定一个平面，故①不正确；
对于②，因为梯形的两底边平行，经过两条平行直线确定一个平面，故②正确；
对于③，当三条直线交于不同的三点时，三条直线只确定一个平面；当三条直线交于一点时，三条直线最多确定三个平面，故③正确；
对于④，当两个平面的三个公共点在一条直线上时，这两个平面相交于这条直线，不一定重合，故④不正确.
故选：BC
11．（多选）下列语句不是公理的是（ ）
A．过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面
B．经过一条直线与直线外一点有且只有一个平面
C．经过两条平行线有且只有一个平面
D．经过两条相交直线有且只有一个平面
【答案】BCD
【解析】对于A，过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；是公理三，故正确．
对于B，经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面，是公理三的推论，故错误．
对于C，经过两条平行线有且只有一个平面，是公理三的推论，故错误．
对于D，经过两条相交直线有且只有一个平面，是公理三的推论，故错误．
故选：BCD.
12．（多选）下面四个条件中，能确定一个平面的是（ ）
A．空间中任意三点B．一条直线和一个点
C．两条相交的直线D．两条平行的直线
【答案】CD
【解析】空间中任意三点，当三点共线时，不能确定一个平面，A不正确；
一条直线和一个点，如果点在直线上，不能确定一个平面，B不正确；
由平面的基本性质可知：两条相交的直线，两条平行的直线，都能确定一个平面，C，D正确.
故选：CD
13．如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点．
(1)证明：，，，四点共面．
(2)证明：，，三线共点．
如图，连接，．∵是的中位线，∴．
∵，且，∴四边形是平行四边形，
∴，∴，∴，，，四点共面．
（2）如图，延长，相交于点．
∵，平面，∴平面．
∵，平面，∴平面．
∵平面平面，
∴，∴，，三线共点．
14．用符号语言表示下列语句，并画出图形：
(1)三个平面相交于一点P，且平面与平面相交于，平面与平面相交于，平面与平面相交于；
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.
【解析】（1）符号语言表示：,图形表示：如图
；
（2）符号语言表示：平面平面，平面平面，图形表示：如图
.
15．如图，正四棱柱．
(1)请在正四棱柱中，画出经过、、三点的截面（无需证明）；
(2)若、分别为、中点，证明：、、三线共点．
【解析】(1)如图，作直线分别交的延长线于，连接交于，连接交于，连接，则五边形为经过、、三点的截面
(2)证明：连接，则，∥，
因为、分别为、中点，
所以，∥，所以， ∥，
所以四边形为梯形，所以相交，设交于点，所以，
因为平面，平面，所以点为平面和平面的公共点，
因为平面平面，所以，所以、、交于同一点，
即、、三线共点.
16．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.求证：
(1)E､F､G､H四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上.
【解析】1）∵，∴.
∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴，且∴，
∴E，F，G，H四点共面.
（2）∵G，H不是BC，CD的中点，∴
∴由（1）知，故EFHG为梯形.
∴EG与FH必相交，设交点为M，
∴平面ABC，平面ACD，
∴平面ABC，且平面ACD，
∴，即GE与HF的交点在直线AC上.
17．如图，在四面体ABCD中，E， G分别为BC， AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求证：EF， GH， BD交于一点．
【答案】证明见解析
【解析】证明 连接GE， HF.
因为E， G分别为BC， AB中点， 所以.
因为DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3，所以.
从而GE∥HF且，故G， E， F， H四点共面且四边形为梯形，
因为EF与GH不能平行，设EF∩GH＝O，则O∈平面ABD， O∈平面BCD.
而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF， GH， BD交于一点．
18．已知正方体中，与平面交于点，设与相交于点，求证：直线.
【解析】因为平面,且与平面交于点，
所以点是平面与平面的公共点，
因为平面平面,
所以直线.
19．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线．
【解析】证明：如图，因为C1∈平面A1ACC1，且C1∈平面DBC1
∴C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，又因为M∈AC，所以M∈平面A1ACC1
∵M∈BD，∴M∈平面DBC1，∴M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点
∴C1M是平面A1ACC1与平面DBC1交线
∵O是A1C与平面DBC1的交点，∴O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1
∴O也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点
∴O∈直线C1M，即C1，O，M三点共线．
1．（多选）下列叙述中正确的是（ ）
A．三点能确定一个平面
B．若点且，则
C．若直线，则直线与直线能够确定一个平面
D．若点，且，则
【答案】BCD
【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，不共线的三点确定一个平面，故A错误；
对于B，若点且，则由公理二知，故B正确；
对于C，两条相交直线可以确定一个平面，故C正确；
对于D，若点，且，则由公理一知l⊂α，D正确.
故选：BCD．
2．（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线与直线共面B．直线与直线异面
C．直线与直线共面D．直线与直线异面
【答案】ACD
【解析】如图，点与点重合，则与相交，故A正确；
在正方体中，且，故四边形为平行四边形，，则、共面，故B错误；因为，故、共面，故C正确；由图可知，、不在同一个平面，且、既不平行也不相交，、为异面直线，故D正确.
故选：ACD.
3．（多选）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（ ）
A．直线AM与是相交直线
B．直线BN与是异面直线
C．AM与BN平行
D．直线与BN共面
【答案】BD
【解析】A选项，∵四点不共面，∴根据异面直线的定义可得直线AM与是异面直线，故选项A错误；
B选项，∵四点不共面，∴根据异面直线的定义可得直线BN与是异面直线，故选项B正确；
C选项，取的中点E，连接AE、EN，则有，所以四边形是平行四边形，所以，
∵AM与AE交于点A，∴AM与AE 不平行，则AM与BN不平行，故选项C错误；
D选项，连接，因为，分别为棱，的中点，
所以，由正方体的性质可知：，所以，∴四点共面，
∴直线与BN共面，故选项D正确．
故选：BD．
4．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面B．两个平面可以只有一个公共点
C．三条平行直线一定共面D．三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面
【答案】D
【解析】对于A，因为不共线的三点确定一个平面，故A错误；
对于B，若两个平面有一个公共点，那么就有一条经过该点的公共直线，即交线，该交线上有无数个公共点，故B错误；
对于C，三条平行直线可能共面，也可能有一条在另外两条确定的平面外，故C错误；
对于D，当三条直线两两相交，三个交点不重合时，三条直线共面，
当三条直线两两相交于一个点时，这三条直线可能在同一个平面内，也可能不共面，
此时其中任意两条直线都可确定一个平面，即可确定3个平面，故D正确，
故选：D
5．空间三个平面能把空间分成（ ）
A．4部分或6部分B．7部分或8部分
C．5部分或6部分或7部分D．4部分或6部分或7部分或8部分
【答案】D
【解析】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而进行判断.
若三个平面两两平行，则把空间分成4部分，如图1；
若三个平面两两相交，且只有一条交线，则把空间分成6部分，如图2；
若三个平面两两相交，有三条交线，且三条交线不交于一点，则把空间分成7部分，如图3；
若三个平面两两相交，有三条交线，且三条交线相交于一点，把空间分成8部分，如图4.
故选：D.
6．下列命题中正确的是（ ）
A．过三点确定一个平面B．四边形是平面图形
C．三条直线两两相交则确定一个平面D．两个相交平面把空间分成四个区域
【答案】D
【解析】选项A：过不共线的三点有且只有一个平面，故选项A错误；
选项B：四边形可能是平面图形也可能是空间图形，故选项B错误；
选项C：三条直线两两相交可能确定一个平面也可能确定三个平面，故选项C错误；
选项D：平面是无限延展的，两个相交平面把空间分成四个区域，故选项D正确.
故选：D.
7．（多选）如图，在长方体中，E、F、G、H分别是、、AB、AD的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．点A在平面内B．
C．平面平面D．直线EH与直线FG相交
【答案】AD
【解析】连接、、、，若是的中点，连接、，

由题设，且，则为平行四边形，所以且，
又E是中点，故且，则为平行四边形，所以且，
综上，且，故共面，A正确；
由过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行，且，不可能有，B错误；
由面，面，故面面，又面，而，故平面平面，C错误；
连接，又G、H分别是AB、AD的中点，则且，
E、F分别是、的中点，则且，
所以，即共面，且，故直线EH与直线FG相交，D正确.
故选：AD
8．已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.
【解析】证明：法一：∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P，Q，R三点共线.
法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，
∴P，Q，R三点共线.
9．如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线．
【解析】证明：如图，连接，，则，
因为，，
所以四边形为平行四边形，
又，平面， 则平面，
因为平面平面，
所以．即，，三点共线．
10．空间四边形，，点分别是，的中点，，分别在和上，且满足．
（1）证明：，，，四点共面；
（2）证明：，，三线共点.
【答案】（1）见解析； （2）见解析.
【解析】（1）由题意，分别为的中点，所以，
又由，根据平行线段成比例，可得，
所以，所以四点在同一平面内，即四点共面．
（2）由题意，分别为的中点，所以，且，
假设直线和交于点，即，
因为平面，可得点平面,同理可得平面,
又因为平面平面，即点直线，
所以直线三线共点．
文字语言表达
符号语言表示
文字语言表达
符号语言表示
点A在直线l上
A∈l
点A在直线l外
A∉l
点A在平面α内
A∈α
点A在平面α外
A∉α
直线l在平面α内
l⊂α
直线l在平面α外
l⊄α
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α，β相交于直线l
α∩β＝l
基本事实
内容
图形
符号
作用
事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α
一是确定平面；
二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据
事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的
事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
①判定两平面相交的依据
②判定点在直线上
位置关系
直线a在平面α内
直线a在平面α外
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
有无数个公共点
只有1个公共点
没有公共点
符合表示
a⊂α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
位置关系
两平面平行
两平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示
α∥β
α∩β＝l
图形表示