人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直精品综合训练题

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一．直线与平面垂直
（一）定义
垂线段：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
（二）直线与平面垂直的判定定理
（三）直线与平面垂直的性质定理
二．平面与平面垂直
（一）定义
1.定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)画法：
(3)记作：α⊥β.
（二）判定定理
（三）性质定理
知识简用
题型一 线线垂直
【例1-1】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（ ）
A．2条B．4条
C．6条D．8条
【答案】D
【解析】在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．故选：D.
题型二 线面垂直
【例2-1】如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点． 求证：
(1)平面；
(2)平面．
【解析】（1）连接，
四边形为正方形，为中点，又为中点，，
平面，平面，平面.
（2）平面，平面，；
四边形为正方形，，
又，平面，平面.
【例2-2】如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是的中点.
求证：
(1)平面；
(2).
【解析】（1）∵底面为矩形，∴，
∵底面，底面，∴，
又∵，平面，
∴平面.
（2）∵平面，平面，∴，
∵，是的中点，∴，
又∵，平面，∴平面，
∵平面，∴.
题型三 面面垂直
【例3-1】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面．
【解析】（1）连接交于点，连接，
四边形为正方形，为中点，又为中点，，
平面，平面，平面.
（2）平面，平面，；
四边形为正方形，；
，平面，平面，
平面，平面平面.
【例3-2】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE．
【解析】（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，
∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1
又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，
∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）∵△A1B1C1中，A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，
∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1
又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1
又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD
∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．
题型四 判断与性质定理的辨析
【例4-1】已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】D
【解析】对于A，若，，则或或与相交，故A错误．
对于B，若，，，则或或与相交，故B错误．
对于C，若，，则或与相交，故C错误．
对于D，利用线面垂直，及面面垂直的位置关系，可知D正确．
故选：D
【例4-2】设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】D
【解析】利用正方体确定线面之间的位置关系，如图所示，
对于A选项，设AD为m，BC为n，面为，则满足，，，故A错误；对于B选项，设AD为m，BC为n，AB为l，面为，满足，，，，，故B错误；对于C选项，面为，面为，AD为l,满足，，，故C错误；对于D选项，由面面平行性质定理：两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行，
所以，，，可得.故D正确.
故选：D.
8.6.1 空间直线、平面的垂直（精讲）
思维导图
典例精讲
考点一 线面垂直
【例1-1】如图，正方体，求证：平面．
【解析】证明：∵平面，平面∴
∵四边形是正方形∴
又平面，平面，∴平面．
∵平面∴．
同理可证：．
又平面，平面，，∴平面．
【例1-2】如图，已知四棱柱中，各棱长都为，底面是正方形，顶点在平面上的射影是正方形的中心，求证：平面．
【解析】证明：在正方形中，，则为、的中点，且，
平面，平面，，则，
，，，
在四棱柱中，，，
平面，平面，，
，，、平面，平面，
平面，，
，、平面，因此，平面.
【例1-3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【解析】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
【一隅三反】
1．如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．求证：平面．
【解析】证明：由已知可知，是圆柱的母线，
所以平面，平面，∴．
∵点是上异于、的点，是的直径，所以．
又，平面∴平面．
2．如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面．
【答案】证明见解析.
【解析】∵在中，D是AB的中点，，∴,
∵E是PB的中点，D是AB的中点，∴，∴，
又，，平面，平面，∴平面，
∵平面，∴，
又，，平面，平面，∴平面．
3．如图，四边形是矩形，平面，平面，，．
(1)证明：平面平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)1
【解析】(1)证明：平面，平面，
，
又平面，平面，
平面，
在矩形中，，且平面，平面，
平面，
又，
∴平面平面．
(2)平面，
∴点到平面的距离为，
∵四边形是矩形，，，
，
．
考点二 面面垂直
【例2】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点.求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）如图，取的中点，连接，.
为棱的中点，，且.
又为棱的中点，且底面为正方形，
，且，
，且，
四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
平面.
（2）为棱的中点，，.
底面，平面，，
又，，平面，
平面，
平面，.
，平面，
平面.
平面，平面平面.
【一隅三反】
1．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，点E是PB的中点.求证：
(1)平面PAB；
(2)平面平面PBC.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）∵底面ABCD为矩形，∴.
∵底面ABCD，底面ABCD ∴.
又∵，平面PAB，
∴平面PAB.
（2）∵平面PAB，平面PAB，
∴.
∵，E是PB的中点，∴.
又∵，平面PBC，
∴平面PBC.
又∵平面AEC，
∴平面平面PBC.
2．如图所示，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，分别是的中点.求证：
(1)平面PCE
(2)平面平面
【解析】（1）取的中点，连接，如图所示：
因为分别为的中点，所以，且.
又因为是的中点，所以，.
所以，，即四边形为平行四边形，即.
因为平面，平面，，
所以平面.
（2）因为平面，平面，所以.
因为，，，平面，所以平面.
又因为平面，所以.
因为为中点，，所以.
因为，，，平面，所以平面.
又因为，所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
3．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱上一点，且，为棱的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：由题意，，
，
平面平面，平面，平面平面，
平面，
又平面，
平面平面；
（2）解：设的中点为，连接，
，所以是等腰三角形，
，即是梯形底边上的高，，
由题意知，，所以，
是的中点，到底面的距离为，
四棱锥的体积为；
综上，四棱锥的体积为．
考点三 线线垂直
【例3-1】空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD.
【解析】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GEBD，同理GFAC.
∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．
在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，
∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.
∴AC⊥BD.
【例3-2】已知四棱锥的底面是菱形，平面.
(1)设平面平面，求证：；
(2)求证：.
【解析】（1）平面平面，
平面，
又平面，平面平面，
.
（2）平面平面，
四棱锥的底面是菱形，，
平面，
平面，
又平面.
【一隅三反】
1．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.
【解析】因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①
又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
而AD平面ABC，所以AD⊥BB1.②
BC，BB1为平面BB1C1C内两条相交直线由①②得AD⊥平面BB1C1C.
由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，所以，AD⊥C1E.
2．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．
【解析】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH．因为E是AB的中点，且AD=2，
所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1．
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角．
因为EF=，所以EH2+FH2=EF2，
所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，
所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°，
所以AD⊥BC．
3．如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，点是棱的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）平面，平面，；
四边形为矩形，，又，平面，
平面，又平面，.
（2）平面，平面，，又为中点，
，
由（1）知：平面，.
考点四 判断与性质定理的辨析
【例4-1】若m、n、l表示不同的直线，、表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】B
【解析】在正方体中，记平面为平面，平面为平面
，为，为，为，
对于A选项，，，但和相交，所以A错；
对于C选项，，，但和相交，所以C错；
对于D选项，，，但与相交，所以D错；
对于B选项，由线面垂直的性质可知B对；
故选：B
【例4-2】已知为三个不同的平面，为一条直线，给出下列四个命题
①若，则； ②若，则
③若，； ④若，，则；
其中，是假命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】对于①②③，在正方体中，
平面看成平面，平面看成平面，平面看成平面，所以①不正确；
平面看成平面，平面看成平面，平面看成平面，所以②不正确；
对于③因为，则可能平行，故③不正确；
对于④因为，过任作平面与相交，设，由线面平行的性质定理得
又因为，所以，又因为，所以，故④错误.
综上假命题的有①②③④故选：D
【一隅三反】
1．已知为不同的直线，为不同的平面，以下四个命题
① ②
③ ④
其中正确的序号为（ ）
A．①②B．③④C．②③D．②③④
【答案】C
【解析】①或，故错误；②由线面垂直的性质定理知，正确；
③由线面垂直的性质定理知，正确；④，m，n相交或异面，故错误；
故选：C
2．已知三个互不重合的平面，，，且，，，给出下列命题：
①若，，则；
②若，则；
③若，，则；
④若，则．
其中正确命题个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】对于①，当三条交线交于一点时，若，，则b，c夹角不确定，故①不正确，
对于②，若，则，，即，，所以，所以，故②正确，
对于④，若又，，所以，又，且，所以，故④正确，
对于③，由④可同理得若，则，与矛盾，故不平行，
故，，与相交，则，又，得到，故③正确，
综上可知三个命题正确，
故选：C．
3．（多选）已知不同直线l、m、n与不同平面、，下列推论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则或
【答案】ABD
【解析】对于A，根据直线平行的传递性可知，A正确；
对于B，根据平面与平面垂直的判断定理可知，B正确；
对于C，若，，与也可能相交，故C错误；
对于D，根据平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的概念可知，D正确.
故选：ABD.
8.6.1 空间直线、平面的垂直（精练）
1．如图，已知正方体的棱长为1，与交于点，求证：平面
【解析】因为四边形为正方形，．
在正方体中，易知平面，
又平面，．
又，平面，
平面．
2．如图，在正方体中，，，分别为三条面对角线，为一条体对角线.求证：
(1)；
(2)平面.
【解析】（1）在正方体中，平面，
∵平面，∴，
又四边形为正方形，∴，
又，平面，∴平面，
又平面，∴.
（2）与（1）中证明同理可证，又，平面
∴平面．
3．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，又底面为的中点．
(1)求证：；
(2)设是的中点，求证：平面．
【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析
【解析】（1）因为底面为菱形，，且为的中点，所以．
又，所以．
又底面底面，所以．
因为平面平面，所以平面，
平面，所以．
（2）取的中点，连接，
是中点，，，
，平面，平面，平面，
，平面，平面，平面，
又平面平面，
平面平面，
平面，平面．
4．如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，．
(1)求证：∥平面；
(2)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）连接与，两线交于点，连接．
在中，∵，分别为，的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面．
（2）∵侧棱底面，平面，∴，
又∵为棱的中点，，∴．
∵，，平面，∴平面，
又平面，∴
∵，∴．又∵，
∴在和中，，
∴，
即，∴
∵，，平面，∴平面．
5．如图，已知三棱锥中，，侧棱底面，点在棱和上的射影分别是点、，求证：．
【解析】由题意，平面，平面，故.
又，，平面，则平面
又平面，故，又，，平面，故平面.
又平面，故，又，，平面，故平面.
因为平面，故，即得证.
6．如图，在正方体中，求证：，．
【解析】如图，在正方体中，平面，平面，∴，
又，，平面，∴平面，
∵平面，∴；
同理，平面，平面，∴，
又，，平面，∴平面，
∵平面，∴.
7.如图，已知平面PBC，，M是BC的中点，求证：．
【解析】∵，M是BC的中点，
∴．
又平面PBC，平面PBC，则，
∵，面，
∴面，而面，
∴．
8．在正三棱柱中，如图所示，，G，E，F分别是，AB，BC的中点，求证：直线直线GB．
【解析】证明：连接．在三角形中，G是的中点，所以．
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以⊥，
又因为E，F分别是AB，BC的中点，所以，所以
所以直线直线GB．
9．圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，，，.
(1)证明：面.
(2)求圆柱的体积.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】（1）证明：连接，，，可得平面，
∵平面，∴，
∵，∴四边形为平行四边形，
∴，∴且，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴平面；
（2）解：连接，∵，∴，
∵垂直上底面，∴，
∵，平面，，
∴平面，
又平面，
∴，
∵，∴，
∴为等腰直角三角形，，
∴圆柱的体积为.
10．在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．
【解析】证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD．
又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．
因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．
又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC．
因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以AE⊥平面PCD．
因为l⊥平面PCD，
所以l∥AE．
11．如图，已知正方体A1C．
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．
【解析】（1）如下图，连接A1C1．
因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1．因为四边形A1B1C1D1是正方形，
所以A1C1⊥B1D1．又因为CC1∩A1C1＝C1，
所以B1D1⊥平面A1C1C．又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．
（2）如上图，连接B1A，AD1．因为B1C1= AD，B1C1∥ AD
所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1．
又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1．由（1）知A1C⊥B1D1．
同理可得A1C⊥AB1．又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1．所以A1C∥MN．
故答案为：A1C⊥B1D1；MN∥A1C.
12．如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．
（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；
（2）求证：CE∥平面PAD.
【解析】（1）取BD的中点O，连接CO，PO，
因为CD＝CB，
所以△CBD为等腰三角形，
所以BD⊥CO
因为PB＝PD，
所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO
又PO∩CO＝O，PO，CO⊂平面PCO，
所以BD⊥平面PCO
因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD；
（2）由E为PB的中点，连接EO，则EO∥PD，
又EO⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
所以EO∥平面PAD.
由∠ADB＝90°及BD⊥CO，可得CO∥AD，
又CO⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以CO∥平面PAD.
又CO∩EO＝O，CO，EO⊂平面COE，
所以平面CEO∥平面PAD，
而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面PAD．
13．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点E为PC的中点.
(1)求证：平面BDE；
(2)求证：PC⊥BD.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）证明：连接AC交BD于O点，连接EO，如图所示：
∵底面ABCD是菱形，∴O为AC的中点
∵点E为PC的中点，∴
∵平面BDE，且平面BDE
∴平面BDE
（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD，
∴PA⊥BD
∵，平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，又平面PAC，
∴BD⊥PC.
14.如图所示，和所在平面互相垂直，且，点分别为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：由且，
可得，所以，
又由为的中点，所以，
因为为的中点，同理可得，
又因为且平面，所以平面，
因为分别为的中点，所以，所以平面．
15．如图所示，M是菱形ABCD所在平面外一点，．求证：AC 垂直于平面BDM．
【答案】证明见解析.
【解析】设AC交BD于点O，连接MO,
因为 ABCD 是菱形，所以,
因为，且，
所以，
因为MO、BD 是平面 BDM 上的两条相交直线，
所以 AC 垂直于平面 BDM．
16．如图，是正方形所在平面外一点，，且平面平面，，分别是线段，的中点．
(1)求证：
(2)求证：平面
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）因为正方形，
又平面平面
平面平面，
平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）
取中点，连接，，
在中，因为，分别是，的中点，
所以，
因为是正方形边中点，
所以，
所以，
即四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
故EF平面
17．如图，在三棱柱中，底面是中点，与相交于点.
(1)证明： 平面；
(2)若四边形是正方形，，求证：平面平面.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）易知分别为的中点，
是的中位线， ，
平面平面，
平面；
（2）底面 平面，
又平面，且，
平面，
又 平面，
四边形是正方形，，
平面，
平面，
又平面平面平面.
18．如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形.
(1)证明： 平面；
(2)证明：平面平面．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【解析】（1）因为底面是正方形，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为底面是正方形，所以．
因为 底面，在平面内，所以 ．
又，、在平面内，所以平面．
又因为平面，
所以平面平面．
19．如图所示，在矩形中，，为的中点.将沿折起，使得平面平面.点是线段的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求证：
【解析】（1）证明：在矩形中，，为的中点，∴，是的中点，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
平面，∴平面平面；
（2）证明：在矩形中，，为的中点，∴，则，∴，
由（1）知，平面，∵平面，∴，
∵，平面，平面，∴平面，
又∵平面，∴.
20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面分别为的中点..
(1)求证：直线平面；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）因为为的中点，，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形，
因为，所以平行四边形是矩形，所以，
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为平面，所以平面.
（2）因为，
所以，
由平面为中点，所以点到平面的距离等于，
所以.
1.如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是( )
①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD.
A．①②B．②③
C．①③D．①②③
【答案】D
【解析】∵平面平面BCD，平面平面，，CD平面BCD,
∴平面ABD，又∵CD平面ACD，
∴平面平面ABD，故①正确；
∵平面平面ABD，平面平面，，AB平面ABD，
∴平面ACD，∵AC平面ACD，∴，故②正确；
∵平面ACD，AB平面ABC，∴平面平面ACD，故③正确；
故选：D
2．在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【答案】D
【解析】对于A中，由已知底面，且底面为矩形，
所以，且,平面，
所以平面，又由平面，所以平面平面，所以A正确；
对于B中，由已知底面，且底面为矩形，
所以，且,平面，
所以平面，又由平面，所以平面平面，所以B正确；
对于C中，由已知底面，且底面为矩形，
所以，且,平面，
所以平面，又由平面，所以平面平面，
所以C正确；
对于D中，设为平面与平面的交线，因为，平面，
平面，所以平面，因为为平面与平面的交线，
所以，又，所以，因为平面，平面，
所以，所以，又底面，所以，所以，
所以为平面与平面的二面角，若平面平面，
则，而底面，所以，此时三角形内角和大于，所以平面与平面不垂直，所以D错误.
故选：D.
3．（多选）如图，在三棱锥P-ABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面 B． C．平面 D．平面
【答案】ABC
【解析】平面，平面
，又，平面且平面，故A正确
由平面，平面得
又，是的中点，
又平面，平面，平面，故B,C正确
由平面，平面得
因为与不平行，因此与不垂直，从而不与平面垂直，故D错误
故选：ABC.
4．（多选）设m、n、l表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．，则B．，则
C．，则D．，则
【答案】ACD
【解析】选项A，根据空间中直线平行的传递性，可知A正确；
选项B，若，则m与l可能相交，也可能异面，也可能平行，故B错；
选项C，根据空间中平面平行的传递性，可知C正确；
选项D，两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直，故D正确；
故选：ACD．
5.如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．
(1)求证：直线平面ADF；
(2)求证：直线平面ADF；
(3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)答案见解析
【解析】（1）证明：在直角梯形中，，，将直角梯形绕边旋转至，
所以，又，平面，所以平面；
（2）证明：依题意可得且，所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面；
（3）证明：因为平面平面，，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，
过点作，交于点，
若选①，，，所以，
所以，此时，
所以
如图过点作交的延长线于点，
因为平面，平面，所以，
，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面，显然平面与平面不垂直；
若选②：，则，所以，，
所以，即，
又，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面；
若选③：，又，，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面；
6．在条件①；②；③平面平面中任选一个，补充到下面的问题中，并给出问题解答．
问题：如图，在直三棱柱中，，且________，求证：．
【解析】（情况一）补充条件①．
证明：在直棱柱中，平面，
因为平面，所以．
因为，平面，平面
所以平面．
因为平面，所以，
因为，所以四边形为菱形，所以．
因为，平面，平面
所以平面．
因为平面，所以．
（情况二）补充条件②．
证明：设，连接．
因为，M为的中点，所以．
因为，所以四边形为菱形，所以．
因为平面平面，
所以平面．
因为平面，所以，
（情况三）补充条件③平面平面．
证明：在棱柱中，
因为，所以四边形为菱形，所以．
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面．
因为平面，所以．
7.如图，在中，，，．分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；
(3)当为中点时，的长度最小，最小值为
【解析】（1），平面，平面，平面.
（2），，，，又，，
，，平面，平面.
（3）设，则，
由（2）知：均为直角三角形．
，
即，
当时，取得最小值；
当为中点时，的长度最小，最小值为．
8．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求线段BC的长度．
【答案】(1)到平面的距离为
(2)线段BC的长为2
【解析】（1）解：由直三棱柱的体积为4，可得，
设到平面的距离为，由，
，，解得．即到平面的距离为；
（2）解：连接交于点
由直三棱柱，
故四边形为正方形，，
又平面平面，平面平面，
平面，，
由直三棱柱知平面，
，又，
平面，，
，，又，
解得，
则线段BC的长为2.
9．如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，．点为棱的中点，点为棱上的一点，且，平面平面．
(1)证明：；
(2)证明：平面．
【解析】（1）证明：因为四边形为等腰梯形，则，
因为，则，所以，，故，
，即，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，.
（2）证明：取的中点，连接，取的中点，连接、，
因为，，则，，
因为，且为的中点，所以，且，
因为，为的中点，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
、分别为、的中点，故，
平面，平面，平面.
，、平面，平面平面，
平面，平面.
定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
文字语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
图形语言
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
图形语言
文字语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
符号语言
l⊥α，l⊂β⇒α⊥β
图形语言
文字语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β
图形语言