湖南省邵阳市新邵县2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（解析版）

这是一份湖南省邵阳市新邵县2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题的做题，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，本试卷共22题，满分150分，考试时量120分钟.
2．答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
3．选择题的做题：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效.
4．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区无效.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，则直线AB的倾斜角为（ ）
A. 0°B. 90°C. 180°D. 不存在
【答案】B
【解析】∵直线经过A（0，1），B（0，﹣1）两点，
∴直线AB的斜率不存在，
∴直线AB的倾斜角90°．
故选B．
2. 如图，在四面体OABC中，M在棱OA上，满足，N，P分别是BC，MN的中点，设，，，用，，表示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据空间向量可知
，，
故选：C
3. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A. 1B. 3C. 7D. 9
【答案】B
【解析】由题意，，∴，，
故选：B．
4. 设,记不超过的最大整数为，如，，令，则，，，三个数构成的数列（ ）
A. 是等比数列但不是等差数列
B. 是等差数列但不是等比数列
C. 既是等差数列又是等比数列
D. 既不是等差数列也不是等比数列
【答案】A
【解析】=-1=,=1,故三个数成等比,选A．
5. 双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】抛物线的焦点为，即为双曲线的一个焦点坐标，
所以离心率为，
故选：C．
6. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由等差数列的性质可知，、、、成等差数列，
且该数列的公差为，则，
所以，，
因此，.
故选：D.
7. 已知，，是圆：上的动点，则外接圆的周长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】中点横坐标为，所以外接圆的圆心在上，
设圆心为，则半径为，
圆心距，
圆，
又因为在圆上，所以圆与圆有公共点，
所以，
显然成立，
两边同时平方可得，
，所以，
所以所以
当且仅当解得时取得等号，
所以周长的最小值为，
故选:C.
8. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数：，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.设数列的前项和为，记，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因，
所以①，
②，
由①+②，
得，
又，即，
所以.
故选：C.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 已知a，b，c为非零实数，则下列说法正确的是（ ）
A. 是a，b，c成等差数列的充要条件
B. 是a，b，c成等比数列的充要条件
C. 若a，b，c成等比数列，则，，成等比数列
D. 若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列
【答案】AC
【解析】对于选项A：根据等差中项即可得出是a，b，c成等差数列的充要条件，故A正确；
对于选项B：，即，又a，b，c为非零实数，所以根据等比中项即可证明a，b，c成等比数列，
a，b，c成等比数列，只能证明，即是a，b，c成等比数列的充分不必要条件，故B错误；
对于选项C：若a，b，c成等比数列，则，
则，则，，成等比数列，故C正确；
对于选项D：若a，b，c成等差数列，
则，无法得到，故D错误；
故选：AC.
10. 已知方程，则下列说法中正确的有（ ）
A. 方程可表示圆
B. 当时，方程表示焦点在轴上的椭圆
C. 当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
D. 当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
【答案】BCD
【解析】对于A，当方程可表示圆时，，无解，
故A错误.
对于B，当时，，，
表示焦点在轴上的椭圆，故B正确.
对于C，当时.，，，
表示焦点在轴上的双曲线，故C正确.
对于D，当方程表示双曲线时，
；
当方程表示椭圆时，，所以焦距均为10，故D正确.
故选：BCD
11. 已知直线与椭圆C）交于A，B两点，线段AB的中点为，则C的离心率可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】设，，则，
从而，
故，
由题意可得，
故，
又因为，
则，从而，
因为，所以，
椭圆C的离心率，
所以椭圆离心率范围为，
故与满足要求.故选：BD
12. 如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别是线段，上的动点（不含端点），且.则下列说法正确的是（ ）

A. 平面
B. 该三棱柱的外接球的表面积为
C. 异面直线与所成角的正切值为
D. 二面角的余弦值为
【答案】ABD
【解析】对于A项，因为，所以.
根据直三棱柱的性质可知，，
所以，.
因为平面，平面，
所以，平面.故A项正确；
对于B项，如图，分别取的中点为，连接，
则中点即为三棱柱的外接球的球心.
又根据三棱柱的性质可知，点也是的中点.
由已知可得，，，，
所以，.
所以，，即外接球的直径为，半径为，
表面积为.故B项正确；
对于C项，因为，所以与所成的角即等于异面直线与所成角.
在中，有.故C错误；

对于D项，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，.
设是平面的一个法向量，
则，取，则.
设为平面的一个法向量，
则，取，则.
所以，.
又由图可知，二面角为锐角，
所以，二面角的余弦值为.故D正确.
故选：ABD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 曲线在点处的切线方程为___________．
【答案】
【解析】
所以，
所以，曲线在点处的切线方程为，即．
14. 已知点是圆的动点，直线上存在两点，使得能成立，则线段长度的最小值是_________．
【答案】
【解析】由圆得圆心,半径.
因为直线上存在两点，使得恒成立，
则以为直径的圆包含圆，
当长度最小时，两圆内切，
设中点为，则此时,
所以.
故答案为：
15. 已知数列满足：，，，则______．
【答案】1或8
【解析】①若为偶数，则由可得，
若为偶数，则由可得，
进而或者，均满足要求，
若为奇数，
则由可得，不符合要求，舍去，
②若为奇数，则由可得，不符合要求，舍去，
综上或，
故答案为：1或8
16. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线上上存在一点满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________．
【答案】
【解析】取的中点Q，连接，如图所示，

则，所以，
所以，所以为等腰三角形，
即，且，所以，
又因为点在右准线上，
所以，即，
所以，即，解得或，
又，所以，
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知等比数列的各项均为正数，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求．
解：（1）设等比数列的公比为，
因为，，所以，即，
解得或（舍去），
所以．
（2）因为，
所以．
18. 已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线与圆相交于两点．
（1）求圆的标准方程；
（2）当时，求直线的方程．
解：（1）设圆A的半径为r，由题意知，
圆心到直线l的距离为，即，
所以圆A的方程为；
（2）当直线与x轴垂直时，直线方程为，即，
点A到直线的距离为1，此时，符合题意；
当直线与x轴不垂直时，设，即，
取的中点Q，连接，则，
因为，所以，
又点A到直线的距离为，
所以，解得，所以直线方程为．
综上，直线的方程为或．
19. 如图，四棱锥中，，且，
（1）求证：平面平面；
（2）若是等边三角形，底面是边长为3的正方形，是中点，求直线与平面所成角的正弦值.
解：（1）∵，∴，，又，
∴，∵，面，
∴面，平面ABCD,
平面平面
（2）∵平面平面，交AD于点F，平面，平面平面，∴平面，
以为原点，，的方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
设平面的法向量为，则，求得法向量为，
由，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20. 已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，数列前项的和为，求．
解：（1）由，得，
即， 即，
所以数列为等比数列，首项，公比
（2）由（1）得，
①
②
①-②，得
21. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若，求函数的极值.
解：（1），，，
当时，，所以在区间上单调递增；
当时，取，解得（舍去负值），
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
综上所述：
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，取，解得（舍去负值），
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以有极大值为，无极小值.
22. 在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
解：（1）因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，
则，
可得，，
所以，轨迹的方程为.
（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立
如图所示，设,
设直线的方程为．

联立,
化简得，，
则．
故．
则．
设的方程为，同理．
因为，所以，
化简得，
所以，即．
因为，所以．
[方法二] ：参数方程法
设．设直线的倾斜角为，
则其参数方程为，
联立直线方程与曲线C的方程，
可得，
整理得．
设，
由根与系数的关系得．
设直线的倾斜角为，，
同理可得
由，得．
因为，所以．
由题意分析知．
所以，
故直线的斜率与直线的斜率之和为0．
[方法三]：利用圆幂定理
因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．
设,直线的方程为，
直线的方程为,
则二次曲线．
又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即.