湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了本卷命题范围， 已知空间向量，，若，则， 若数列满足，且，，则， 下列关于函数的判断正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：选择性必修第一册，选择性必修第二册.
一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知直线的倾斜角为，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知直线的倾斜角为，
则直线斜率为，
则.
故选：B.
2. 在等差数列中，，则的值是（ ）
A. 36B. 48C. 72D. 24
【答案】A
【解析】由题设，，则，
所以.
故选：A
3. 方程表示一个圆，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，得，
解得.
故选：B
4. 已知空间向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得因为，
所以，解得，故A正确.
故选：A.
5. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】由题知表示焦点在y轴上的椭圆，
则有：，解得或，故D正确.
故选：D.
6. 若数列满足，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，根据已知可得，
令，则，所以，
所以数列是首项和公比都为的等比数列，
所以是首项为，公比为的等比数列前项之和.
所以.
故选：A
7. 已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于，两点，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】抛物线的方程为，则其焦点，
设直线的方程为，
由，可得：，
，，
根据抛物线定义，，
因为，所以，
所以
即，解得：.
故选：B.
8. 下列关于函数的判断正确的是（ ）
①的解集是；②是极小值，是极大值；
③没有最小值，也没有最大值；④有最大值，没有最小值
A. ①③B. ①②③C. ②④D. ①②④
【答案】D
【解析】对①：∵，若，则，解得，
∴的解集是，①正确；
对②：又∵，
令，则，解得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
则是极小值，是极大值，②正确；
对③④：∵，则，
∴当时，在上单调递减，则，
故无最小值；
又∵，
当时，则；
当时，在上单调递增，在上单调递减，则；
综上所述：对，，
即为的最大值；
故③错误，④正确；
故选：D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小随给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A. 为函数的零点B. 为函数的极小值点
C. 函数在上单调递减D. 是函数的最小值
【答案】BC
【解析】由的图象可知，在和上单调递增，
在和上单调递减，所以为的极小值点，所以B，C均正确；
是的零点，但不一定是的零点，所以A错误；
是函数的极小值，但不一定是最小值，所以D错误.
故选：BC.
10. 已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，则下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】设等差数列的公差为，
由于，，成等比数列，所以，
即，所以，
解得或（舍去），
所以，.
所以，A选项正确；
，，，
由于，所以，B选项正确；
，，所以C选项正确，D选项错误.故选：ABC.
11. 设为双曲线的左、右焦点，过左焦点且斜率为的直线与在第一象限相交于一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线倾斜角的余弦值为
B. 若，则的离心率
C. 若，则离心率
D. 不可能是等边三角形
【答案】AD
【解析】设直线倾斜角为，则，所以.
在第一象限内，若，
则，，
由余弦定理得，
整理得，
解得或（舍）.
若，则，，
由余弦定理得，
整理得，
解得或（舍）.
由，知不可能为等边三角形.
故选:AD.
12. 已知函数，则（ ）
A. 当时，函数存在极值点
B. 若函数在点处的切线方程为直线，则
C. 点是曲线的对称中心
D. 当时，函数有三个零点
【答案】BC
【解析】由，可得，
对A，当时，，在上单调递增，
故函数不存在极值点，故A错误；
对B，由切线方程知，解得，故B正确；
对C，因为，所以函数关于成中心对称，故C正确；
对D，当时，，当或时，，
当时，，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
极大值为，极小值为，
故函数一定不会有3个零点，至多1个零点，故D错误.
故选：BC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13. 曲线在处的切线方程为__________________.
【答案】
【解析】根据题意可得y′＝2xlnx+x﹣，
则当x＝1时，y＝0，y′＝﹣1，
所以曲线在x＝1处的切线方程为y＝﹣（x﹣1），整理得x+y﹣1＝0，
故答案为：x+y﹣1＝0．
故答案为：.
14. 若圆被直线平分，则圆的半径为_____.
【答案】
【解析】若圆被直线平分，则直线过圆心，
圆的圆心为，即，
解得：，
则圆，则圆的半径为.
故答案为：
15. 若过点可以作三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】设切点，
由可得，
切线的斜率为，
所以切线的方程为.
又因为点在切线上，所以，
即有三个不同的实数解，不是方程的解，
所以有三个不同的实数解.
令，，当，时，，单调递增，
当时，，单调递减， ，
所以时，且当趋于0时，趋于正无穷，当趋于正无穷时，趋于正无穷，
且当趋于0时，趋于正无穷，当趋于负无穷时，趋于负无穷.
所以.
故答案为：
16. 已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则_________.
【答案】
【解析】∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，
当时，,解得符合，
∴，，
当时，符合，
∴，，
所以
.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 已知函数的图象过点，且.
（1）求，的值；
（2）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积.
解：（1）由，得，
由题意可得，，解得；
（2）由（1）得，，，
∴，，
∴曲线在点处的切线方程为，即.
取，得，取，得.
∴曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积.
18. 已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.
（1）求圆的方程；
（2）若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.
解：（1）由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为，
它与轴的交点为圆心，又半径，所以圆的方程为；
（2）设，，由，得，
所以，又点在圆上，故，
所以，化简得的轨迹方程为
19. 已知等差数列的首项为1，其前项和为，且是2与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若是数列的前项和，求证：.
解：（1）设等差数列的公差为，由题意，
即，解得，
，
即数列的通项公式为.
（2），
.
20. 已知分别为双曲线和双曲线上不与顶点重合的点，且的中点在双曲线的渐近线上.
（1）设的斜率分别为，求证：为定值；
（2）判断的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.
解：（1）设，则
由的中点在双曲线的渐近线上，则，
即
为定值.
（2）（1）
（2）
联立（1）（2）得：
同理，
设到直线的距离为，
则
由（1）知：
21. 如图,在五棱锥中,平面,､三角形是等腰三角形.
（1）求证：平面平面：
（2）求直线与平面所成角大小；
解：（1）在中由余弦定理得，解得，
所以，即，
又因为，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）因为平面，平面，所以，
由（1）得，所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴,建立如图所示空间直角坐标系，
设,
因为是等腰三角形，所以，，，
过作交于，所以，
因为，所以，
又因为，所以，，
所以，，，
设平面的法向量，
所以，取，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角为.
22. 已知函数
（1）当，求函数的极值;
（2）若，是方程的两个不同实根，证明：.
解：（1）．
即当时，，
由，得，由，得
即在上单调递增，在上单调递减．
∴在处取得极大值，且极大值为，无极小值
（2）∵，是方程的两个不同实根，
∴
∴
即．
设，
则，
∴当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
由题意设，
欲证，只需证，
又在上单调递增，
故只需证．
∵
∴只需证对任意的恒成立即可，
即，
整理得，
即，
设，
则
∵，∴，
∴
∴在上单调递减
则
∴成立．