河南省许昌市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试卷（解析版）

这是一份河南省许昌市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试卷（解析版），共14页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.
写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 经过两点的直线的方向向量，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】由题意与直线的方向向量共线，所以，解得.
故选：C.
2. 若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】D
【解析】若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，
则，解得；
若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，
则，无解.
综上所述，.
故选：D.
3. 直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】设斜率为，圆心到直线的距离为，
当不存在时，直线方程为，此时与圆不相切，故排除，
即直线斜率一定存在，设直线方程为，化简得，
由题意得，可得，
解得或，
即切线方程为或，显然D正确.
故选：D
4. 在棱长为1的正方体中，点B到的距离为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：

由题意，
所以，
在上的投影长度为，
所以点B到的距离为.
故选：C.
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 若直线的倾斜角为，则它的斜率为
B. 直线过定点
C. 圆上有且仅有个点到直线的距离等于
D. 与圆相切，且在轴轴上的截距相等的直线只有一条
【答案】C
【解析】对于A选项，当为直角时，直线的斜率不存在，A错；
对于B选项，对于直线的方程，由可得，
故直线过定点，B错；
对于C选项，设与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为，
则，解得或，
所以，与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为或，
所以，圆上到直线的距离等于的点在直线和上，
圆的圆心为原点，半径为，显然直线过圆心，
圆心到直线的距离为，即直线与圆相切，
所以，圆上有且仅有个点到直线的距离等于，C对；
对于D选项，圆的圆心为，半径为，
当所求直线过原点时，设直线的方程为，可得，则，
此时，所求直线的方程为，
当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为，
则，解得或，
此时，所求直线的方程为或，
综上所述，与圆相切，且在轴轴上的截距相等的直线有三条，D错.
故选：C.
6. 已知数列的前n项和，则的值是（ ）
A. 8094B. 8095C. 8096D. 8097
【答案】A
【解析】易知，，
故，当时符合题意，故成立,
显然.
故选：A
7. 数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点,过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，
则该圆的方程为：，
将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程
，解得，因，所以
故选：A
8 已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，则，
则，
所以，，
所以，，故.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设等差数列的公差为d，前n项和．若，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列是递增数列
B.
C.
D. 中最大的是
【答案】CD
【解析】由题意得，，
化简得，，即，，故，
由得，，
代入得，，
解得，故C正确，
则，故数列是递减数列，故A错误，
而，故B错误，
易知数列前6项为正，从开始，数列所有项为负，
故中最大的值是，故D正确.
故选：CD
10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为，若M，N为C上关于原点对称的两点，则（ ）
A. C的标准方程为
B.
C.
D. 四边形的周长随的变化而变化
【答案】ABC
【解析】由题意得，上顶点为，离心率为，故，，，
故C的标准方程为，显然A正确，
连接，由对称性得，
结合椭圆的定义得，
故
，
当且仅当时取等，故B正确，
设，，
而，故，
故，，
故，故C正确，
易知四边形的周长为，为定值，故D错误.
故选：ABC
11. 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点
B. 有两个零点
C. 直线是的切线
D. 点是的对称中心
【答案】BD
【解析】对于A，令，解得，
当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
所以有两个极值点，故A错误；
对于B，令，得或，
所以有两个零点，故B正确；
对于C，因为，
所以直线不可能是的切线，故C错误；
对于D，因为，
所以点是的对称中心，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知、、，则向量在上的投影向量的模是___________．
【答案】
【解析】由已知可得，，
所以，向量在上的投影向量的模为
.
故答案为：.
13. 已知数列满足，，若为数列前项和，则___________.
【答案】
【解析】因为，
令，则，解得，
且，可得，
当为奇数，则；
当偶数，则；
所以
，
即.
故答案为：.
14. 若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数k的取值范围是___________．
【答案】
【解析】由题意单调递增，且，
所以若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，
则，解得.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 数列为等差数列，为等比数列，公比.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
解：（1）设等差数列得公差为d，联立，即，
解得，或，又，所以，
故，
（2）令，
则，
两边乘以得，，
错位相减整理得，，
所以.
16. 已知圆的方程为．
（1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；
（2）点为圆上任意一点，求的最大值和最小值．
解：（1）圆圆心为坐标原点，半径为，
设圆心到直线的距离为，则.
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
（2）取点，则，
如下图所示，设直线交圆于点、，
由图可知，当点与点重合时，取最小值，
且，
当点与点重合时，取最大值，且.
因此，的最大值为，最小值为.
17. 在棱长为1的正方体中，分别是，的中点.
（1）求证：；
（2）求；
（3）求的长.
解：（1）以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
因为，所以，即.
（2）由（1）得，，
，，
所以.
（3）由（1）知，
故.
18. 已知双曲线的右焦点为，且经过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若以为斜率的直线L与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．
解：（1）因为的右焦点为，且经过点，
所以，解得．
故双曲线C的标准方程为．
（2）设直线l的方程为．
点的坐标满足方程组，
所以得，
整理得．
此方程有两个不等实根，于是，
且．整理得.①
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标
满足．
从而线段MN的垂直平分线方程为．
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为．
由题设可得．
整理得．
将上式代入①式得，
整理得．
解得或．
所以k的取值范围是．
19. 已知函数，（其中为自然对数的底数）、
（1）若函数的图象与轴相切，求的值；
（2）设，、，都有，求实数的取值范围．
解：（1）因为，则，
若，则函数，不合乎题意，所以，，
设切点坐标为，则，解得，
且，整理可得，可得，
解得．
（2）因为，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
因为，则对任意的恒成立，
则函数在上单调递增，
不妨设，由可得，
即．
记，则，
则函数在上为减函数，
在恒成立，则对任意的，则，
令，其中，则，
令，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在区间上为增函数，则，
所以，函数在上为增函数，则，
又因为，则实数的取值范围是.