2021-2022学年浙江省丽水市缙云县四年级（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年浙江省丽水市缙云县四年级（上）期末数学试卷，共44页。试卷主要包含了千克等内容，欢迎下载使用。
A．8800008B．8008800C．8008008D．8000808
2．（2分）2021年12月25日，缙云最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，最高气温和最低气温相差（ ）
A．2℃B．5℃C．7℃D．9℃
3．（2分）在下列算式中，与100÷50的商不相等的是（ ）
A．（100×30）÷（50×30）B．（100÷5）÷（50÷5）
C．（100﹣20）÷（50﹣20）D．（100+100）÷（50+50）
4．（2分）学校准备给24个班布置阅读角，每个班发136本课外书，学校应该准备多少本书？竖式中箭头所指的结果表示（ ）
A．2个班需要多少本书B．4个班需要多少本书
C．20个班需要多少本书D．24个班需要多少本书
5．（2分）1枚1元硬币大约重6克，1000枚1元硬币大约重6千克，1万枚1元硬币大约重（ ）千克。
A．60B．600C．6000D．60000
6．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．0℃表示没有温度。
B．从一点出发可以画无数条射线。
C．算式“8□×230”的积不可能大于20000。
D．把一个钝角分成两个角，这两个角一定是锐角。
7．（2分）用破损的量角器也能测量角的度数，如图，∠1是（ ）
A．35°B．40°C．75°D．105°
二、填空题（每空1分，共24分）
8．（5分）2020年12月17日凌晨，“嫦娥五号”首次月球无人采样顺利回国。地球与月球的近地点距离是363300000米，读作 米，“6”在 位上，表示 米，这个数改写成以“万”作单位是 米，省略“亿”后面的尾数约是 米。
9．（2分）过两点可以画 条直线；过一点只可以画 条直线。
10．（6分）在横线里填上“＞”“＜”或“＝”。
11．（1分）世界上最高的大陆是南极洲，平均高出海平面2194米，记作+2194米；世界上最低的洼地是死海，比海平面低430.5米，记作 米。
12．（1分）在盒子里放入同样大小的8个黄球、6个红球、3个蓝球，任意摸一个球，摸出 的可能性最大。
13．（2分）要使8□6÷85的商是一位数，□里的数最大填 ；如果商是两位数，□里的数最小填 。
14．（2分）当6时整，时针与分针所组成的角是 度，下午9时30分，时针与分针所组成的较小角是 角。
15．（2分）把590颗糖，每70颗装一袋。计算过程如图，可以装 袋，还剩 颗。
16．（1分）已知3×3＝9，33×33＝1089，333×333＝110889，那么3333×3333＝ 。
17．（1分）÷的商是 。
18．（1分）如图，长方形ABCD，如果A点用数对（1，6）表示，C点用数对（7，3）表示，那么长方形的面积是 。
三、计算题（共28分）
19．（8分）直接写出得数。
20．（8分）列竖式计算。
21．（12分）递等式计算，能简便的用简便方法计算。
四、操作题（共8分）
22．（8分）如图：
（1）过点A分别画出线段BC的垂线和平行线。
（2）以B为顶点，以BC为角的一条边，画一个75°的角，并在图中标出度数。
（3）用数对表示点B（ ， ），点C在点B的 方向。
五、解决问题（共26分）
23．（4分）果园里摘苹果，每46个装一箱，736个苹果可以装几箱？
24．（4分）中国空间站在距离地球400千米的高空快速飞行，一天大约可以绕地球16圈，如果运行一年（365天），空间站绕地球行驶多少圈？
25．（4分）合唱队要买35套演出服，上衣每件128元，裤子每条72元，一共要付多少元？
26．（4分）学校四年级的409名同学去参观博物馆，已经去了67人，剩下的每38名学生乘一辆中巴车，需要多少辆中巴车？
27．（4分）一个长方形菜圃的宽是15米，长是宽的3倍。如果每平方米大约种9株菜，那么这个菜圃大约可以种多少株菜？
28．（6分）如图是某乘客从杭州东站到南昌西站的高铁票。
（1）乘客郑浩鑫是 年出生的。
（2）这列火车途中经过金华、龙游、衢州、江山、玉山5个停靠站，杭州东站到南昌西站的单程需要准备多少种不同的车票？
（3）从杭州东到南昌西的铁路线长780千米，列车平均每时行驶260千米。列车中途停靠的时间一共20分钟，本次列车几时到达南昌西站？
2021-2022学年浙江省丽水市缙云县四年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分，共14分）
1．（2分）用三个8、四个0组成的七位数中，所有零都不读的数是（ ）
A．8800008B．8008800C．8008008D．8000808
【考点】亿以内数的读写．
【答案】B
【分析】根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位一个0或连续几个0都只读一个零，即可读出各数；再进行判断，据此解答。
【解答】解：A.8800008读作：八百八十万零八，读一个零；
B.8008800读作：八百万八千八百，一个零也不读；
C.8008008读作：八百万八千零八，读一个零；
D.8000808读作：八百万零八百零八，读两个零。
所以所有零都不读的数是8008800。
故选：B。
【点评】本题主要考查整数的读法，要注意0的读法：每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零。
2．（2分）2021年12月25日，缙云最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，最高气温和最低气温相差（ ）
A．2℃B．5℃C．7℃D．9℃
【考点】正、负数的运算．
【答案】D
【分析】利用最高温度减去最低温度即可。
【解答】解：7℃﹣（﹣2℃）＝9℃，因此最高气温和最低气温相差是9℃。
故选：D。
【点评】本题考查了正负数的运算。
3．（2分）在下列算式中，与100÷50的商不相等的是（ ）
A．（100×30）÷（50×30）B．（100÷5）÷（50÷5）
C．（100﹣20）÷（50﹣20）D．（100+100）÷（50+50）
【考点】商的变化规律．
【答案】C
【分析】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；据此解答。
【解答】解：A.（100×30）÷（50×30）是算式100÷50的被除数和除数同时乘30，商相等；
B.（100÷5）÷（50÷5）是算式100÷50的被除数和除数同时除以5，商相等；
C.（100﹣20）÷（50﹣20）是算式100÷50的被除数减20，除数减20，商不相等；
D.（100+100）÷（50+50）是算式100÷50的被除数加100，除数加50，相当于100÷50被除数和除数同时乘2，商相等；
因此，与100÷50的商不相等的是（100﹣20）÷（50﹣20）。
故选：C。
【点评】此题考查商不变性质的运用：只有被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商才不变。
4．（2分）学校准备给24个班布置阅读角，每个班发136本课外书，学校应该准备多少本书？竖式中箭头所指的结果表示（ ）
A．2个班需要多少本书B．4个班需要多少本书
C．20个班需要多少本书D．24个班需要多少本书
【考点】两位数乘三位数．
【答案】C
【分析】竖式中的272是236×2得到的，2在十位上，表示20，完整的算式为136×20＝2720，根据乘法的意义解答即可。
【解答】解：竖式中箭头所指的结果表示20个班需要多少本书。
故选：C。
【点评】本题考查两位数乘三位数的意义。理解题意，找出数量关系。
5．（2分）1枚1元硬币大约重6克，1000枚1元硬币大约重6千克，1万枚1元硬币大约重（ ）千克。
A．60B．600C．6000D．60000
【考点】简单的归一应用题．
【答案】A
【分析】根据单一量＝总量÷数量，求出单一量，再根据总量＝单一量×数量，即可解答。
【解答】解：1万＝10000
6÷1000＝0.006（千克）
0.006×10000＝60（千克）
答：1万枚1元硬币大约重60千克。
故选：A。
【点评】本题考查的是归一应用题，求出单一量是解答关键。
6．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．0℃表示没有温度。
B．从一点出发可以画无数条射线。
C．算式“8□×230”的积不可能大于20000。
D．把一个钝角分成两个角，这两个角一定是锐角。
【考点】直线、线段和射线的认识；角的分类（锐角直角钝角）；一位数乘三位数．
【答案】B
【分析】0℃表示水开始结冰的温度；从一点出发可以画无数条射线；把8□看作90或80进行计算比较；把一个钝角分成两个角，这两个角可能是两个锐角，也可能是一个直角，一个锐角。
【解答】解：A.0℃表示水开始结冰的温度，不是没有温度，原题说法错误；
B.从一点出发可以画无数条射线，说法正确；
C.80×230＝18400，90×230＝20700，因此算式“8□×230”的积可能大于20000。原题说法错误；
D.把一个钝角分成两个角，这两个角可能是两个锐角，也可能是一个直角，一个锐角。原题说法错误。
故选：B。
【点评】本题考查了角的分类、0℃的意义、整数乘法的估算方法及钝角的特征。
7．（2分）用破损的量角器也能测量角的度数，如图，∠1是（ ）
A．35°B．40°C．75°D．105°
【考点】角的度量．
【答案】A
【分析】根据图示，统一看量角器的外圈度数，用角的一边指向的角度减去另一边指向的角度（大减小）即可求解。
【解答】解：85°﹣50°＝35°
答：用破损的量角器也能测量角的度数，如图，∠1是35°。
故选：A。
【点评】本题考查了用量角器测量角度的方法，结合题意分析解答即可。
二、填空题（每空1分，共24分）
8．（5分）2020年12月17日凌晨，“嫦娥五号”首次月球无人采样顺利回国。地球与月球的近地点距离是363300000米，读作 三亿六千三百三十万 米，“6”在 千万 位上，表示 60000000 米，这个数改写成以“万”作单位是 36330万 米，省略“亿”后面的尾数约是 4亿 米。
【考点】亿以上数的读写．
【答案】三亿六千三百三十万；千万；60000000；36330万；4亿。
【分析】亿以上数的读法：先分级，从高位开始读起。先读亿级，再读万级，最后读个级。亿级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“亿”字。万级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上。每级末尾不管有几个0，都不读。其他数位有一个“0”或连续几个“0”，都只读一个“0”。亿以上数的写法：从最高位写起，先写亿级，再写万级，最后写个级。哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
【解答】解：363300000读作：三亿六千三百三十万；
“6”在千万位上，表示60000000米，这个数改写成以“万”作单位是36330万米，省略“亿”后面的尾数约是4亿米。
故答案为：三亿六千三百三十万；千万；60000000；36330万；4亿。
【点评】本题考查的主要内容是亿以上数的读写问题。
9．（2分）过两点可以画 1 条直线；过一点只可以画 无数 条直线。
【考点】直线、线段和射线的认识．
【答案】1，无数。
【分析】可以自己亲自操作一下得出结论。
【解答】解：如图所示：
过一点只可以画无数条直线，过两点可以画1条直线。
故答案为：1，无数。
【点评】本题考查直线的特征，用画图操作的方法解决本题比较直观易懂。
10．（6分）在横线里填上“＞”“＜”或“＝”。
【考点】亿以内数比较大小；正、负数大小的比较；两位数除两、三位数．
【答案】＞，＞，＝，＜，＜，＞。
【分析】整数比较大小：位数不同时，位数多的数大。位数相同时，从最高位比起，最高位上的数字大的那个数就大；最高位上的数字相同，就比较左起第二位上的数，第二位上的数字大的那个数就大，以此类推；在数轴上，0为原点，大于0为正，向右的数越来越大，小于0为负，向左的数越来越小，据此解答；把算式计算出得数，然后比较即可解答。
【解答】解：
故答案为：＞，＞，＝，＜，＜，＞。
【点评】此题考查了亿以内数比较大小、正负数大小的比较等知识，要求学生掌握。
11．（1分）世界上最高的大陆是南极洲，平均高出海平面2194米，记作+2194米；世界上最低的洼地是死海，比海平面低430.5米，记作 ﹣430.5 米。
【考点】负数的意义及其应用．
【答案】﹣430.5。
【分析】高出海平面记为正，则低于海平面记为负，直接得出结论即可。
【解答】解：世界上最低的洼地是死海，比海平面低430.5米，记作﹣430.5米。
故答案为：﹣430.5。
【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负。
12．（1分）在盒子里放入同样大小的8个黄球、6个红球、3个蓝球，任意摸一个球，摸出 黄球 的可能性最大。
【考点】可能性的大小．
【答案】黄球。
【分析】可能性有大小，相对数量多的可能性大一点，相对数量少的可能性小一点，据此解答。
【解答】解：8＞6＞3，黄球最多，所以任意摸一个球，摸出黄球的可能性最大。
故答案为：黄球。
【点评】本题考查可能性的大小。明确可能性的大小与数量的多少有关是解题的关键。
13．（2分）要使8□6÷85的商是一位数，□里的数最大填 4 ；如果商是两位数，□里的数最小填 5 。
【考点】两位数除两、三位数．
【答案】4；5。
【分析】要使8□6÷85的商是一位数，被除数前两位数小于除数；如果商是两位数，被除数前两位数大于或等于除数，然后再进一步解答。
【解答】解：要使8□6÷85的商是一位数，8□＜85，那么□里面可以填0、1、2、3、4，最大填4；
如果商是两位数，8□≥85，那么□里面可以填5、6、7、8、9，最小填5。
故答案为：4；5。
【点评】三位数除以两位数，被除数前两位数大于或等于除数，所得的商是两位数；否则商是一位数。
14．（2分）当6时整，时针与分针所组成的角是 180 度，下午9时30分，时针与分针所组成的较小角是 钝 角。
【考点】钟面上的角；角的概念和表示．
【答案】180，钝。
【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，钟面上6时整，时针和分针之间相差的3个大格数，用大格数3乘30°即可；9时30分，时针和分针之间相差的3个大格加半格，用大格数3乘30°再加30°÷2即可，根据角的度数判断角的种类，锐角大于0度小于90度，直角等于90度，钝角大于90度小于180度，据此解答。
【解答】解：6×30°＝180°
3×30°+30°÷2
＝90°+15°
＝105°
因此当6时整，时针与分针所组成的角是180度，下午9时30分，时针与分针所组成的较小角是钝角。
故答案为：180，钝。
【点评】本题考查了钟面角的认识，解题的关键是明白两个大格之间的夹角是30度。
15．（2分）把590颗糖，每70颗装一袋。计算过程如图，可以装 8 袋，还剩 30 颗。
【考点】有余数的除法．
【答案】8；30。
【分析】把590颗糖，每70颗装一袋，求可以装几袋，还剩多少颗，用除法列式，求出的商，即是装的袋数，余数是剩下的颗数。
【解答】解：590÷70＝8（袋）……30（颗）
答：可以装8袋，还剩30颗。
故答案为：8；30。
【点评】此题考查有余数除法的应用。
16．（1分）已知3×3＝9，33×33＝1089，333×333＝110889，那么3333×3333＝ 11108889 。
【考点】“式”的规律．
【答案】见试题解答内容
【分析】观察已知算式，每个算式两个因数相同，每个数位上都是3，积的位数是两个因数位数的和，前n位由（n﹣1）个1和1个0组成，0在1后面，后n位由（n﹣1）个8和1个9组成，9在最后一位，据此求解即可。
【解答】解：根据规律可得：
3333×3333＝11108889
故答案为：11108889。
【点评】本题考查式的规律，找出算式中隐含的规律是解题的关键。
17．（1分）÷的商是 5 。
【考点】商的变化规律．
【答案】5。
【分析】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；据此解答。
【解答】解：÷＝35÷7＝5
故答案为：5。
【点评】此题考查商不变性质的运用：只有被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商才不变。
18．（1分）如图，长方形ABCD，如果A点用数对（1，6）表示，C点用数对（7，3）表示，那么长方形的面积是 18 。
【考点】数对与位置．
【答案】18。
【分析】用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，A点用数对（1，6）表示，即A点位置在第1列，第6行；C点用数对（7，3）表示，即C点位置在第7列，第3行；用C点的列数减去A点的列数即是长方形的长，用A点的行数减去C点的行数即是长方形的宽，然后根据“长方形面积＝长×宽”即可解答。
【解答】解：（7﹣1）×（6﹣3）
＝6×3
＝18
答：长方形的面积是18。
【点评】本题考查了用数对表示位置的应用以及长方形面积计算的应用。
三、计算题（共28分）
19．（8分）直接写出得数。
【考点】表外乘除混合；千以内加减法；一位数乘三位数；两位数乘两位数；两位数除两、三位数；表内乘除混合．
【答案】816；19；511；21；640；550；10；8。
【分析】根据整数加减乘除法的计算方法以及整数除法的估算方法进行计算。
【解答】解：
【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算。
20．（8分）列竖式计算。
【考点】两位数除两、三位数；列竖式计算除法；两位数乘三位数；列竖式计算乘法．
【答案】5040；41；6688；25……10。
【分析】根据整数乘除法的计算方法进行计算即可。
【解答】解：120×42＝5040
943÷23＝41
32×209＝6688
760÷30＝25……10
【点评】本题主要考查了整数乘除法的竖式计算方法，按照正确的计算方法进行计算即可。
21．（12分）递等式计算，能简便的用简便方法计算。
【考点】带括号的表外乘加、乘减；带嵌套括号的混合运算；运算定律与简便运算．
【答案】1600；259；1400；23；1800；24。
【分析】第一题用乘法交换律把算式变形为25×4×16计算；
第二题运用加法结合律变形为159+（68+32）计算；
第二题运用乘法分配律计算；
第四题先算减法，再算除法；
第五题运用乘法分配律计算；
第六题先算减法，再算乘法，最后算除法。
【解答】解：25×16×4
＝25×4×16
＝100×16
＝1600
159+68+32
＝159+（68+32）
＝159+100
＝259
8×（125+50）
＝8×125+50×8
＝1000+400
＝1400
（800﹣547）÷11
＝253÷11
＝23
18×66+34×18
＝18×（66+34）
＝18×100
＝1800
864÷[（28﹣25）×12]
＝864÷（3×12）
＝864÷36
＝24
【点评】本题考查的是四则混合运算的运用。
四、操作题（共8分）
22．（8分）如图：
（1）过点A分别画出线段BC的垂线和平行线。
（2）以B为顶点，以BC为角的一条边，画一个75°的角，并在图中标出度数。
（3）用数对表示点B（ 4 ， 1 ），点C在点B的 东北 方向。
【考点】画指定度数的角；数对与位置；过直线外一点作已知直线的平行线；过直线上或直线外一点作直线的垂线．
【答案】，4，1，东北。
【分析】（1）用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺靠紧和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线即可；用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可；
（2）使量角器的中心和射线的端点B重合，零刻度线和射线重合；在量角器75°角刻度线的地方点一个点；以线段BC的端点B为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个75°的角；
（3）用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，点C在点B的东北方向。
【解答】解：（1）、（2）如图：
（3）用数对表示点B（ 4，1），点C在点B的东北方向。
故答案为：4，1，东北。
【点评】本题考查了平行线和垂线的画法、角的画法及描述图形的位置关系。
五、解决问题（共26分）
23．（4分）果园里摘苹果，每46个装一箱，736个苹果可以装几箱？
【考点】两位数除两、三位数．
【答案】16箱。
【分析】每46个装一箱，要求736个苹果可以装几箱，也就是求736里面有几个46，即736÷46。
【解答】解：736÷46＝16（箱）
答：736个苹果可以装16箱。
【点评】考查了运用整数除法的意义解决实际问题的能力。
24．（4分）中国空间站在距离地球400千米的高空快速飞行，一天大约可以绕地球16圈，如果运行一年（365天），空间站绕地球行驶多少圈？
【考点】两位数乘三位数．
【答案】5840圈。
【分析】用一天大约可以绕地球的圈数乘一年的天数，即可求出空间站绕地球行驶多少圈。
【解答】解：16×365＝5840（圈）
答：空间站绕地球行驶5840圈。
【点评】本题考查两位数乘三位数的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
25．（4分）合唱队要买35套演出服，上衣每件128元，裤子每条72元，一共要付多少元？
【考点】带括号的表外乘加、乘减．
【答案】7000元。
【分析】上衣每件128元，裤子每条72元，把它们相加求出一套衣服多少钱，再乘上35套即可求出一共需要多少元。
【解答】解：（128+72）×35
＝200×35
＝7000（元）
答：一共要付7000元。
【点评】本题考查了基本的数量关系：总价＝单价×数量进行求解。
26．（4分）学校四年级的409名同学去参观博物馆，已经去了67人，剩下的每38名学生乘一辆中巴车，需要多少辆中巴车？
【考点】带括号的表外除加、除减．
【答案】9辆。
【分析】根据题意，先用409减67求出乘车的人数，再除以每辆中巴车乘坐的人数即可。
【解答】解：（409﹣67）÷38
＝342÷38
＝9（辆）
答：需要9辆中巴车。
【点评】先求出剩下的人数，再根据除法的包含意义求解。
27．（4分）一个长方形菜圃的宽是15米，长是宽的3倍。如果每平方米大约种9株菜，那么这个菜圃大约可以种多少株菜？
【考点】长方形、正方形的面积．
【答案】6075株。
【分析】已知长方形菜圃的宽是15米，长是宽的3倍，首先求出长，再根据长方形的面积＝长×宽，把数据代入公式求出这个菜圃的面积，然后再乘每平方米种菜的株数即可。
【解答】解：15×3×15×9
＝45×15×9
＝675×9
＝6075（株）
答：这个菜圃大约可以种6075株菜。
【点评】此题主要考查长方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
28．（6分）如图是某乘客从杭州东站到南昌西站的高铁票。
（1）乘客郑浩鑫是 1997 年出生的。
（2）这列火车途中经过金华、龙游、衢州、江山、玉山5个停靠站，杭州东站到南昌西站的单程需要准备多少种不同的车票？
（3）从杭州东到南昌西的铁路线长780千米，列车平均每时行驶260千米。列车中途停靠的时间一共20分钟，本次列车几时到达南昌西站？
【考点】日期和时间的推算；简单的行程问题；握手问题．
【答案】（1）1997；（2）21种；（3）10时20分钟。
【分析】（1）乘客郑浩鑫是1997年出生的；
（2）用5加上2，求出一共多少站，再用（6+5+4+3+2+1），即可解答；
（3）根据时间＝路程÷速度，求出时间，再加上20分钟，求出经过时间，再根据到达时间＝出发时间+经过时间，即可解答。
【解答】解：（1）乘客郑浩鑫是1997年出生的；
（2）5+2＝7（个）
6+5+4+3+2+1＝21（种）
答：杭州东站到南昌西站的单程需要准备21种不同的车票。
（3）780÷260＝3（时）
3时+20分钟＝3时20分钟
7时+3时20分钟＝10时20分钟
答：本次列车10时20分钟到达南昌西站。
故答案为：1997。
【点评】本题考查的是时间的推算，掌握到达时间＝出发时间+经过时间是解答关键。
考点卡片
1．亿以内数比较大小
【知识点归纳】
亿以内数的大小比较的方法：
1、比较两个数的大小，先看两个数各是几位数。
2、位数不同时，位数多的数就大。
3、位数相同时，从最高位开始比起，最高位上的数大的那个数就大；如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。
【方法总结】
位数相同的两个数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。
【常考题型】
比较下面每组中两个数的大小。
92504〇103600 50140〇63140 28906〇28890
答案：＜；＜；＞
按照从小到大的顺序排列下面各数。
50500 500500 55000 40005
答案：40005＜50500＜55000＜500500
2．亿以内数的读写
【知识点归纳】
一、亿以内数的读法（含有两级的数的读法）
（1）读数之前，先分级。从个位起，每四个数位是一级。例如：（2496¦0000）
（2）先读万级，再读个级。
（3）万级的数，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字。
（4）每级末尾不管有几个0，都不读；其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0。
二、亿以内数的写法（注意：一定要保证个级是四位数。）
（1）写数之前，先分级；
（2）先写万级，再写个级；
（3）哪个数位上一个计数单位也没有，就在那个数位上写0占位。
【常考题型】
1、一个数是由4个千万，3个十万，6个百和5个一组成的，这个数写作（ ），读作（ ）。
答案：40300605；四千零三十万零六百零五
2、2023年我国有12910000考生报名参加高考，比去年增加980000人，再创历史新高。横线上的两个数分别读作（ ）和（ ）。
答案：一千两百九十一万；九十八万
有一个七位数，它的最高位上的数字是6，万位上的数字是9，十位上的数字是2，其余个位上的数字都是0，这个数写作（ ），它是由6个（ ）、9个（ ）和2个（ ）组成的。
答案：6090020；百万；万；十
3．亿以上数的读写
【知识点归纳】
1、亿以上数的读法：
①先分级，从高位开始读起。先读亿级，再读万级，最后读个级。
②亿级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“亿”字。万级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字。
③每级末尾不管有几个0，都不读。其他数位有一个“0”或连续几个“0”，都只读一个“0”。
2、亿以上数的写法：
①从最高位写起，先写亿级，再写万级，最后写个级。
②哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
【常考题型】
1、填空题。
亿以上数的读法，先从（ ）级读起，再读（ ）级，最后读（ ）级上的数。每级末尾的0都（ ），其它数位有一个或连续几个0都只读（ ）个0。
答案：亿 万 个 不读 一
2、读出下列各数。
2375550000000 12005000050
50600000000 3020056000
答案：二万三千七百五十五亿五千万；一百二十亿零五百万零五十；五百零六亿；三十亿二千零五万六千
3、从个位起，第八位是什么位？第几位是亿位？
答案：千万；九
4．负数的意义及其应用
【知识点归纳】
（1）任何正数前加上负号都等于负数．负数比零小，用负号（即相当于减号）“﹣”标记．
（2）在数轴线上，负数都在0的左侧，没有最大与最小的数，所有的负数都比自然数小．
【命题方向】
常考题型：
例1：在8.2、﹣4、0、6、﹣27中，负数有3个． × ．（判断对错）
分析：根据正、负数的意义，数的前面加有“+”号的数，就是正数；数的前面加有“﹣”号的数，就是负数，0既不是正数也不是负数，据此判断即可．
解：负数有：﹣4，﹣27，共有2个．
故答案为：×．
点评：此题考查正、负数的意义和分类．
例2：小华从0点向东行5m，记作+5m，那么从0点向西行3m，应该记作 ﹣3 m．
分析：此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向从0点向东记为正，则从0点向西就记为负，直接得出结论即可．
解：小华从0点向东行5m，记作+5m，那么从0点向西行3m，应该记作﹣3m．
故答案为：﹣3．
点评：此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
5．正、负数大小的比较
【知识点归纳】
（1）正数＞0＞负数
（2）负数大小比较就是看负号后面的数字，数字越大的反而越小，跟正数恰好相反
（3）结合数轴比较大小
【命题方向】
常考题型：
例：在﹣、﹣3、1.5、﹣1中，最大的数是 1.5 ，最小的数是 ﹣3 ．
分析：几个正、负数比较大小，可以借助数轴比较它们的大小，在数轴上，从左到右的顺序就是数从小到大的顺序；也可不借助数轴比较，正数的大小比较简单，负数可先别看负号，看负号后面的数，大的填上负号反而小，小的填上负号反而大．
解：在﹣、﹣3、1.5、﹣1中，最大的数是正数1.5；最小的数是﹣3．
故答案为：1.5，﹣3．
点评：此题考查正负数的大小比较．
6．正、负数的运算
【知识点归纳】
（1）加法法则：两数相加，同号（即都为正数或都为负数）相加取那个符号，把绝对值相加．如：﹣2+（﹣5）＝﹣（2+5）＝﹣7；异号相加（即一个正一个负），取绝对值大的那个数的符号，并把绝对值相减．如：2+（﹣7）＝﹣（7﹣2）＝﹣5 任何数加上0仍等于那个数．如：﹣4+0＝﹣4；
减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．如：4﹣（﹣2）＝4+2＝6．
【命题方向】
常考题型：
例：一天中午12时的气温是7℃，傍晚5时的气温比中午12时下降了4℃，凌晨4时的气温比中午12时低8℃，傍晚5时的气温是 3℃ ，凌晨4时的气温是 ﹣1℃ ．
分析：根据“傍晚5时的气温比中午12时下降了4℃”，求傍晚5时的气温，也就是求比7℃少4℃是多少；再根据“凌晨4时的气温比中午12时低8℃”，求凌晨4时的气温，也就是求比7℃少8℃是多少．由此列式解答．
解：傍晚5时的气温：7﹣4＝3（℃），
凌晨4时的气温：7﹣8＝﹣1（℃）．
答：傍晚5时的气温是3℃，凌晨4时的气温是﹣1℃．
故答案为：3℃，﹣1℃．
点评：此题考查正、负数的简单运算．
7．千以内加减法
【知识点归纳】
1、（1）计算时先把相同数位对齐，从个位加起，哪一位上的数相加满十，要向前一位进一。
（2）加法验算方法：把两个加数的位置调换后再加一遍，两次得到的结果相等就说明计算结果正确，不相等，则说明计算结果不正确，需要重新计算。
2、千以内减法笔算方法：
（1）先把相同数位对齐，从个位减起，哪一位上的数不够减，要从前一位退1，在本位上加10再减；
（2）当个位不够减需要退位时，如果十位上是0，无1可退，就要从百位上退1当成10个十先传递到十位，再从十位退1到个位，当成10个一再计算。
【方法总结】
1、相同数位要对齐，从个位加起，如果有进位，不要忘记加进位数。
2、在计算加减混合运算时，遇到能简便计算的，可以简便计算。
【常考题型】
口算题。

答案：437；202；650
2、书城进货了928本图书，第一周卖出去了123本，第二周进货了181本，现在书城有多少本图书？
答案：928﹣123+181＝986（本）
8．一位数乘三位数
【知识点归纳】
1、三位数（中间有0）乘一位数的笔算：
从个位乘起，用一位数依次去乘三位数中每一位上的数（包括0），当个位乘的的积向十位进位时，将进上来的数写在十位上，如果个位上没有进位，那么十位上就用0占位。
2、三位数（末尾有0）乘一位数的笔算：
乘数末尾有0的，一位数要与它的末尾0前面的数对齐，先乘0前面的数，再看乘数末尾有几个0，就在积的末尾添上几个0。
【方法总结】
一位数与三位数相乘也分了两个层次：
（1）横式计算。通过横式计算说明一位数与三位数相乘的基本算法：可以把三位数因数分拆成几百、几十、和几，分别与另一个因数相乘，再将几个部分积相加。
（2）竖式计算。通过让学生运用已学的知识，将使用竖式计算一位数与两位数相乘问题的方法迁移到计算一位数与三位数相乘，培养学生的迁移能力和探究能力。
【常考题型】
一个微波炉758元，要买3个，总共要花多少钱？
答案：758×3＝2274（元）
一个电饭煲268元，要买2个，总共要花多少钱？
答案：268×2＝536（元）
9．两位数乘两位数
【知识点归纳】
1、两位数乘两位数的笔算方法：
（1）先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和乘数个位对齐；
（2）再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和乘数的十位对齐；
（3）然后把两次乘得的积加起来。
【方法总结】
两位数乘两位数在笔算：
1、首先要相同数位对齐，
2、用下面因数的个位数和十位数依次去乘上面因数的个位数和十位数，将所得的积相加。
注意：
验算：交换两个因数的位置。
【常考题型】
1、笔算题。
32×13 27×56 43×58
答案：416；1512；2494
2、84×23的积是（ ）位数，最高位是（ ）位。
答案：四；千
3、32×30的积是32×（ ）的积的10倍。
答案：3
4、两位数乘两位数，积可能是（ ）位数，也可能是（ ）位数。
答案：三；四
10．两位数乘三位数
【知识点归纳】
1、三位数乘两位数的方法：先用一个因数的个位与另一个因数的每一位依次相乘，再用这个因数的十位与另一个因数的每一位依次相乘，乘到哪一位，积的个位就与哪一位对齐，哪一位满十就向前一位进“1”，再把两次相乘的积加起来。末尾有0时，把两个因数0前面的数对齐，并将它们相乘，再在积的后面添上没有参加运算的几个0。中间有0时，这个0要参加运算。
【方法总结】
因数是两、三位数的乘法的估算方法：先把两个因数的最高位后面的尾数省略，求出近似数，再把这两个近似数相乘。
2、三位数乘两位数的笔算
①先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的个位对齐，再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的十位对齐，最后把两次乘得的积相加。
②计算因数中间有0的三位数乘两位数，中间的0也要参与计算，计算方法同三位数乘两位数的笔算方法。
③末尾有0的两个因数相乘时，我们可以先把0前面的数相乘，然后再数两个因数的末尾一共有几个0就在积的末尾添上几个0。
【常考题型】
谷子每袋23元，要买114袋谷子，需要花多少钱？
答案：114×23＝2622（元）
从北京到济南每张火车票195元，一个旅游团有28人，准备6000元买火车票够吗？
答案：195×28＝5460（元）
5460元＜6000元
答：准备6000元买火车票够。
11．列竖式计算乘法
【知识点归纳】
1、三位数乘两位数的计算方法：列竖式计算三位数乘两位数时，相同数位对齐，先用两位数个位上的数去乘三位数，哪一位上的乘积满几十，就向前一位进几，得数的末位和两位数的个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，哪一位上的乘积满几十就向前一位进几，得数的末位和两位数的十位对齐；最后把两次乘得的积相加，相加时，哪一位满几十同样向前一位进几。
【方法总结】
1、乘数中间或末尾有0的三位数乘两位数的计算方法。
（1）乘数中间有0时，这个0也要乘；与0相乘时，如果有进位数一定要加上进位数，如果没有进位数，就写0占位。
（2）乘数末尾有0时，可以先把0前面的数相乘，再看乘数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。
【常考题型】
1、计算16×300时，可以先算（ ），再在积的末尾添（ ）。
答案：16×3；两个0
2、12的103倍是（ ），31个200是（ ）。
答案：1236；6200
12．两位数除两、三位数
【知识点归纳】
1、怎样计算除数是两位数的除法：
①把除数看作和它接近的整十数试商。
②计算时从高位算起，先用被除数的前两位除以除数，如果被除数前两位比除数小，就用前三位除以除数。
③除到被除数的第几位，商就写在这一位上。
④注意每次的余数要比除数小。
【方法总结】
1、试商时，用四舍五入法将除数看作最接近的整十数来试商；
若除数看大，则初商可能偏小；
若除数看小，则初商可能偏大。
2、余数要比除数小：最小的余数是1；最大的余数＝除数﹣1。
【常考题型】
1、765÷23的商是（ ）位数，商的最高位是（ ）位。
答案：两；十
2、□÷☆＝5……21，☆最小是（ ），这时的□是（ ）。
答案：22；131
3、□÷16＝9……△，△最大是（ ），这时□是（ ）。
答案：15；159
4、56÷5＝11……1，其中56是除法算式中的（ ），5是（ ），11是（ ），1是（ ）。
答案：被除数；除数；商；余数
13．有余数的除法
【知识点归纳】
（1）一个整数除以另一个自然数，并不是永远可以得到整数的商叫有余数的除法．
如：15÷7＝2…1
（2）有余数除法的性质：
①余数必须小于除数
②不完全商与余数都是唯一的．
（3）运算法则
被除数÷除数＝商+余数，被除数＝除数×商+余数．
【命题方向】
常考题型：
例1：在除法算式m÷n＝a…b中，（n≠0），下面式子正确的是（ ）
A、a＞n B、n＞a C、n＞b
分析：根据在有余数的除法中，余数总比除数小，即除数大于余数；由此解答即可．
解：根据有余数的除法中，余数总比除数小，即除数大于余数，
所以：n＞b；
故选：C．
点评：解答此题的关键：应明确在有余数的除法中，余数总比除数小．
例2：31÷7＝4…3，如果被除数、除数都扩大10倍，那么它的结果是（ ）
A、商4余3 B、商40余3 C、商40余30 D、商4余30
分析：根据商不变的性质，被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）商不变，但是在有余数的除数算式中，被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）商不变，余数也会扩大或缩小相同的倍数．
解：31÷7＝4…3，
310÷70＝4…30，
所以当被除数、除数同时扩大10倍，商不变，余数也会扩大10倍．
故选：D．
点评：此题主要考查的是商不变的性质在有余数的除法算式中的应用．
14．列竖式计算除法
1.除法用竖式计算时，从被除数最高位开始除起，如若除不了，那么就用最高位和下一位合成一个数来除，直到能除以除数为止。
2.列竖式的过程中要把位数对齐。
3.除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商。
4.每次除后余下的数必须比除数小。
15．表内乘除混合
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
1、一个乘法算式可以表示两个意义，
如“4×2”既可以表示“4个2相加”，也可以表示“2个4相加”。
2、乘法规则：
①两个因数交换位置，积不变。
②一个因数扩大或缩小几倍，另一个因数不变，乘积也随着扩大或缩小相同的倍数。
3、连乘、连除乘除混合运算的计算方法：无论是连乘、连除还是乘除混合运算都属于同级运算，都要按照从左到右的顺序依次计算。
【常考题型】
1、口算题。
答案：3；6；6；4
2、菊花有36朵，平均分给6个小组，每组分得几朵？每组2个小朋友，每个小朋友分到几朵？
答案：36÷6＝6（朵）
答：每组分得6朵。
6÷2＝3（朵）
答：每个小朋友分到3朵。
16．表外乘除混合
【知识点归纳】
1、混合运算，先乘除，后加减，有括号的要先算括号里面的，再算括号外面的。只有加、减法或只有乘、除法，都要从左到右按顺序计算。
2、加减乘除混合运算规则：
（1）同级运算时，从左到右依次计算。
（2）两级运算时，先乘除后加减。
（3）有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
解决两步计算的实际问题
1、想好先解决什么问题，再解决什么问题。
2、可以画图帮助分析。
3、可以分布计算，也可以列综合算式。
【常考题型】
口算题。
答案：45；27；21；48
李大爷有高血压需长期吃药，医生嘱咐他每天吃6片。李大爷有事要外出8天，药瓶已有24片药，应再放多少片药就够了？
答案：6×8﹣24＝24（片）
体育老师买了4桶羽毛球共花了240元，每桶12个，求每个羽毛球平均多少钱？
答案：240÷4÷12＝5（元）
17．带括号的表外乘加、乘减
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
在乘加乘减的学习过程中，乘加的解题思路，其实就是把问题分成“同数连加”加一个“其他数”，也就是比几个几多几。
而乘减是需要运用“假设法”来理解，假设把那个“其他数”看成和“同数连加”是一样的加数，然后再去掉缺少的部分，其实就是比几个几少几。
【常考题型】
小明邀请3个好朋友来家做客，3个好朋友每人吃4块糖，小明自己吃2块，他准备15块糖够吗？
答案：3×4+2＝14（块）
14＜15
答：他准备15块糖够。
18．带括号的表外除加、除减
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
1、四则混算的计算法则：先算乘除法，后算加减法，有括号的要先算括号里面的，再算括号外面的。
2、在只有加减，或只有乘除的同级混算中，如果没有括号，就按照从左到右的顺序依次运算。
3、应用题的综合列式要注意：四则混算中如果想先算加减法，就应把加减法用小括号括起来。
【常考题型】
黑天鹅有45只，白天鹅比黑天鹅少36只。黑天鹅的只数是白天鹅的几倍？
答案：45÷（45﹣36）＝5
旅游团有70人，一辆大巴车可以最多坐46人，一辆客车最多可以坐6人，现在坐满了一辆大巴车，还需要几辆客车？
答案：（70﹣46）÷6＝4（辆）
19．带嵌套括号的混合运算
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
含有小括号的两步混合运算的运算顺序：
算式里有小括号的，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。
【常考题型】
计算题。
答案：8；8；9
20．运算定律与简便运算
【知识点归纳】
1、加法运算：
①加法交换律：两个加数交换位置，和不变．如a+b＝b+a
②加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c＝a+（b+c）
2、乘法运算：
①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b＝b×a．
②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c＝a×（b×c）
③乘法分配律：两个数的和，乘以一个数，可以拆开来算，积不变．如a×（b+c）＝ab+ac
④乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数．如ac+bc
＝（a+b）×c
3、除法运算：
①除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除．如a÷b÷c＝a÷（b×c）
②商不变规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变．如a÷b＝（an）÷（bn）＝（a÷n）÷（b÷n） （n≠0 b≠0）
4、减法运算：
减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和．如a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）
【命题方向】
常考题型：
例1：0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法的（ ）
A、交换律 B、结合律 C、分配律
分析：乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：（a+b） c＝ac+ac．据此可知，0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
解：根据乘法分配律的概念可知，
0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
故选：C．
点评：本题利用具体的算式考查了学生对于乘法分配律的理解．
例2：125×25×32＝（125×8）×（25×4），这里运用了（ ）
A、乘法交换律 B、乘法结合律 C、乘法交换律和乘法结合律
分析：在125×25×32＝（125×8）×（25×4）中，是把32看作8×4，然后用乘法交换律变成125×8×25×4，再运用乘法结合律计算，即（125×8）×（25×4）．
解：125×25×32＝（125×8）×（25×4），运用了乘法交换律和乘法结合律．
故选：C．
点评：此题重点考查了学生对乘法交换律和结合律的掌握与运用情况．
21．日期和时间的推算
【命题方向】
常考题型：
例1：小明妈妈晚上10时睡觉，第二天早晨6时起床．小明妈妈睡了（ ）小时．
A、4 B、8 C、9 D、10
分析：把这一段时间分成2段：（1）晚10时到晚上0时，求出一共过了几小时；（2）0时到6时，求出一共过了几小时；把这两段时间加起来就是她睡眠的时间．
解：12时﹣10时＝2小时，
2小时+6小时＝8小时，
答：小明妈妈睡了8小时．
故选：B．
点评：这类时间推算的题目先把这一时间进行合理的分段，再算每一段的时间，进而求出时间的总和．
例2：今天是星期四，那么再过40天是（ ）
A、星期一 B、星期二 C、星期三
分析：用40除以7，求出40天里面有几周，还余几天，再根据余数推算．
解：40÷7＝5（周）…5（天）；
余数是5，从星期四再过5天就是星期二．
故选：B．
点评：解决这类问题先求出经过的天数，再求经过的天数里有几周还余几天，再根据余数推算．
22．“式”的规律
【知识点归纳】
把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容．在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索．
【命题方向】
常考题型：
例：观察1+3＝44+5＝99+7＝1616+9＝2525+11＝36这五道算式，找出规律，则下一道算式是 36+13＝49 ．
分析：观察所给出的式子，知道从第二个算式起，第一个加数分别是前一算式的和；从第二个式子起，第二个加数分别是前一算式中的第二个加数加2所得；由此得出要求的算式．
解：因为，要求的算式的前一个算式是：25+11＝36，
所以，要求的算式的第一个加数是：36，
第二个加数是：11+2＝13，
所以要求的算式是：36+13＝49，
故答案为：36+13＝49．
点评：解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题．
23．简单的归一应用题
【知识点归纳】
已知相互关联的两个量，其中一个量在改变，另一个量也随之改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题．
归一问题可以分为一次归一问题、两次归一问题．
一次归一问题：用一步运算就能求出单一量的归一问题，又称单归一
两次归一问题：用两步运算才能求出单一量的归一问题，又称双归一
归一问题还可以分为正归一问题、反归一问题．
正归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用乘法计算结果的归一问题
反归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用除法计算结果的归一问题
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后，以它为标准，根据题目的要求算出结果．
数量关系式：单一量×份数＝总数量（正归一）
总数量÷单一量＝分数（反归一）
【命题方向】
常考题型：
例1：计划5小时做40个零件，3小时做这批零件的（ ）
A、 B、 C、
分析：先算出平均每小时做多少个零件，再算出3小时做多少个零件，把40件零件看做单位“1”，进一步求出3小时做的占40件得几分之几．
解：平均每小时做的零件数：40÷5＝8（个），
3小时做的零件数：8×3＝24（个），
3小时做的占40件的：24÷40＝．
答：3小时做这批零件的．
故选：A．
点评：解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量，进一步得出答案．
例2：3台织布机4小时织布336米，照这样计算，1台织布机8小时织布多少米？
分析：照这样计算，说明每台织布机，每小时织布量不变，先用336除以3台，求出每台4小时的织布量，再除以4小时，求出每台每小时的织布量，然后乘上8小时即可求解．
解：336÷3÷4×8，
＝112÷4×8，
＝28×8，
＝224（米）；
答：1台织布机8小时织布224米．
点评：解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量．
24．简单的行程问题
【知识点归纳】
计算路程，时间，速度的问题，叫做行程问题．
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行63.5千米，乙车每小时行56.5千米，4小时相遇．A、B两地相距多少千米？
分析：要求A、B∝两地相距多少千米，根据题意，应先求出两车的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇时间，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B两地相距480千米．
点评：此题考查了关系式：速度和×相遇时间＝路程．
例2：王华以每小时4千米的速度从家去学校，小时行了全程的，王华家离学校有多少千米？
分析：先依据路程＝速度×时间，求出王华小时行驶的路程，再运用分数除法意义即可解答．
解：4×÷，
＝÷，
＝1（千米），
答：王华家离学校有1千米．
点评：分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出王华小时行驶的路程．
例3：甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（ ）千米．
A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由题意可知：两车相遇时，快车超过中点14千米，而慢车距离终点还有14千米，因此它们的路程差为14×2＝28千米，据此即可进行解答．
解：因为两车相遇时，快车超过中点14千米，
而慢车距离终点还有14千米，
因此它们的路程差为14×2＝28千米；
故选：C．
点评：本题主要考查学生时间、路程、速度差的掌握情况．
25．直线、线段和射线的认识
【知识点归纳】
1．概念：
直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示．
线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示．
射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示．
注意：
（1）线和射线无长度，线段有长度．
（2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点．
2．直线、射线、线段区别：
直线没有端点，两边可无限延长；
射线有一端有端点，另一端可无限延长；
线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度．
【命题方向】
常考题型：
例1：下列说法不正确的是（ ）
A、射线是直线的一部分 B、线段是直线的一部分 C、直线是无限延长的 D、直线的长度大于射线的长度
分析：根据线段、射线和线段的含义：线段有限长，有两个端点；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而进行判断即可．
解：A，射线是直线的一部分，A说法正确；
B，线段是直线的一部分，B说法正确；
C，直线是无限延长的，C说法正确；
D，射线和直线无法度量长度，因此D说法错误．
故选：D．
点评：此题考查了直线、射线和线段的含义和特点．
例2：下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（ ）
A、（1）B、（2）C、（3）D、（4）
分析：根据：直线是无限长的，可以向两端无限延伸；射线有一个端点，可以向一端无限延伸；线段不能无限延伸；据此特点，将图中能延长的线延长，看是否能相交即可．
解答：（1）是两条直线，可以无限延伸，延伸之后会相交；
（2）一条射线，向D端延长，另一条是直线，能无限延伸，但是不会相交；
（3）一条射线，只能向D端无限延伸，另外是一条线段，延长射线后不会相交；
（4）两条都是线段，不能延伸，所以不会相交；
所以四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（1）．
故选：A．
点评：此题主要考查直线、射线和线段的特征．
26．角的概念和表示
【知识点归纳】
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．
定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.
（1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.
（2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.
注意：由角的定义可知：
（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点；
（2）顶点是这两条边的交点；
（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.
（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.
角的表示方法：
（1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A
【命题方向】
常考题型：
1.从一点引出两条______所组成的图形叫做角，角的计量单位用_______来表示。
答案：射线，度。
2.组成角的两条边是两条（ ）
A．线段B．射线C．直线
答案：B
27．角的分类（锐角直角钝角）
【知识点归纳】
根据角的度数，可以把角分为周角、平角、钝角、直角、锐角。
（1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.规定平角为180°
（2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.规定周角为360°
（3）规定平角的一半是90°，直角的两边互相垂直。规定大于90°的角为钝角，小于90°的角为锐角。
【命题方向】
常考题型：
1.钟面上9时整，时针和分针成______角；钟面上6时整，时针和分针成_______角．
解：由分析可知，钟面上9时整时针和分针所成的角是：3×30°＝90°，是一个直角；
6时整，时针指着6，分针指着12，两针成一直线，时针和分针成平角；
故答案为：直，平。
2.2022年北京冬奥会将于2022年2月4日晚上8时开幕，此时时针和分针所形成的角是______角。
答案：钝
3、1平角＝______直角 1周角＝______直角．
答案：2；4
28．过直线外一点作已知直线的平行线
【知识点归纳】
1．画法：设直线外一点为a，在直线上任取两点b和c，以a为圆心，以bc为半径作弧；以b为圆心，以ac为半径作弧，两弧交于d点；连接ad作直线，则ad必平行于bc．
2．在同一平面内，过直线外一点画已知直线的平行线，只能画一条．如果没有在同一平面内的限制，过直线外一点画已知直线的平行线，能画无数多条．
【命题方向】
常考题型：
例1：过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画（ ）
A、1条 B、2条 C、无数条
分析：根据平行线的性质，过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条．
解：过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画1条．
故选：A．
点评：此题主要考查了平行线的性质．
例2：过A点画出已知直线的平行线．
分析：用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺靠紧和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线即可．
解：用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺沿和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线．
点评：本题考查学生利用三角板和直尺来作平行线的能力，培养学生的作图能力．
29．过直线上或直线外一点作直线的垂线
【知识点归纳】
1、以直线外一点为圆心，以大于这点到直线的距离为半径画弧交直线于A、B两点．
2、分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画弧在直线的两侧相交于两点．
3、连结这一点和任意一个交点（或连结两个交点）的直线就是已知直线的垂线．
【命题方向】
常考题型：
例1：过直线外一点画已知直线的垂线，可以画 1 条．
分析：直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直．据此可解答．
解：过直线外一点画已知直线的垂线，可以画 1条．
故答案为：1．
点评：本题考查了学生对过直线外一点向已知直线作垂线的唯一性的掌握情况．
例2：过A点画已知直线的垂线．
分析：用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可．
解：根据分析画图如下：
点评：本题考查了学生过直线外一点向已知直线作垂线的能力．
30．角的度量
【知识点归纳】
1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器．
2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制．
角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量．
弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R．
3．度量方法：
量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐．
量角器的0刻度线和角的一条边对齐．
做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度．
看刻度要分清内外圈．
【命题方向】
常考题型：
例1：用一个放大10倍的放大镜看一个50°的角，看到的角是（ ）
A、50° B、500° C、100°
分析：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．
解：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．
所以用放大10倍的放大镜看一个50度的角，看到的度数仍是50度．
故选：A．
点评：用放大镜看角，很容易错误认为角的度数会被放大相同倍数，关键要学生理解角的大小与边的长短无关．也要认识到一个普遍规律：放大镜只改变物体大小，不改变物体形状，对角而言只是一种图形，既然形状不变，角度也不会改变．
例2：下面每对时刻中，时钟的时针和分针所成的角不一样的有（ ）
A、1：30和2：30 B、3：30和8：30 C、9：00和3：00 D、10：30和1：30
分析：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出不同时间下，时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可进行判断，选择．
解：A，1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度，
2：30时针和分针中间相差3.5个大格，夹角是：30×3.5＝105度；符合题意；
B，3：30时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30＝75度，
8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30°＝75度；
C，9：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3＝90度，
3：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3＝90度；
D，10：30时针和分针中间相差4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度，
1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度；
所以夹角不同的是A．
故选：A．
点评：本题考查了钟面角，用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．
31．画指定度数的角
【知识点归纳】
三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角．
【命题方向】
常考题型：
例1：画一个120°的角．
分析：画一个120°的角可据以下步骤进行：
（1）先画一条射线使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合；
（2）在量角器120°角刻度线的地方点一个点；
（3）以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个120°的角．
解：根据角的画法，作图如下：
点评：本题考查了学生根据所给度数利用作图工具画角的动手能力．
例2：用一副三角板画一个105°的角．
分析：显然从两个三角板中，将一个等于45°的角，再加上另一个三角板中等于60°的角，即可得到105°的角．
解：让等腰直角三角形的一个锐角和另一个直角三角形的较大的锐角拼在一起，画出这个角如下图所示，
45°+60°＝105°；
．
点评：本题考查了三角板的角的度数、角的计算、角的拼图、画角的方法，较为简单，熟练掌握三角板各角的度数是解答本题的关键．
32．钟面上的角
【知识点归纳】钟面上一共有12个大格，每一个大格包含5个小格。由分针一小时走12个大格，时针一小时走1个大格，可以得出，分针的速度是时针的12倍。
①用格数表示
分针一分钟走1个小格，时针走1/12个小格。
②用角度表示
分针一分钟旋转6°，时针一分钟旋转0.5°。
【常考题型】
1.3时整，时针与分针形成的角是______；6时半，时针与分针形成的角是_______。
分析：时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°。3时整，时针和分针之间有3个大格，则时针和分针的夹角是3×30°。6时半，时针和分针之间有半个大格，则时针和分针的夹角是30°÷2。再判断这两个角的类型。
解：3×30°＝90°
30°÷2＝15°
3时整，时针与分针形成的角是直角；6时半，时针与分针形成的角是锐角。
故答案为：直；锐。
2.钟面上10时35分时，时针与分针的夹角（小于180°的）是多少度？
分析：在钟表上每个大格对应的夹角是30度，10时30分时，时针与分针相差4.5个大格，即30×4.5＝135（度），时针每分钟旋转0.5度，分针每分钟旋转6度，然后求出从10时30分开始，再过5分钟时针与分针旋转的角度即可。
解：30×4.5＝135（度）
0.5×5＝2.5（度）
6×5＝30（度）
135+2.5﹣30＝107.5（度）
答：钟面上10时35分时，时针与分针的夹角（小于180°）的度数是107.5°。
33．长方形、正方形的面积
【知识点归纳】
长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab
正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形的周长是48厘米，长和宽的比是7：5，这个长方形的面积是多少？
分析：由于长方形的周长＝（长+宽）×2，所以用48除以2先求出长加宽的和，再根据长和宽的比是7：5，把长看作7份，宽看作5份，长和宽共7+5份，由此求出一份，进而求出长和宽分别是多少，最后根据长方形的面积公式S＝ab求出长方形的面积即可．
解：一份是：48÷2÷（7+5），
＝24÷12，
＝2（厘米），
长是：2×7＝14（厘米），
宽是：2×5＝10（厘米），
长方形的面积：14×10＝140（平方厘米），
点评：本题考查了按比例分配的应用，同时也考查了长方形的周长公式与面积公式的灵活运用．
答：这个长方形的面积是140平方厘米．
例2：小区前面有一块60米边长的正方形空坪，现要在空坪的中间做一个长32米、宽28米的长方形花圃，其余的植上草皮．（如图）
①花圃的面积是多少平方米？
②草皮的面积是多少平方米？
分析：（1）长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求解；
（2）草皮的面积＝正方形的面积﹣长方形的面积，利用正方形和长方形的面积公式即可求解．
解：（1）32×28＝896（平方米）；
（2）60×60﹣896，
＝3600﹣896，
＝2704（平方米）；
答：花圃的面积是896平方米，草皮的面积是2704平方米．
点评：此题主要考查正方形和长方形的面积的计算方法．
【解题思路点拨】
（1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢．
（2）其他求法可通过分割补，灵活性高．
34．数对与位置
【知识点归纳】
1．数对的意义：用有顺序的两个数表示出一个确定的位置就是数对．
2．用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行．
3．给出物体在平面图上的数对，就可以确定物体所在的位置了．
【命题方向】
常考题型：
例：如图：如果将△ABC向左平移2格，则顶点A′的位置用数对表示为（ ）
A、（5，1）B、（1，1）C、（7，1）D、（3，3）
分析：将△ABC向左平移2格，顶点A′的位置如下图，即在第1列，第1行，由此得出A′的位置．
解：
因为，A′在第1列，第一行，
所以，用数对表示是（1，1），
故选：B．
点评：此题考查了数对的写法，即先看在第几列，这个数就是数对中的第一个数；再看在第几行，这个数就是数对中的第二个数．
35．可能性的大小
【知识点归纳】
事件的概率的表示方法：一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）＝P．必然事件的概率为1．
【命题方向】
常考题型：
例1：从如图所示盒子里摸出一个球，有 两 种结果，摸到 白 球的可能性大，摸到 黑 球的可能性小．
【分析】（1）右边盒子里只有白球和黑球，所以摸球的结果只有两种情况；
（3）白球3个，黑球1个，3＞1，所以摸到白球可能性大，黑球的可能性小．
解：（1）因为盒子里只有白球和黑球，
所以摸球的结果只有两种情况．
（2）因为白球3个，黑球1个，
所以3＞1，
所以摸到白球可能性大，黑球的可能性小．
故答案为：两，白，黑．
【点评】此题考查可能性的大小，数量多的摸到的可能性就大，根据日常生活经验判断．
36．商的变化规律
【知识点归纳】
商的变化规律：
①除数不变，被除数乘（除以）一个数，商也乘（除以）同一个数；
②被除数不变，除数乘（除以）一个数，商除以（乘）同一个数；
③被除数和除数同时乘（除以）同一个数，商不变．
37．握手问题
【知识点归纳】
假设有N个人，则每个人都要和除自己之外的（N﹣1）个人握手，
则总握手的次数是N（N﹣1），但是在这N（N﹣1）次的握手中，每一次的握手都重复计算了，例如我和你握手，你和我握手是一样的．所以，要把它除以2，
则N个人握手的次数是N（N﹣1）．
【命题方向】
经典题型：
例1：甲、乙、丙、丁和小明五个人一起下围棋，循环比赛，已知甲下了4盘，乙下了3盘，丙下了2盘，丁下了1盘，问小明下了（ ）盘．
A、1 B、2 C、3 D、4
分析：五个人一起下围棋，循环比赛，那么每个人最多可以下4盘；由甲下了4盘为突破口，找出小明下的盘数
解：甲下了4盘，甲和其他4人各下了一盘，包括丁和小明；
而丁下了一盘，说明丁只和甲下了一盘，没和其他人下；
乙下了3盘，他没和丁下，就是和甲，丙，小明三人下了；
丙是下了2盘，那么他只和甲、乙下了，没和小明下；
由此可知：小明只和甲、乙下了棋，下了2盘．
故选：B
点评：本题根据循环比赛，得出每人最多下4盘这一条件，然后根据已知每人下的盘数进行推算．
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610456 69654
3℃ ﹣5℃
10个百万 一千万
385÷45 10
﹣20 ﹣12
25×44 25×40+4
102×8＝
570÷30＝
450+61＝
28﹣28÷4＝
16×40＝
620﹣70＝
307÷29≈
25×4÷25×2＝
120×42＝
943÷23＝
32×209＝
760÷30＝
25×16×4
159+68+32
8×（125+50）
（800﹣547）÷11
18×66+34×18
864÷[（28﹣25）×12]
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
B
D
C
C
A
B
A
610456 ＞ 69654
3℃ ＞ ﹣5℃
10个百万 ＝ 一千万
385÷45 ＜ 10
﹣20 ＜ ﹣12
25×44 ＞ 25×40+4
610456＞69654
3℃＞﹣5℃
10个百万＝一千万
385÷45＜10
﹣20＜﹣12
25×44＞25×40+4
102×8＝
570÷30＝
450+61＝
28﹣28÷4＝
16×40＝
620﹣70＝
307÷29≈
25×4÷25×2＝
102×8＝816
570÷30＝19
450+61＝511
28﹣28÷4＝21
16×40＝640
620﹣70＝550
307÷29≈10
25×4÷25×2＝8
120×42＝
943÷23＝
32×209＝
760÷30＝
25×16×4
159+68+32
8×（125+50）
（800﹣547）÷11
18×66+34×18
864÷[（28﹣25）×12]
192+245＝
321﹣119＝
294+356＝
54÷6÷3＝
4×9÷6＝
4×3÷2＝
6×6÷9＝
18÷2×5＝
45÷5×3＝
9÷3×7＝
2×3×8＝
（82﹣18）÷8
72÷（3×3）
63÷（44﹣37）