2023-2024学年宁夏银川市贺兰第二高级中学高二（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年宁夏银川市贺兰第二高级中学高二（上）期末数学试卷，共47页。
2．（5分）与的等差中项和等比中项分别是（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知两条直线l1：（3+t）x+4y＝5﹣3t，l2：2x+（5+t）y＝8，l1∥l2，则t＝（ ）
A．﹣1或﹣7B．﹣1C．﹣7D．﹣
4．（5分）不论m为何值，直线mx﹣2y﹣3m+1＝0恒过定点（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）曲线＝1与曲线＝1（k＜9）的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等
C．离心率相等D．焦距相等
6．（5分）已知{an}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a5+a6+a7＝（ ）
A．16B．32C．24D．64
7．（5分）在椭圆+＝1内，通过点M（1，1），且被这点平分的弦所在的直线方程为（ ）
A．x+4y﹣5＝0B．x﹣4y﹣5＝0C．4x+y﹣5＝0D．4x﹣y﹣5＝0
8．（5分）数列{an}满足若，则a2023等于（ ）
A．B．C．D．
二.多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知双曲线，则（ ）
A．C的焦点坐标为
B．C的渐近线方程为
C．C的虚轴长为
D．C的离心率为
（多选）10．（5分）若是空间任意三个向量，λ∈R，下列关系中，不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
（多选）11．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝﹣n2+7n，则（ ）
A．{an}是递增数列
B．a10＝﹣12
C．当n＞4时，an＜0
D．当n＝3或4时，Sn取得最大值
（多选）12．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为5，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为
B．当|AF2|+|BF2|最大时，|AF2|＝|BF2|
C．椭圆离心率为
D．△ABF2面积最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）＝（2，﹣3，5），＝（﹣3，1，﹣4），则||＝ ．
14．（5分）已知等差数列{an}中，a1，a2021分别是方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则a1011＝ ．
15．（5分）已知双曲线过点A（3，﹣2），且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的方程是 ．
16．（5分）如图所示，某地区为了绿化环境，在区域{（x，y）|x≥0，y≥0}内大面积植树造林，第1棵树在点A1（0，1）处，第2棵树在点B1（1，1）处，第3棵树在点C1（1，0）处，第4棵树在C2（2，0）处，根据此规律按图中箭头方向每隔1个单位长度种1棵树，那么：
（1）第n棵树所在点的坐标是（44，0），则n＝ ；
（2）第2021棵树所在点的坐标是 ．
四、解答题（本大题共6题，17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）已知数列{an}的前n项和记为Sn．若点均在函数f（x）＝﹣x2+3x+2的图象上．
（1）求a1，a2，a3，a4；
（2）求数列{an}的通项公式．
18．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与曲线E：＝1的右焦点重合．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若抛物线C上的点P满足|PF|＝6，求P点的坐标．
19．（12分）已知等差数列{an}的前n项的和记为Sn，a3＝﹣4，a6＝8．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求Sn的最小值及其相应的n值．
20．（12分）已知A（﹣1，0），B（2，0），动点M满足，设动点M的轨迹为C，
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）点P（x，y）在轨迹C上，求的最小值．
21．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝DC＝DD1，过A1、B、C1三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，E、F分别为A1B、BC1的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面A1BC1与平面ABCD的夹角θ的余弦值．
22．（12分）已知椭圆M：（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l：x＝ky+m与椭圆M交手A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．
2023-2024学年宁夏银川市贺兰第二高级中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）椭圆C：4x2+y2＝16的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】C
【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解焦点坐标．
【解答】解：椭圆C：4x2+y2＝16的标准方程为：+＝1，
所以a＝4，b＝2，则c＝＝2．
所以椭圆C：4x2+y2＝16的焦点坐标为（0，±2）．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．
2．（5分）与的等差中项和等比中项分别是（ ）
A．B．C．D．
【考点】等差中项及其性质．
【答案】A
【分析】结合等差中项与等比中项的定义即可求解．
【解答】解：与的等差中项为，等比中项．
故选：A．
【点评】本题主要考查了等差中项与等比中项的定义，属于基础题．
3．（5分）已知两条直线l1：（3+t）x+4y＝5﹣3t，l2：2x+（5+t）y＝8，l1∥l2，则t＝（ ）
A．﹣1或﹣7B．﹣1C．﹣7D．﹣
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【答案】C
【分析】利用直线平行的性质直接求解．
【解答】解：∵两条直线l1：（3+t）x+4y＝5﹣3t，l2：2x+（5+t）y＝8，l1∥l2，
∴≠，
解得t＝﹣7．
故选：C．
【点评】本题考查实数值的求法，考查直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）不论m为何值，直线mx﹣2y﹣3m+1＝0恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【考点】恒过定点的直线．
【答案】D
【分析】把直线方程化为m（x﹣3）+（1﹣2y）＝0，令x﹣3＝0，且1﹣2y＝0，求出直线所过的定点坐标．
【解答】解：因为直线方程为mx﹣2y﹣3m+1＝0，
所以m（x﹣3）+（1﹣2y）＝0，
令x﹣3＝0，且1﹣2y＝0，
得x＝3，且，
所以直线恒过定点．
故选：D．
【点评】本题考查了直线恒过定点的应用问题，是基础题．
5．（5分）曲线＝1与曲线＝1（k＜9）的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等
C．离心率相等D．焦距相等
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】D
【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断．
【解答】解：曲线＝1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．
曲线＝1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，
离心率为，焦距为8．
对照选项，则D正确．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．
6．（5分）已知{an}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a5+a6+a7＝（ ）
A．16B．32C．24D．64
【考点】等比数列的性质．
【答案】A
【分析】由等比数列的定义先求出公比即可求解．
【解答】解：因为{an}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，
所以a2+a3+a4＝（a1+a2+a3）q＝2，
得q＝2，
所以a5+a6+a7＝（a1+a2+a3）q4＝16．
故选：A．
【点评】本题主要考查了等比数列及其性质的应用，属于基础题．
7．（5分）在椭圆+＝1内，通过点M（1，1），且被这点平分的弦所在的直线方程为（ ）
A．x+4y﹣5＝0B．x﹣4y﹣5＝0C．4x+y﹣5＝0D．4x﹣y﹣5＝0
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【答案】A
【分析】设出以点M（1，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法可求得以M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率．再由点斜式可求得直线方程．
【解答】解：设以点M（1，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），
则x1+x2＝2，y1+y2＝2．
又，①
，②
①﹣②得：＝0
又据对称性知x1≠x2，
∴以点M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率k＝﹣，
∴中点弦所在直线方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即x+4y﹣5＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要掌握这种设而不求的方法在求解直线方程中的应用．
8．（5分）数列{an}满足若，则a2023等于（ ）
A．B．C．D．
【考点】数列递推式．
【答案】C
【分析】根据递推关系式求得数列的前几项，得到其周期，进而求解结论．
【解答】解：因为数列{an}满足，，
所以，，，，
所以数列具有周期性，周期为4，
所以a2023＝a3＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
二.多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知双曲线，则（ ）
A．C的焦点坐标为
B．C的渐近线方程为
C．C的虚轴长为
D．C的离心率为
【考点】双曲线的几何特征．
【答案】CD
【分析】利用双曲线方程，求解焦点坐标，渐近线方程，虚轴长，离心率判断选项即可．
【解答】解：双曲线，可得a＝3，b＝，c＝，
所以C的焦点坐标为（0，±），所以A不正确；
C的渐近线方程为y＝±x，所以B不正确；
虚轴长为：2．所以C正确；
离心率为：，所以D正确；
故选：CD．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
（多选）10．（5分）若是空间任意三个向量，λ∈R，下列关系中，不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【答案】ABD
【分析】判断两个向量的关系判断A；利用向量的数量积判断B；利用向量的数乘判断C；向量共线判断D．
【解答】解：当两个向量垂直时，满足，所以A不正确；
当＝时，，所以B不正确；
，正确，所以C正确；
，必须两个向量共线时，成立，所以D不正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查命题的真假的判断，向量的基本知识的考查．
（多选）11．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝﹣n2+7n，则（ ）
A．{an}是递增数列
B．a10＝﹣12
C．当n＞4时，an＜0
D．当n＝3或4时，Sn取得最大值
【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．
【答案】BCD
【分析】推导出an＝﹣2n+8，再由Sn＝﹣n2+7n＝﹣（n﹣）2+，由此能求出结果．
【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝﹣n2+7n，
∴a1＝S1＝﹣1+7＝6，
n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（﹣n2+7n）﹣[﹣（n﹣1）2+7（n﹣1）]＝﹣2n+8，
当n＝1时，﹣2n+8＝6＝a1，
∴an＝﹣2n+8，
∴{an}是递减数列，故A错误；
a10＝﹣2×10+8＝﹣12，故B正确；
当n＞4时，an＝﹣2n+8＜0，故C正确；
∵Sn＝﹣n2+7n＝﹣（n﹣）2+，
∴当n＝3或4时，Sn取得最大值12，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）12．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为5，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为
B．当|AF2|+|BF2|最大时，|AF2|＝|BF2|
C．椭圆离心率为
D．△ABF2面积最大值为
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】BC
【分析】根据椭圆的定义得到|AF2|+|BF2|+|AB|＝4a＝8⇒|AF2|+|BF2|＝8﹣|AB|，进而判断当AB⊥x轴时，|AB|最小，此时8﹣|AB|最大，求出b，c，即可判断A，B，C．设直线AB并代入椭圆方程并化简，根据根与系数的关系求出三角形的面积，然后求出其最大值，最后判断D即可．
【解答】解：由题意，可得a＝2，
根据椭圆的定义，可知|AF2|+|BF2|+|AB|＝4a＝8
⇒|AF2|+|BF2|＝8﹣|AB|，则8﹣|AB|的最大值为5，
根据椭圆的性质，可知当AB⊥x轴时，|AB|最小，此时8﹣|AB|最大，如图：
将x＝﹣c代入椭圆方程，得，
则．
所以短轴长为，A错误；此时|AF2|＝|BF2|，B正确；，C正确；
对D，设A（x1，y1），B（x2，y2），
lAB：x＝ty﹣1，代入椭圆方程，得，
则，所以，
记，
于是，
因为函数在[1，+∞）上是增函数，
所以函数在[1，+∞）上是减函数．
所以当u＝1，即t＝0时，△ABF2面积最大值为3，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆中的最值与范围问题，椭圆离心率的求解等知识，属于中等题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）＝（2，﹣3，5），＝（﹣3，1，﹣4），则||＝ ．
【考点】空间向量的数量积运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先求出＝（8，﹣5，13），然后由向量的模的公式求其模．
【解答】解：∵＝（2，﹣3，5），＝（﹣3，1，﹣4），＝（8，﹣5，13），
∴||＝＝．
故答案为：
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算以及向量模的求法．
14．（5分）已知等差数列{an}中，a1，a2021分别是方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则a1011＝ 2 ．
【考点】等比数列通项公式的应用．
【答案】2．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得a1+a2021＝4，由此结合等差数列的性质算出a1011的值．
【解答】解：因为a1、a2021分别是方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，所以a1+a2021＝4，
结合{an}是等差数列，可得a1011＝（a1+a2021）＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查等差数列的性质、一元二次方程根与系数的关系等知识，属于基础题．
15．（5分）已知双曲线过点A（3，﹣2），且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的方程是 ﹣＝1 ．
【考点】圆锥曲线的综合．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出椭圆的焦点，由此设出双曲线的标准方程，把点（3，﹣2）代入方程，联立a2+b2＝c2即可求得a2，b2的值，则双曲线的方程可求．
【解答】解：椭圆，则c2＝9﹣4＝5，所以c＝．
所以椭圆的焦点为F1（﹣，0），F2（，0）．
因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以可设双曲线方程为＝1．
因为双曲线过点（3，﹣2），所以＝1①
又a2+b2＝5②，联立①②，解得：a2＝3或a2＝15（舍），b2＝2．
所以双曲线的标准方程为﹣＝1．
故答案为：﹣＝1．
【点评】本题考查了圆锥曲线的共同特征，考查了利用代入法求圆锥曲线的方程，由焦点的位置设曲线标准方程是该题的关键，此题是中档题．
16．（5分）如图所示，某地区为了绿化环境，在区域{（x，y）|x≥0，y≥0}内大面积植树造林，第1棵树在点A1（0，1）处，第2棵树在点B1（1，1）处，第3棵树在点C1（1，0）处，第4棵树在C2（2，0）处，根据此规律按图中箭头方向每隔1个单位长度种1棵树，那么：
（1）第n棵树所在点的坐标是（44，0），则n＝ 1936 ；
（2）第2021棵树所在点的坐标是 （3，44） ．
【考点】归纳推理．
【答案】（1）1936；（2）（3，44）．
【分析】（1）OA1B1C1设为第一个正方形，种植3棵树，依次类推，归纳出第二个正方形和第三个正方形种植的棵数，利用等差数列的求和公式能求出n．
（2）由（1）可知正方形种植的树，它们构成一个等差数列，公差为2，计算出前43个正方形共有的棵数，从而得到第2021棵树所在点的坐标．
【解答】解：（1）OA1B1C1设为第一个正方形，种植3棵树，依次类推，
第二个正方形种植5棵树，第三个正方形种植7棵树，
构成公差为2的等差数列，
43个正方形有3+5+7+…+（2×43+1）＝＝1935棵树，
由第n棵树所在点坐标是（44，0），得n＝1935+1＝1936．
（2）由（1）可知正方形种植的树，它们构成一个等差数列，公差为2，
前43个正方形共有43×3+×2＝1935棵树，
又2021﹣1935＝86，86﹣44＝42，45﹣43＝3，
∴第2021棵树在（3，44）点处．
故答案为：（1）1936；（2）（3，44）．
【点评】本题考查图形规律、简单的归纳推理、等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题（本大题共6题，17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）已知数列{an}的前n项和记为Sn．若点均在函数f（x）＝﹣x2+3x+2的图象上．
（1）求a1，a2，a3，a4；
（2）求数列{an}的通项公式．
【考点】数列递推式．
【答案】（1）4；0；﹣2；﹣4．
（2）．
【分析】（1）根据题意，得到，结合an＝Sn﹣Sn﹣1，逐项即可求解；
（2）由，结合an＝Sn﹣Sn﹣1，即可求解．
【解答】解：（1）由点（n，Sn）在函数f（x）＝﹣x2+3x+2的图象上，得，
则a1＝S1＝4，a2＝S2﹣S1＝4﹣4＝0；a3＝S3﹣S2＝2﹣4＝﹣2；
a4＝S4﹣S3＝﹣2﹣2＝﹣4．
（2）由（1）得，
当n＝1时，可得a1＝S1＝4；
当n≥2时，．
验证a1＝4不适合上式，则．
【点评】本题考查数列递推式，训练了由数列的前n项和求数列的通项公式，是基础题．
18．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与曲线E：＝1的右焦点重合．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若抛物线C上的点P满足|PF|＝6，求P点的坐标．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【答案】（1）y2＝8x；
（2）（4，±4）．
【分析】（1）根据题意可求的抛物线的焦点坐标，从而可求得p，从而可得抛物线C的标准方程；
（2）设P点的坐标为（x0，y0），由抛物线的性质可求得x0，代入抛物线方程中可求得y0，从而可得P点坐标．
【解答】解：（1）因为曲线E：＝1的右焦点为（2，0），
所以抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（2，0），
所以＝2，可得p＝4，
所以抛物线C的标准方程为y2＝8x．
（2）设P点的坐标为（x0，y0），
若抛物线C上的点P满足|PF|＝6，所以|PF|＝x0+＝x0+2＝6，
所以x0＝4，则y0＝±4，
所以P点坐标为（4，±4）．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于中档题．
19．（12分）已知等差数列{an}的前n项的和记为Sn，a3＝﹣4，a6＝8．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求Sn的最小值及其相应的n值．
【考点】等差数列前n项和的性质．
【答案】（Ⅰ）数列{an}的通项公式为．
（Ⅱ）﹣24．
【分析】（Ⅰ）利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）法一：求出＝，由此推导出n＝3或4时，Sn有最小值﹣24．
法二：由d＝4＞0，得{an}为递增数列，由此推导出n＝3或4时，Sn有最小值﹣24．
【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{an}的前n项的和记为Sn，a3＝﹣4，a6＝8．
∴由已知得：，解得：，
∴数列{an}的通项公式为．
（Ⅱ）解法一：
＝﹣12n+2n（n﹣1）＝2n2﹣14n
＝，
当n取最接近3.5的整数，即n＝3或4时，Sn有最小值，
∴Sn最小值为18﹣42＝﹣24．
解法二：∵d＝4＞0，∴{an}为递增数列，
当n＞4时，an＝4n﹣16＞0，
当n＝4时，an＝4n﹣16＝0，
当n＜4时，an＝4n﹣16＜0，
∴n＝3或4时，Sn有最小值，Sn最小值为18﹣42＝﹣24．
【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20．（12分）已知A（﹣1，0），B（2，0），动点M满足，设动点M的轨迹为C，
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）点P（x，y）在轨迹C上，求的最小值．
【考点】轨迹方程．
【答案】（1）（x+2）2+y2＝4；（2）．
【分析】（1）直接将翻译成x，y的关系，即动点M的轨迹方程；
（2）把看成点（x，y）和点（2，0）之间的斜率k，设过点 （2，0）的直线方程为 y＝k（x﹣2），结合直线 y＝k（x﹣2）与C有交点建立不等式进而求得k的最小值，即的最小值．
【解答】解：（1）设动点 M（x，y），
根据题意得，，化简得，（x+2）2+y2＝4，
所以动点 M 的轨迹方程为 （x+2）2+y2＝4．
（2）设过点 （2，0）的直线方程为 y＝k（x﹣2），
由题意知直线y＝k（x﹣2）与C有交点，
所以圆心到直线的距离 ，
解得 ，
所以 的最小值为 ．
【点评】本题考查求动点的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，将转化为点（x，y）和点（2，0）之间的斜率是本题的突破口，属于基础题．
21．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝DC＝DD1，过A1、B、C1三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，E、F分别为A1B、BC1的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面A1BC1与平面ABCD的夹角θ的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）由三角形中位线定理得EF∥A1C1，由平行公理得EF∥AC，由此能证明EF∥平面ABCD．
（Ⅱ）以D为坐标轴原点，以DA、DC、DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABCD的一个法向量和平面A1BC1的一个法向量，由此利用向量法能求出平面A1BC1与平面ABCD的夹角θ的余弦值．
【解答】（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：∵在△A1BC1中，E、F分别为A1B、BC1的中点，
∴EF∥A1C1，
∵在ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∥A1C1，
∴EF∥AC，
∵EF⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．…（6分）
（Ⅱ）解：以D为坐标轴原点，以DA、DC、DD1分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，不妨设AD＝DC＝＝1，
则A（1，0，0），B（1，1，0），
C1（0，1，2），D1（0，0，2），
A1（1，0，2），，，
∵DD1⊥平面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为＝（0，0，2），
设平面A1BC1的一个法向量为＝（a，b，c），
则，即，取a＝1，得＝（1，1，），
∴csθ＝|cs＜＞|＝||＝．
∴平面A1BC1与平面ABCD的夹角θ的余弦值为．…（12分）
【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面的夹角的余弦值的求法，涉及到三角形中位线定理、平行公理、向量法等知识点，是中档题．
22．（12分）已知椭圆M：（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l：x＝ky+m与椭圆M交手A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）根据椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4，椭圆的离心率，建立方程，利用b2＝a2﹣c2，可求椭圆M的方程；
（Ⅱ）由直线与椭圆方程联立，消元，由以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），可得 ，结合数量积公式及韦达定理，即可求m的值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，可得 ，即，…（1分）
又椭圆的离心率为，即，…（2分）
所以a＝3，，
所以b2＝a2﹣c2＝1，…（3分）
所以椭圆M的方程为．…（4分）
（Ⅱ）由消去x得（k2+9）y2+2kmy+m2﹣9＝0．…（5分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），有，．①…（6分）
因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），所以 ．…（7分）
由 ，，得 （x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2＝0．…（8分）
将x1＝ky1+m，x2＝ky2+m代入上式，
得 ，…（10分）
将 ①代入上式得
解得 ，或m＝3．…（12分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．
考点卡片
1．数列的函数特性
【知识点的认识】
1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝
2、等比数列的通项公式：an＝a1qn﹣1；前n项和公式Sn＝＝（q≠1）
3、用函数的观点理解等差数列、等比数列
（1）对于等差数列，
an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．
若等差数列的前n项和为Sn，则Sn＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．
（2）对于等比数列：
an＝a1qn﹣1．可用指数函数的性质来理解．
当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；
当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列．
当q＝1时，是一个常数列．
当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．
【解题方法点拨】
典例1：数列{an}满足an＝n2+kn+2，若不等式an≥a4恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）
解：an＝n2+kn+2＝，
∵不等式an≥a4恒成立，
∴，
解得﹣9≤k≤﹣7，
故选：B．
典例2：设等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），其前n项和为Sn，若数列{}也为等差数列，则的最大值是（ ）
A．310 B．212 C．180 D．121
解：∵等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），设公差为d，则an＝1+（n﹣1）d，
其前n项和为Sn＝，
∴＝，
＝1，＝，＝，
∵数列{}也为等差数列，
∴＝+，
∴＝1+，
解得d＝2．
∴Sn+10＝（n+10）2，
＝（2n﹣1）2，
∴＝＝，
由于为单调递减数列，
∴≤＝112＝121，
故选：D．
2．等差中项及其性质
【知识点的认识】
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝ （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
【解题方法点拨】
﹣定义：等差数列中的任意三项an﹣1，an，an+1满足．
﹣性质：利用等差中项的性质求解数列相关问题．
【命题方向】
常见题型包括利用等差中项的定义和性质求解数列中的项，结合具体数列进行分析．
设a＞0，b＞0，若1是4a与2b的等差中项，则+的最小值为_____．
解：a＞0，b＞0，1是4a与2b的等差中项，
∴4a+2b＝2，∴2a+b＝1，
∴+＝（+）（2a+b）＝4+++1＝≥5+2＝9．
当且仅当时，取等号，
则+的最小值为9．
故答案为：9．
3．等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝
【解题方法点拨】
eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝
解：∵d＝1，S5＝15，
∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，
则S10＝10a1+d＝10+45＝55．
故答案为：55
点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．
eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．
解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．
∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，
该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．
∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，
n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，
∴．
点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．
【命题方向】
等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．
4．等差数列前n项和的性质
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝
【解题方法点拨】
等差数列的前n项和具有许多重要性质，如递增性、递减性、与通项公式的关系等．
﹣性质分析：分析等差数列的前n项和的性质，如递增性、递减性等．
﹣公式推导：根据等差数列的定义和前n项和公式，推导出数列的性质．
﹣综合应用：将前n项和的性质与其他数列性质结合，解决复杂问题．
【命题方向】
常见题型包括利用等差数列的前n项和的性质分析数列的递增性、递减性，结合具体数列进行分析．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15，则Sn的最小值为_____．
解：S3＝3a2＝﹣15，解得a2＝﹣5，
故等差数列{an}的公差d＝a2﹣a1＝﹣5﹣（﹣7）＝2，
∵a4＝a1+3d＝﹣1，a5＝a1+4d＝1，a3＝a2+d＝﹣5+2＝﹣3，
∴当n＝4时，Sn取得最小值S4＝a1+a2+a3+a4＝﹣7﹣5﹣3﹣1＝﹣16．
故答案为：﹣16．
5．等比数列的性质
【知识点的认识】
等比数列
（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，an为常数列．
等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an＝ap•aq．
等比数列的性质
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
【解题方法点拨】
例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝ ．
解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，
则18＝2q4，解得q2＝3，
∴y＝2q2＝2×3＝6．
故答案为：6．
本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．
6．等比数列通项公式的应用
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
【解题方法点拨】
﹣代入计算：将具体问题中的n值代入通项公式，计算数列的具体项．
﹣推导公式：根据实际问题推导出数列的通项公式，并应用于实际问题中．
﹣综合应用：将通项公式与其他数列性质结合，解决复杂问题．
【命题方向】
常见题型包括利用等比数列的通项公式计算具体项，推导数列公式，解决实际问题．
已知等比数列{an}的通项公式an＝3n+2（n∈N*），则该数列的公比是_____．
解：∵等比数列{an}的通项公式为an＝3n+2（n∈N*），
∴该数列的公比q＝＝＝3．
7．数列递推式
【知识点的认识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
【解题方法点拨】
数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
8．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
9．直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
10．空间向量的数量积运算
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角
已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作＜，＞．
2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量、，则||||cs＜，＞叫做向量与的数量积，记作•，即•＝||||cs＜，＞
（2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||csθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||csθ的乘积．
3．空间向量的数量积运算律
空间向量的数量积满足交换律和分配律．
（1）交换律：＝λ（）＝•（）
（2）分配律：．
4．数量积的理解
（1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用
（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）当时，由＝0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有
【解题方法点拨】
利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：
利用数量积求两点间的距离：
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||＝求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．
利用数量积证明垂直关系：
（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断时，须指明，；
（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量，，的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．
【命题方向】
求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．
例：已知2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），则•＝ ﹣7
分析：通过2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），求出向量的坐标，然后进行向量的数量积的坐标运算．
解答：∵2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），
∴＝（1，﹣3，1），
∴•＝1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1）＝﹣7；
故答案为：﹣7．
点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．
11．二面角的平面角及求法
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，
此时csθ＝cs＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞＜π时，θ＝π﹣＜，＞，
csθ＝﹣cs＜，＞＝﹣．
12．直线的一般式方程与直线的平行关系
【知识点的认识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．
13．恒过定点的直线
【知识点的认识】
﹣定点：直线总是通过一个固定的点（x1，y1）的方程形式为：
a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0
其中a和b是直线的方向向量分量．
【解题方法点拨】
﹣求方程：
1．已知定点：将定点（x1，y1）代入直线方程．
2．确定直线：确定直线方向向量，代入标准方程形式．
3．标准方程：得到直线方程如：
a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0
【命题方向】
﹣定点直线：考查如何找到所有恒过一个定点的直线方程，通常涉及固定点和直线方程的转换．
14．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
15．椭圆的几何特征
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
16．抛物线的焦点与准线
【知识点的认识】
抛物线的简单性质：
17．双曲线的几何特征
【知识点的认识】
双曲线的标准方程及几何性质
18．直线与圆锥曲线的综合
【知识点的认识】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【解题方法点拨】
例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．
解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），
∴c＝1，
∵，
∴a＝2，
∴，
所求方程为．
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而，，
设P（t，0），则
＝
当，
解得
此时对∀k∈R，；
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，，
对，，
即存在x轴上的点，使的值为常数．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【命题方向】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．
19．圆锥曲线的综合
【知识点的认识】
1、抛物线的简单性质：
2、双曲线的标准方程及几何性质
20．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
【解题方法点拨】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
21．归纳推理
【知识点的认识】
1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理．
推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，An，…}，
2．特点：
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；
（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
3．作用：
（1）获取新知，发现真理；
（2）说明和论证问题．
【解题技巧点拨】
归纳推理一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
【命题方向】
归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．
（1）考查对归纳推理理解
掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．
例1：下列表述正确的是（ ）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤
分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案．
解答：归纳推理是由部分到整体的推理，
演绎推理是由一般到特殊的推理，
类比推理是由特殊到特殊的推理．
故①③⑤是正确的
故选D
点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．
例2：下列推理是归纳推理的是（ ）
A．A，B为定点，动点P满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线
B．由a1＝2，an＝3n﹣1求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．
解答：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．
B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求．
C选项由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．
D选项用的是演绎推理，不符合要求．
故选B．
点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．
（2）考查归纳推理的运用
做题的关键是读懂题意．
例：对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：
22＝1+3
32＝1+3+5
42＝1+3+5+7
23＝3+5
33＝7+9+11
43＝13+15+17+19
根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n＝（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n的值．
解答：：m2＝1+3+5+…+11＝＝36，
∴m＝6
∵23＝3+5，33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
∴53＝21+23+25+27+29，
∵n3的分解中最小的数是21，
∴n3＝53，n＝5
∴m+n＝6+5＝11
故选B．
点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n的值是解题的关键．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
C
D
D
A
A
C
标准方程
（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在x轴上
（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在y轴上
图形


顶点
A（a，0），A′（﹣a，0）
B（0，b），B′（0，﹣b）
A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
离心率
e＝（0＜e＜1）
e＝（0＜e＜1）
准线
x＝±
y＝±
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝1
±＝1