初中数学北师大版（2024）八年级下册5 一元一次不等式与一次函数优质第一课时教学设计

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册5 一元一次不等式与一次函数优质第一课时教学设计，共9页。教案主要包含了教学内容解析，学习目标设置，学生学情分析，教学策略分析，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
一、教学内容解析
本节课选自北师大版八年级下册第二章第五节《一元一次不等式与一次函数》第一课时,在学完一次函数与二元一次方程关系之后，初步探究一元一次不等式与一次函数的联系，是学生建立方程、函数和不等式三者之间关系的起始课，经历数学学科内部知识之间的联系，完善学生的认知结构，并运用这种联系解决一些简单的实际问题，发展应用意识.通过讨论一次函数与一元一次不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点（尤其充分利用函数图象的直观性），结合数形结合思想，加深对已经学习过的不等式的认识，构建和发展方程、不等式、函数之间相互联系的知识体系.
通过本节课教学，让学生从整体上感受利用一次函数帮助解决一元一次不等式、一元一次方程问题.初步建立函数与方程的联系，做到“动心”，能对所发现的数学结论做出合理解释，做到“动脑”，利用函数观点正确解释代数问题的几何背景，做到“动手”，感知数形结合思想，发展抽象思维，做到“动情”.学会从不同角度解决问题的方法，建立自信心，提高学生自主、合作、探究学习的意识和能力，激发学生学习的兴趣，进一步发展应用意识；在独立思考的基础上，敢于发表自己的观点，尊重与理解他人的见解，培养积极大胆的探究意识和用函数解决问题的思维品质.同时方程、一次函数、一元一次不等式综合应用考查也是河南省历年中考热点.
基于以上分析，结合学生实际情况，本节课的重点确定为：一元一次不等式、一元一次方程、一次函数之间的内在联系.难点确定为：根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来.
二、学习目标设置
1.《课程标准》中关于本节课的相关要求
《数学课程标准（2022年版）》在课程内容的教学提示中指出：“理解函数与对应的方程、不等式的关系．”
“理解”在《课程标准》中被解释为“描述对象的由来、内涵和特征，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系．”
从认知角度分解课标:
知识分类
一次函数、一元一次不等式、一元一次方程
认知水平
运用
过程与方法：
操作、观察、发现，归纳
学科内涵
在带有方格的坐标系中画出一次函数的图象，先通过观察图象与轴（某一直线）交点的横坐标，从“形”的角度理解一元一次方程解的意义；再观察轴（某一直线）上方的图象与其对应的不等式的代数表达，从而建立一元一次不等式与一次函数“数”与“形”的关系；通过直观发现、计算确认，借助图象理解一次函数与对应的方程、不等式的关系，进而会用画一次函数图象的方法求出一元一次方程的解及一元一次不等式的解集.
从能力层次分解课标：
掌握
通过观察思考、小组交流归纳一元一次不等式的解集与其对应的两个一次函数图象交点横坐标的关系.
操作归纳
操作归纳
归纳总结
运用
通过解决实际问题灵活运用图象法和代数法解一元一次不等式
创造性解决
灵活运用
2.根据《课程标准》，确定本节课的学习目标为：
（1）通过观察一次函数图象求一元一次方程的解与一元一次不等式的解集，体会方程、不等式、函数之间的内在联系.
（2）通过用不同的方法解决具体问题，感受可以运用解不等式帮助研究函数问题，并体会数形结合思想.
（3）通过解决实际问题，感知不等式、方程、函数的不同作用与内在联系.
学习重点：一元一次不等式、一元一次方程与一次函数之间的内在联系.
学习难点：根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来.
通过小组合作、发现、探究、交流等活动，学生经历从简单到复杂的探究过程，感悟数形结合、转化等数学思想方法，提升学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力；通过自主探究、合作交流，用不同方法解决实际问题，发展学生勇于探索、善于发现、不畏艰难的思维品质和个人素养.
3.依据本节课的学习目标以及“教评学一致性”的思想，设计了如下评价任务：
评价任务一：以“旧”引“新”，以原有的知识为基础，利用初中生的好奇心，个别回答，提高学生的学习积极性.
评价任务二：通过观察函数图象，独立思考作答，进一步理解一次函数的有关知识，让学生从整体上感受利用一次函数图象可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题.
评价任务三：合作探究中，通过小组合作探究，让学生初步感受可以运用不等式帮助研究函数问题，体会一次函数与一元一次不等式相互渗透、相互作用，并尝试从不同角度思考问题、解决问题的方法，同时培养学生的数形结合意识.
评价任务四：在学生展示用不同方法解决问题的过程中，关注学生语言是否准确、全面，并让学生进一步体验到一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合是解决此类问题核心所在.
评价任务五：解决实际问题，感受函数、方程、不等式的作用,感受数学在生活中的应用价值.
三、学生学情分析
1.学生的认知特点及教学设计思路
八年级上学期学生已经学习了二元一次方程与一次函数的关系，为本节探究一元一次不等式与一次函数的关系奠定了必要的知识基础，而且已经具备了一定的推理能力和认识水平，掌握了基本的数学方法，会利用一次函数和一元一次不等式解决一些简单的实际问题，感受到了用数学知识解决实际问题的必要性和作用.在以前的学习中，通过经历合作学习的过程，具有一定的合作学习经验，提升了合作与交流的能力.但学生运用数学方法解决问题的能力不强，对知识的获取正处于从感性向理性转变的阶段.因此，在教学设计时，应遵循认知规律，由形象到抽象，由易到难，注重引导，提升学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.
2.难点突破技巧
问题：第一，尽管学生已经掌握了方程、函数和不等式的相关知识，但这些知识是零散的，不能融会贯通，不能灵活运用知识选择最优方法来解决问题.第二，学生对数形结合方法的运用不够熟练，缺乏全面分析问题的能力.第三，不能准确的找到问题的本质特征.因此，把函数关系式与一元一次不等式联系起来是本节课的难点.
该问题的解决措施是：一是利用学习准备部分，画出函数图象，为学生利用函数图象探索三者关系打下基础；二是充分利用学案导学；三是在学生交流讨论过程中，给予适当的引导，同时通过多媒体动画演示，学生得到直观的感受；四是加强语言表达训练，通过自主探究、合作交流，用不同方法解决实际问题，发展学生勇于探索、善于发现、不畏艰难的思维品质和个人素养.
四、教学策略分析
教学中将采用下列教学策略：
1.《数学课程标准(2022年版)》明确指出：数学学科核心素养在学生与情景、问题的有效互动中得到提升，在教学活动中，应结合教学任务及蕴含的数学学科核心素养，引导学生用数学的眼光观察现象，发现问题，使用恰当的数学语言描述问题，用数学的思想方法解决问题.本节课鼓励学生多向思考、多角度解决实际问题，引导学生初步感受一元一次不等式与一次函数内在联系.
2.以解一元一次方程和一元一次不等式为切入点，要求学生画出函数的图象，引导学生观察图象中各部分点(被轴分成的三部分)的纵坐标表示的数学意义,将图象与它的代数表示建立联系，并用语言分别概括出来，达到突破难点.其过程以学生“自主探究”为主，教师引导为辅，设计的问题从易到难，从简单到复杂，层层推进，让学生在观察、分析、比较和交流合作中形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.
3.设计的习题，让学生通过独立思考、同桌交流、小组合作、探究、分享、展示，不同方法的对比来渗透识图能力的培养和数形结合的思想.习题由易而难，在巩固的基础上有所提高，不同难度题目的设置让“不同的人在数学上得到不同的发展”.
五、教学过程设计
（一）复习回顾
1.什么是一次函数？
2.一次函数的图象是什么？
学生活动：学生先独立思考，再个别回答，引入新课.
【学习评价】以“旧”引“新”，以原有的知识为基础，利用初中生的好奇心，提高学生的学习积极性.
【设计意图】本环节学生独立完成，主要培养学生的问题意识，提高学生的学习积极性，为顺利进入课堂内容做好准备工作.
（二）活动探究、合作学习
1．活动一：探究一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.
函数的图象如图所示，观察图象回答下列问题.
（1）取哪些值时，? （2）取哪些值时，?
（3）取哪些值时，? （4）取哪些值时，?
活动要求：学生独立思考作答，教师及时进行补充、讲解说明,并总结.
（1）取何值时，？
解：当时，，.
∴当时，.
（2）取哪些值时，?
解：，即.
方法点睛：的解集，是当一次函数函数值时，对应自变量的取值范围. 在图象中，即直线在轴上方的部分所对应的自变量的取值范围.
（3）取哪些值时，?
解：当时，有.
方法点睛：的解集，是当一次函数函数值时，对应自变量的取值范围. 在图象中，即直线在轴下方的部分所对应的自变量的取值范围.
（4）取哪些值时，?
解：当时，有.
方法点睛：的解集，是当一次函数函数值时对应的自变量的取值范围. 在图象中，即直线在上方的部分所对应的自变量的取值范围.
归纳总结：任何一个以为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax＋b>0(a≠0，a，b为常数)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是求一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为常数)的函数值大于0时，自变量x的取值范围；反映在图象上，就是直线y＝ax＋b在轴上方的部分对应的自变量的取值范围．
【学习评价】通过观察函数图象，进一步理解一次函数的有关知识，让学生从整体上感受利用一次函数图象可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题；通过学生自主发言，关注学生的语言是否准确，总结是否全面，不足之处及时指出.
【设计意图】上面的四小题可以直接解不等式（或方程）求解，但这里意图是让学生通过观察图象得到不等式的解集.引导学生体会既可以运用函数图象解不等式，也可以运用解不等式帮助研究函数问题，初步体会函数和不等式二者之间是互相渗透，互相作用，并尝试从不同的角度思考解决问题的方法.
2.活动二：结合进一步探究一元一次不等式、一元一次方程与一次函数
的关系.
如果,那么当取哪些值时,? 当取哪些值时 ,? (学生先独立思考分钟，再小组交流分钟，展示、补充分钟.)
活动要求：先独立思考，再讨论交流不同的方法，展示讨论结果.
解：如图: 画出函数的图象.
方法一(代数法)：将函数转化成不等式.
解：，解得.
， 解得
方法二(图象法):
观察图象可知：当时，；当时，.
【学习评价】通过具体问题让学生初步感受可以运用不等式帮助研究函数问题，体会一次函数与一元一次不等式相互渗透、相互作用，并尝试从不同角度思考解决问题的方法.
【设计意图】通过完成活动二，让学生感受到一次函数与一元一次方程之间在“数”与“形”两个方面的关系，培养学生的数形结合意识，掌握用图象法解一元一次不等式和构造不等式解决函数问题.通过尝试从不同角度思考解决问题的方法，建立自信心，激发学生的学习积极性；通过小组交流、同桌交流，提高学生自主、合作、探究学习的意识和能力.
3.能力提升：（学生独立解答并展示5分钟）
已知，,当取何值时，?你是怎样做的?与同伴交流.
学生活动：学生独立解答，再讨论交流不同的方法，展示讨论结果.
方法一（代数法）：
解：根据题意，得,解得.
∴当时，.
方法二（图象法）：
解：如图所示：
当x取小于的值时，.
方法三（解方程法）：
解：，解得
结合函数图象，得出当时，.
【设计意图】解决这一问题，学生既可以用解方程的方法，也可以用解不等式的方法，还可以用函数图象法.一方面对上环节中解决此类问题的方法进行巩固，另一方面，让学生在自主学习的过程中进一步体验一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合是解决此类问题核心所在.
4.活动三：解决实际问题，感受函数、方程、不等式的作用(先独立思考3分钟，再展示3分钟).
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？
（2）何时哥哥跑在弟弟前面？
（3）谁先跑过20m?谁先跑过100 m?
解：兄弟俩赛跑的时间为秒，哥哥跑过的路程为，弟弟跑过的路程为.
根据题意，得，
函数图象如图：
从图象上来看：
（1）哥哥开始跑时,9s前弟弟跑在哥哥前面.
（2）9s后哥哥跑在弟弟前面.
（3）弟弟先跑过20m，哥哥先跑过100 m.
从学生的做题情况来看，85%的学生都能画出函数图象，并能借助函数图象完成上述问题.也有部分学生用列方程找到哥哥追上弟弟的时间，或直接用不等式解决问题.
【设计意图】通过实际问题的应用，让学生渗透函数、方程、不等式三者之间的内在联系，帮助学生从整体上认识不等式，感受函数、方程、不等式的作用；同时让学生感受到数学在生活中的应用价值.
【归纳总结】“关于一次不等式的问题”可转化为 “关于一次函数的值的问题”；反过来，“关于一次函数的值的问题”可转化为 “关于一次不等式的问题”.我们既可以运用函数图象解不等式，也可以运用解不等式帮助研究函数问题，二者相互渗透，互相作用.不等式、函数、方程是紧密联系着的一个整体,通过解决问题进一步培养学生的数形结合思想.
（三）畅谈收获
通过本节课的学习，你有哪些收获?
【设计意图】一方面鼓励学生从学会的知识和运用到的数学思想方法、积累的活动经验三个方面对本节课进行小结，让学生在课堂小结中学会听课，感受到数学的作用；另一方面让学生谈谈自己在这节课中的收获，不仅可以锻炼学生的语言组织能力，还可以提高学生对知识的归纳概括能力；还有什么困惑和期待学习的知识,感悟数学的价值.
（四）作业布置
1．课本51页第1、2题；
2．试一试：课本51页第3题.
【设计意图】作业分为必做和试一试，依据学生的学习基础，对不同层次的学生提出不同的要求.
（五）板书设计


六、教学反思
本节课的成功与遗憾：
成功之一：本节课先从观察一次函数图象入手，所以课前有必要复习函数的相关知识，从而顺利的进入到本节课的学习中.一元一次不等式、一元一次方程与一次函数之间的内在联系是本节课的重点，函数、方程、不等式又都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，本节课的目的就是通过具体问题渗透三者之间的内在联系，帮助学生从整体上认识不等式，感受函数、方程、不等式知识间的关联性.函数问题一直是难点问题，与不等式联系起来就更难了，这也是本节课的难点，部分学生学习起来有一定困难，所以，本节课注重设计问题串把复杂问题分解，降低难度.
成功之二：利用所学知识培养了学生数形结合的思想，让学生体会到华罗庚所说的“数无形时少直观，形无数时难入微”.数形结合思想是重要的数学思想之一，也是解决数学问题的重要方法之一，通过数和形相互转化我们常常能把数学问题化难为易,化抽象为具体.
遗憾之处：通过本节课的教学，我有很多感触，事实上，学生的潜能是不可低估的，教师应进一步大胆放手，给学生充分的自由空间，让他们探索、发现、表达，这样他们的求知欲望反而会更强烈，积极性和主动性会更高.