专题01 集合和常用逻辑用语（练习）-2025年高考数学二轮复习讲与练（北京专用）

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题型一：集合的基本概念
1．下列五个关系式中正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．3B．5C．4D．2
【答案】C
【详解】因为集合中的元素具有无序性，所以，故①正确；
因为且，所以，故②正确；
因为空集是不含任何元素的集合，所以，故③错误；
因为空集是任意非空集合的真子集，所以，故④正确；
因为集合中有一个元素0，所以，故⑤正确；
故选：C.
2．已知集合，且，则等于（ ）
A．或B．C．D．
【答案】C
【详解】当时，得. 此时. 此时集合.
因为不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去.
当时，解方程，即，可得或.
若，则，此时集合.
不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去.
若，则，此时集合. 符合集合元素的互异性.
故选：C.
3．已知全集且，则集合中的元素有（ ）
A．2个B．4个C．5个D．7个
【答案】B
【详解】依题意，，解不等式，得，则，
所以，集合中的元素有4个.
故选：B
4．设集合，则（ ）
A．对任意实数a，B．对任意实数a，
C．当且仅当时，D．当且仅当时，
【答案】C
【详解】对A，若，则，
将代入不全部满足，此时可知，故A错误；
对B，当时，则，
将代入全部满足，此时可知，故B错误；
对C，若，，解之可得，所以C正确；
对D，当，则，将代入不全满足，
所以，故D错误.
故选：C
5．已知集合，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由于元素与集合的关系是属于或不属于，不是包含关系，故A错误；
因为，
所以BC错误，D正确.
故选：D
6．下列表示正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）若，则；（5）.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】空集中不含任何元素，故（1）正确；空集是任何集合的子集，故（2）正确；
由得，所以，故（3）错误；
若，即集合是集合的子集，则，故（4）正确；
两个集合间的关系不能用符号，故（5）错误.
故选：C.
7．已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由集合中恰有2个元素，得方程有两个不相等的实数根，
因此，解得且，
所以的取值范围是.
故选：A
题型二：集合间的基本关系
8．设集合，则不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，显然A正确；B不正确；
因为是任何集合的子集；任何集合都是它本身的子集，故C、D正确；
故选：B.
9．设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）
A．2B．3C．7D．8
【答案】C
【详解】,
因为，
当时，，
当时，即时，令，解得，
则或，则对应实数的值为，
则实数a组成的集合的元素有3个，
所以实数a组成的集合的真子集个数有，
故选：C.
10．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
11．若全集且，则集合A的真子集的个数为（ ）
A．3B．6C．7D．8
【答案】C
【详解】∵全集且，
∴，
由于集合中有个元素，故集合A的真子集共有个.
故选：C.
12．已知集合，，，则、、的关系满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】,故,
由于，故，
由于为任意整数，故，因此,
,故，
故，所以，故选：B．
13．已知，若集合，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【详解】根据题意，故，则，
故，则，即，
当时，与集合的互异性相矛盾，故舍去，
当，时，，符合题意，
所以，
故选：C.
14．设集合，，则、的关系是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，
，
所以，.
故选：D
题型三：集合的运算
15．已知集合，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
故选：D
16．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据交集的概念和运算可得，
故选：B.
17．已知集合，则集合（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由，所以.
由，所以.
所以.
故选：C
18．已知集合，集合A，B，C满足：①每个集合恰有6个元素②，集合中元素最大值与最小值之和称为的特征数，记作. 则的最大值与最小值之和（ ）．
A．116B．132C．126D．114
【答案】D
【详解】因为满足:①每个集合都恰有个元素；②，
所以一定各包含个不同数值，
集合中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是18，13，8，
特征数的和最小，如：，特征数为；
，特征数为；
，特征数为；
则最小，最小值为；
当集合中元素的最小值分别是1，6，11，最大值是18，17，16时，
特征数的和最大，
如：，特征数为；
，特征数为；
，特征数为；
则最大，最大值为，
故的最大值与最小值的和为.
故选：D.
19．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由已知可得，，
所以.
故选：.
20．已知全集或，则集合（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【详解】因为全集或，
则，所以.
故选：B.
21．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由于集合，，
所以，
故选：.
题型四：充分条件与必要条件
22．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由解得；
由解得；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
23．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为，所以，
故，即是奇函数，
若，可得，故，
可得，故充分性成立，
令，，此时满足，
但不满足，故必要性不成立，故A正确.
故选：A
24．已知直线m，n，平面，那么“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】当时，由于，可以得到，充分性成立，
但不能推出，因为可能在内，必要性不成立.
故选：C
25．设，是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】当时，.
则，，故，即.
故“”是“”的充分条件；
当时有，
故当时，，即或，
当时，，即.
故“”不是“”的必要条件；
综上有“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
26．设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】B
【详解】由题设，，，…，中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，
要使最大，则各集合中（）尽量小，
所以集合，，，…，的元素个数尽量少且数值尽可能连续，
所以，不妨设，有，
当时，，
当时，，
只需在时，在上述特征值取最小情况下，使其中一个集合的特征值增加5即可，故的最大值为11.
故选：B
27．已知直线：，曲线：，则“与相切”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】易知曲线：可化为，表示圆心为，半径的上半圆；
易知直线可化为，
当时，圆心到直线的距离为，
此时与下半圆相切，如下图所示，不合题意，即必要性不成立；
若与相切，可知，解得或；
检验可知只有当时，直线与相切，即可得，所以充分性不成立；
所以“与相切”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
28．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】，解得：，
集合，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
题型五：全称量词与存在量词
29．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】命题“”的否定为：.
故选：D
30．记命题：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【详解】由命题：，，
可知：，，
故选：C.
31．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【详解】由全称命题的否定是特称命题，则原命题的否定为，.
故选：B
32．已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由于“，”为假命题，
故其否定为“，”为真命题，
则，得，
故选：D
33．已知命题，，命题，恒成立.若和至多有一个为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】当命题为真命题，即，使成立，得到，即，
当命题为真命题，即对，恒成立，得到，
即，
所以当命题和命题同时为真命题时，有，即，
又命题和命题至多有一个为真命题，所以或，
故选：D.
34．若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由命题“”为假命题，则命题“”为真命题，
即不等式在上恒成立，
则满足，解得，即实数的取值范围是.
故选：D.
35．命题“”为假命题的一个充分不必要条件是 .
【答案】（答案不唯一）
【详解】由题设，为假命题，故为真命题，
又在上递增，则，只需即可，
所以，原命题为假命题的一个充分不必要条件是.
故答案为：（答案不唯一）
题型六：以集合为载体的创新题
36．设集合，，，中至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则；则集合可以是（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）
【答案】C
【详解】对于（1），易知，所以应有，矛盾，即（1）错误；
对于（2），易知，且，
则可取满足题意，即（2）正确；
对于（3），易知，所以应有，矛盾，即（3）错误；
对于（4），易知，且
，
则可取满足题意，即（4）正确；
故选：C.
37．设集合，在上定义运算，其中为被3除的余数，，，则使关系式成立的有序数对共有（ ）
A．0对B．2对C．3对D．4对
【答案】C
【详解】由定义可知满足成立的有序数对应保证除以3的余数加后除以3等于0，
除以3的余数是0，除以3的余数是0；
除以3的余数是1，除以3的余数是1；
除以3的余数是2，除以3的余数是2；
除以3的余数是1，除以3的余数是2；
除以3的余数是2，除以3的余数是0；
除以3的余数是0，除以3的余数是1；
除以3的余数是2，除以3的余数是1；
除以3的余数是0，除以3的余数是2；
除以3的余数是1，除以3的余数是0；
所以满足条件的数对有，共3对，
故选：C.
38．用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【详解】，要使，
则或.
当时，，满足.
当时，首先有两个不同的解或，
其次，对于，，
当时，或，
当时，，，
此时，满足.
当时，，，
此时，满足.
当，即时，无解，不符合题意.
当，即或时，
的解为或，
不是的解，
由，解得，
当时，，满足，
当时，，满足，
当时，，不符合题意.
综上所述，.
故选：B
39．已知集合．若，且对任意，，均有，则集合中元素个数的最大值为（ ）
A．20B．19C．11D．10
【答案】B
【详解】
由题知：集合．若，且对任意，，均有，
作如下等价转化：在符合题意的这些点中怎样取，保证趋势不下降的同时取的点最多，
因此集合中元素个数最大时元素可以为：共个，
也可以是共个，（还有其他取法只要保证这些点的趋势不下降即可）.
故选：B.
40．设集合． 对于集合的子集A，若任取A中两个不同元素，有，且中有且只有一个为，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是（ ）
A．一个“好子集”中最多有个元素B．一个“好子集”中最多有个元素
C．一个“好子集”中最多有个元素D．一个“好子集”中最多有个元素
【答案】A
【详解】中有且只有一个为，不妨设，
则三者为1或0，
若三者均为0，则此时A中只有1个元素，即，
不合要求，舍去，
若三者中有1个0，则，有3个元素，满足要求，
若三者中有2个0，或没有0，则此时不满足，
综上，一个“好子集”中最多有个元素.
故选：A
41．已知集合，若对于任意，以及任意实数，满足，则称集合I为“封闭集”．下列说法正确的是（ ）
A．集合为“封闭集”
B．集合为“封闭集”
C．若是“封闭集”，则A，B都是“封闭集”
D．若A，B都是“封闭集”，则也一定是“封闭集”
【答案】B
【详解】设，，,；
则，即可得，则点在线段上，
由题意可得，若对于任意，线段上一点，都有，则集合为“封闭集”，
对于A，集合，，若对于任意的，，，满足，则，
函数如下图，显然线段上任意一点,，不一定满足，
图中所示，即；
故集合,不为“封闭集”，即A错误；
对于B，若,，对于任意的,，,满足，，则，
函数如下图，显然线段上任意一点,，都有，即；

故可得集合,为“封闭集”，即B正确；
对于C，由选项A可知集合,不是“封闭集”，
根据对称性，如图1可知,不是“封闭集”，
则表示集合为阴影部分表示的点构成的区域如图2，显然任意的，
则线段上任意一点，都有,故是“封闭集”，故C错误，

对于D，若，都是“封闭集”，不妨取,，,；
对于任意的,，,满足，，则，
函数如下图，显然线段上任意一点,都有，即；

故,为“封闭集”，同理可得,也为“封闭集”；
而的图象如下：显然，但线段上任意一点不满足，也不满足，即，

即不一定是“封闭集”，即D错误．
故选：B．
42．定义：若对平面点集中的任意一点，总存在正实数，使得集合，则称为一个“开集”．给出下列集合：
①；②；
③；④．
其中为“开集”的是 ．
【答案】②④
【详解】①表示以原点为圆心，1为半径的圆，
则在该圆上任意取点，以任意正实数为半径的圆面，
均不满足故①不是开集；
②，在平面点集中的任取一点，
设该点到直线的距离为，取，
则满足，故该集合是开集；
③，在曲线任意取点，以任意正实数为半径的圆面，
均不满足，故该集合不是开集；
④，表示以点为圆心，为半径除去圆心和圆周的圆面，
在该平面点集中的任一点，则该点到圆周上的点的最短距离为，取，
则满足，故该集合是开集．
故答案为：②④.
43．已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于中的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”．
①集合与是集合的“好子集”的是 ；
②集合的“好子集”所含元素个数的最大值为 ．
【答案】
【详解】①由于整除，所以集合不是集合的“好子集”；
由于不能整除，不能整除，不能整除，所以集合是集合的“好子集”；
②若集合是集合的“好子集”，则，因为若，则会被整除；
，因为若，则同为奇数或偶数，则为偶数，则能被整除，所以；
所以
设集合是集合的一个“好子集”，
令，
，，…，，
于是累加得，
从而，所以，
另一方面，取，其中任意两元素差值都不能整除，故其是“好子集”，
此时集合有个元素，且是集合的一个“好子集”，
故集合的“好子集”所含元素个数的最大值为.
故答案为：；
1．（2024·北京朝阳·二模）已知是两个互相垂直的平面，是两条直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由题意知，，
若，当时，有；当时，与可能相交、平行、垂直.
若，由，得.
故“”是“”是必要不充分条件.
故选：B
2．（2024·北京东城·二模）已知平面向量，，，是单位向量，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】因为平面向量，，，是单位向量，且，
不妨设，
若，例如，
满足，但，即充分性不成立；
若，例如，
满足，但，即，即必要性不成立；
综上所述：“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3．（2024·北京东城·二模）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】，
所以.
故选：A.
4．（2024·北京西城·二模）已知．则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当时，则，当且仅当时取等，所以充分性成立，
取，满足，但，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2024·北京昌平·二模）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为，当时，，又，所以，即可以推出，
如图，在正方体中，取平面为平面，平面为平面，直线为直线，直线为直线，
显然有，，但，即推不出，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
6．（2024·北京昌平·二模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，则或，
所以，所以.
故选：D.
7．（2024·北京丰台·二模）已知等差数列的公差为，首项，那么“”是“集合恰有两个元素”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】对于充分性，已知等差数列的公差为，首项，
当“”时，集合恰有两个元素，
故充分性成立，对于必要性，当时，
“集合也恰有两个元素”，故必要性不成立，
故“”是“集合恰有两个元素”的充分而不必要条件.
故选：A
8．（2024·北京丰台·二模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】集合，
，，.
故选：C
9．（2024·北京·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，又，故.
故选：B.
10．（2024·北京房山·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由可得：，
解得：，
所以“”能推出“”，
但“”推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
11．（2024·北京房山·一模）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为全集，集合，
所以.
故选：B.
12．（2024·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】对于函数
当时，，为常数函数，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分而不必要条件.
故选：A.
13．（2024·北京海淀·一模）设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】，且，所以，又，所以，充分性满足，
如图：满足，，但不成立，故必要性不满足，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.

14．（2024·北京海淀·一模）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】全集，集合，
所以.
故选：D
15．（2024·北京·模拟预测）已知为不共线的两个单位向量，为非零实数，设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】已知为不共线的两个单位向量，为非零实数，设，
则此时
，
而向量夹角范围是，当时，严格单调递减，
从而，
综上所述，在题设条件下“”是“”的充要条件.
故选：C.
16．（2024·北京西城·二模）设集合，如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”.
(1)当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由；
(2)若为集合的“相关数”，证明：；
(3)给定正整数，求集合的“相关数”m的最小值.
【详解】（1）解：当时，，
①对于的含有5个元素的子集，
因为，所以5不是集合的“相关数”；
②的含有6个元素的子集只有，
因为，所以6是集合的“相关数”．
（2）证明：考察集合的含有个元素的子集，
中任意4个元素之和一定不小于，
所以一定不是集合的“相关数”；
所以当时，一定不是集合的“相关数”，
因此若为集合的“相关数”，必有，
即若为集合的“相关数”，必有.
（3）解：由（2）得，
先将集合的元素分成如下组：，
对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合，
再将集合的元素剔除和后，分成如下组：，
对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合，
这一组与上述三组中至少一组无相同元素，
不妨设与无相同元素，此时这4个元素之和，
所以集合的“相关数”的最小值为.目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc181640862" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc181640862 \h 2
\l "_Tc181640863" 题型一：集合的基本概念2
\l "_Tc181640864" 题型二：集合间的基本关系4
\l "_Tc181640865" 题型三：集合的运算7
\l "_Tc181640866" 题型四：充分条件与必要条件9
\l "_Tc181640867" 题型五：全称量词与存在量词12
\l "_Tc181640868" 题型六：以集合为载体的创新题14
\l "_Tc181640869" 02 重难创新练22