专题02 不等式与复数（练习）-2025年高考数学二轮复习讲与练（北京专用）

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题型一：利用基本不等式比较大小
1．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，正切函数的性质，以及指数函数与对数函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，，其中，但的符号不确定，所以A不正确；
对于B中，例如，此时，所以B不正确；
对于C中，由函数在上为单调递减函数，
因为，所以，可得，所以C正确；
对于D中，例如，此时，所以D不正确.
故选：C.
2．设，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】举反例即可求解ABD,根据导数求证即可判断C.
【详解】对于A，取，则，故A错误，
对于B，，则，故B错误，
对于C，由于，故在单调递减，故，因此，
由于，所以，故，C正确，
对于D, ,则，故D错误，
故选：C
3．设，其中，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.
【详解】由，故，故，
由对勾函数性质可得，
，且，
综上所述，有.
故选：C.
4．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】举出反例即可判断ABD，利用作差法即可判断C.
【详解】当时，，故AD错误；
当时，，故B错误；
对于C，因为，所以，因为，所以且，
则，
所以，故C正确.
故选：C.
5．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】取特殊值即可判断A、C、D选项，因式分解即可判断B选项.
【详解】对于A，令，显然，错误；
对于B，，
又不能同时成立，故，正确；
对于C，取，则，错误；
对于D，取，则，错误.
故选：B.
6．若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，因为，可得，当不确定，所以A错误；
对于B中，只有当不相等时，才有成立，所以B错误；
对于C中，例如，此时满足，但，所以C错误；
对于D中，由不等式的基本性质，当时，可得成立，所以D正确.
故选：D.
7．已知，下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】A作差法比较大小；B特殊值法，令即可判断正误；C根据指数函数的单调性判断大小关系；D令，利用对数函数的性质判断即可.
【详解】A：，又，则，，故，即，错误；
B：当时，不成立，错误；
C：由，则，正确；
D：由，即，当时有，错误.
故选：C
8．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质、对数的运算法则及基本不等式判断即可.
【详解】因为，，
又，，所以，
且，所以，
所以.
故选：A
9．若实数、满足，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】对于D，结合对数函数的单调性即可判断；对于ABC，取，即可判断.
【详解】由题意，，所以，故D正确；
当，时，，但，，，故A，B，C错误.
故选：D.
10．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD.
【详解】，，即，故A正确；
取，则不成立，故B错误；
取，则不成立，故C错误；
取，则，故D错误.
故选：A
题型二：利用基本不等式求最值
11．设，，.若，，则最大值为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】C
【分析】先利用指、对数的关系，用表示，再利用基本不等式求最大值.
【详解】∵，，，，
∴，，
∴，
当且仅当，时取等号.
∴的最大值为1.
故选：C.
12．下列函数中，是偶函数且有最小值的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】判断二次函数的对称轴，可得函数不是偶函数，判断选项A，根据函数的定义域判断选项B，判断得，从而得函数为偶函数，结合三角函数的性质可判断得该函数不具有最小值，从而判断选项C，根据，得函数为偶函数，再利用基本不等式求解出最小值，即可判断选项D.
【详解】对A，二次函数的对称轴为，
不是偶函数，故A错误；
对B，函数的定义域为，
定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；
对C，，
定义域为，所以函数是偶函数，
结合三角函数的性质易判断函数无最小值，故C错误；
对D，，定义域为，
所以函数是偶函数，因为，，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以函数有最小值，故D正确.
故选：D
13．已知，则的最小值为（ ）
A．－2B．0C．1D．
【答案】B
【分析】由基本不等式求得最小值．
【详解】∵，∴，当且仅当即时等号成立．
故选：B．
14．设，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据基本不等式判断充分性，根据举反例说明必要性不成立，即可得结论.
【详解】因为，，则，当且仅当时等号成立，故充分性成立；
若，满足，但，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
15．已知，，，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】因为，，，
所以,
当且仅当时等号成立,
故选:B
16．在ΔABC中，，，则ΔABC的最大周长是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由余弦定理变形为含的式子，利用均值不等式求解.
【详解】由余弦定理知，,
即，
故，当且仅当时等号成立
解得，又，
所以，
故周长，
故选：B
17．设，.若是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．8
【答案】C
【解析】先根据等比中项的性质求得的值，利用“1”的变换得，展开后利用基本不等式求最小值.
【详解】由条件可知，即，
所以，
当时，即时，等号成立.
故选：C
18．已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【解析】根据平面向量的数量积的应用，利用基本不等式即可求解．
【详解】平面向量，的夹角为，
，
，
则，
当且仅当时取等号，
故的最小值为，
故选：．
19．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把要求的式子变形为，再利用基本不等式求得它的最小值．
【详解】已知，，，
则，
当且仅当 时，即当，且，等号成立，
故的最小值为，
故选：．
20．已知a>0，b>0，a+b =1，若 α=，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】根据题意，将a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】∵a>0，b>0，a+b=1，
∴，
当且仅当时取“＝”号．
答案：C
题型三：复数的基本考点
21．在复平面内，点对应的复数为，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算及复数对应点求参即可.
【详解】因为对应点为,
所以,
即得.
故选：D.
22．已知为纯虚数，则实数（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的乘方运算化简，再根据实部为，虚部不为得到方程（不等式）组，解得即可.
【详解】因为，
又为纯虚数，所以，解得.
故选：D
23．在复平面，复数z对应的点坐标为，则（ ）
A．iB．-iC．D．
【答案】B
【分析】由题可得，再由复数除法法则即可求解.
【详解】z对应的点坐标为，所以，
所以
故选：B.
24．已知复数，则在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据条件，利用复数的运算法则及共轭复数的定义得到，即可求出结果.
【详解】由，得到，
所以，其对应点为，位于第三象限.
故选：C.
25．若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】由复数概念求出参数，结合复数四则运算即可求解.
【详解】由是纯虚数可知，所以，
故选：A
26．在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标是，则的虚部是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】根据共轭复数的定义结合虚部的定义即可得解.
【详解】因为复数的共轭复数对应的点的坐标是−1,1，所以，
所以，即的虚部是.
故选：A.
27．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由复数的几何意义得出，再运算化简即可.
【详解】复数对应的点的坐标是，所以，，
所以.
故选：D．
28．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的除法运算，化解复数，并结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】复数，所以复数对应的点为，为第一象限的点.
故选：A
29．已知复数，则=（ ）
A．B．5C．3D．
【答案】D
【分析】由复数乘法以及模的运算公式即可求解.
【详解】由题意，则.
故选：D.
30．复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用复数的乘法化简，再利用复数的相关概念求解.
【详解】解：，
复数的虚部为．
故选：．
题型四：复数的高级考点
31．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由复数的几何意义和复数的运算求出结果即可.
【详解】由题意可得，
所以，
故选：A.
32．已知，其中为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的乘、除法运算可得，进而，结合复数的乘法计算即可求解.
【详解】由题意知，，
所以，
所以.
故选：B
33．若为虚数单位，复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先化简复数，再求共轭复数.
【详解】，则.
故选：D
34．复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】利用复数除法法则及复数的概念即可求解.
【详解】由，得，
所以复数的虚部为.
故选：D.
35．若复数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由复数的运算，即可得到结果.
【详解】由可得.
故选：C
36．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】直接利用复数的除法运算，结合复数的几何意义即可.
【详解】复数，
则其在复平面所对应的点为，故其在第四象限，
故选：D.
37．复数的模（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】D
【分析】首先根据体题意得到，再求模长即可.
【详解】，
所以.
故选：D
38．若（其中i为虚数单位），，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将代入中，进行分母有理化，再代入求模公式求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：A.
39．在复平面内，复数z满足，则复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】先求出复数z，即可求出答案.
【详解】，复数z对应的点为
则复数z对应的点位于第四象限
故选：D.
40．已知复数满足，则复数的模为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】求出复数后可求其模，从而可得正确的选项.
【详解】，故，
故选：A.
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc181640862" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc181640862 \h 2
\l "_Tc181640863" 题型一：利用基本不等式比较大小2
\l "_Tc181640864" 题型二：利用基本不等式求最值6
\l "_Tc181640865" 题型三：复数的基本考点10
\l "_Tc181640866" 题型四：复数的高级考点13