模块二 函数与导数（测试）-2025年高考数学二轮复习讲与练（北京专用）

这是一份模块二 函数与导数（测试）-2025年高考数学二轮复习讲与练（北京专用），文件包含模块二函数与导数测试-2025年高考数学二轮复习讲与练北京专用原卷版docx、模块二函数与导数测试-2025年高考数学二轮复习讲与练北京专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
（北京专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】要使得函数有意义，则，解得，故定义域为.
故选：C.
2．已知函数，，则实数（ ）
A．1B．-1C．D．0或1
【答案】A
【详解】令，则，由，得，
于是，
由，得，，所以.
故选：A
3．若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可得，解得，
所以实数a的取值范围是，
故选：D.
4．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．存在最大值
B．的解集为
C．在上单调递减
D．对任意，有
【答案】D
【详解】如图所示，函数在处函数没有最大值，故A错误，
对于B，的解集为，故B错误；
对于C，函数在单调递增，在和单调递减，故C错误；
对于D，如图所示，函数为非奇非偶函数，
故对任意的，有，故D正确.
故选：D.
5．已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】∵是偶函数，
∴，即，
∴，即，故选项B正确.
由得的对称轴为直线，
由在单调递增得在上单调递减，
∴，，的正负不确定，选项A，C，D错误.
故选：B.
6．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，，，
又函数在上单调递增，
所以，所以函数在12,1存在零点.
故选：B.
7．定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由可得，
即关于对称，即，
由可得关于对称，
即，所以，
令，则，代入可得，
即，则，
所以的周期为，
由是定义在R上的函数，且关于对称，
可得，又当时，，
即，所以，
当时，，
且关于对称，则时，，
又关于对称，则时，，
即在一个周期内的值域为，则的最小值为.
故选：B
8．设，，.若，，则最大值为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】C
【详解】∵，，，，
∴，，
∴，
当且仅当，时取等号.
∴的最大值为1.
故选：C.
9．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．72B．73C．74D．75
【答案】B
【详解】由题，，所以，
又由题当时，，即，
所以，令即即，
解得，故，
所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73.
故选：B.
10．利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，，则下列命题不正确的是（ ）
A．有且只有一个极值点B．在上单调逆增
C．存在实数，使得D．有最小值
【答案】C
【详解】由得，令，
则函数可以看作为函数与函数的复合函数，
因为为增函数，所以与单调性、图象变换等基本一致，
，
由得，列表如下：
由表知，在上单调递减，在上单调递增，
在时，取得极小值（最小值），
所以在上单调递增，即B正确；
在时，取得唯一极值（极小值，也是最小值），即A、D都正确，C错误.
故选：C.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知，若，则 .
【答案】或
【详解】因为且，
所以或，解得或.
故答案为：或
12．已知：设函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，若，则在区间内无零点．能说明为假命题的一个函数的解析式是 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解析式为.
函数的定义域为，所以函数在区间0,+∞上的图象是一条连续不断的曲线，
因为，，所以，
又，在区间内有零点，
所以为假命题.故答案为：（答案不唯一）.
13．已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为 .
【答案】(答案不唯一)
【详解】，由题意可知，，
即，所以，得，，，
或，得，，，
所以，，,
所以的一个取值为.
故答案为：(答案不唯一)
14．已知函数给出下列四个结论：
①存在实数，使得函数的最小值为；
②存在实数，使得函数的最小值为；
③存在实数，使得函数恰有个零点；
④存在实数，使得函数恰有个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③
【详解】当时，，显然函数的最小值为，故①正确；
当时，，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以时，有最小值，由可得，
此时，时，，在上单调递减，所以，
与最小值为矛盾，
若时，的对称轴方程为，当时，
即时，，若，则与矛盾，
当时，在上单调递减，无最小值，
综上，当时，函数的最小值不为，故②错误；
由②知，时，时，单调递减且，当时，且，所以函数恰有2个零点，故③正确；
当时，且仅有，即有且只有1个零点，
当时，且仅有，即有且只有1个零点，
综上时，有且只有1个零点，而在上至多有2个零点，
所以时，函数没有4个零点，当时，函数有无数个零点，故④错误.
故答案为：①③
15．若函数的图象上存在不同的两点，坐标满足关系：，则称函数与原点关联．给出下列函数：
①； ②； ③； ④．
其中与原点关联的所有函数为 （填上所有正确答案的序号）．
【答案】①②④
【详解】设，则，
由题意可知，即，即，
所以，又，
所以，即共线，亦即三点共线，
也即存在过原点的直线与函数的图象有两个不同的交点，称为西数函数与原点关联.
对于①，易知函数经过原点，且图象关于原点对称，存在点A、B与点O三点共线，故①是与原点关联的函数；
对于②，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图，
所以存在实数k使得直线与函数图象在R上有3个交点，
即存在点A、B与点O三点共线，故②是与原点关联的函数；
对于③，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图，
所以存在实数k使得直线与函数图象在上有1个交点，
即不存在点A、B与点O三点共线，故③不是与原点关联的函数；
对于④，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图，
所以存在实数k使得直线与函数图象在上有2个交点，
即存在点A、B与点O三点共线，故④是与原点关联的函数；
故答案为：①②④.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（13分）已知函数.
（1）若，点为曲线上的一个动点，求以点为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；
（2）若函数在上为单调增函数，试求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）因为函数，所以，
因为，所以，设，所以，
所以当时，切线斜率最小，最小值为，此时切线过点，
所以过点切线方程为，即．
（2）因为，函数在上为单调增函数，
所以对任意的，恒有，
所以，即，
因为，当且仅当时“”号成立，
所以．
17．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）证明：对任意，都有成立．
【答案】（1）最小值为0；（2）证明见解析；
【详解】试题分析：（1）根据导数可得出函数在上单调递减，在上单调递增，由单调性即可知函数在区间上的最小值为；（2）由（1）可知，的最小值为，对求导，根据单调性知，的最大值为，因此对任意，都有成立．
试题解析：（Ⅰ）由，可得．当单调递减，当
单调递增．所以函数在区间上单调递增，又，所以函数在区间上的最小值为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在时取得最小值，又，可知．
由，可得．所以当单调递增，
当单调递减．所以函数在时取得最大值，
又，可知，所以对任意，都有成立．
18．（13分）已知函数R）．
（Ⅰ）求函数的定义域，并讨论函数的单调性；
（Ⅱ）问是否存在实数，使得函数在区间上取得最小值3？请说明由．
【答案】（I）定义域为，单调区间见解析；（II）存在实数，使得在区间上取得最小值3.
【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，且．
当时，，，函数在上是增函数；
当时，令，得．在区间上，函数在上是减函数；
在区间上，函数在上是增函数．
综上所述：当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数，在上是增函数.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
（1）若，则在区间上，函数在上是增函数，
此时，取最小值，
由，得；
（2）若则在区间上，函数在上是减函数，
此时，取最小值，
由，得；
（3）若，
则在区间上，函数在上是减函数，
在区间上，函数在上是增函数，
此时，取最小值，
由，得；
综上所述，存在实数，使得在区间上取得最小值3．
19．（15分）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，证明：在上单调递增；
(3)判断与的大小关系，并加以证明．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)，证明见解析
【详解】（1）,所以，．
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）由题设，．
所以．
当时，因为，所以．
所以在上单调递增．
（3）．
证明如下：
设．则．
由（2）知在上单调递增，所以．
所以，即在上单调递增．
所以，即．
20．（15分）已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间；
(3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围．
【答案】(1)；(2)单调递减区间为和，单调递增区间为；
(3)．
【详解】（1）因为，所以．
所以．所以，．
所以曲线y=fx在点处的切线方程为，即．
（2）因为，定义域为，
所以．
因为，令，即，
解得，，所以．
当x变化时，f′x，的变化情况如下表所示．
所以的单调递减区间为和，单调递增区间为．
（3）在（2）的条件下，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
因为对于任意，不等式成立，
所以，，．
所以，得，，得；
，得．
因为，
所以．
所以a的取值范围是．
21．（15分）已知函数.
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)讨论的单调区间；
(3)若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：）
【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).
【详解】（1），，又，，
故的图象在点处的切线方程为，即.
（2），又x>0，，
则时，当，>0，y=f(x)单调递增；当，，y=f(x)单调递减；
00，y=f(x)单调递增；
当，，y=f(x)单调递减.
综上所述：当，的单调增区间为，单调减区间为；
当0