重难点05：构造函数证明不等式-2025年高考数学二轮复习讲与练（北京专用）

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一、不等式的证明
证明不等式的过程中常使用构造法，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：
(1)直接构造法：直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，
指数：Ⅰ：放缩成一次函数（重点）
Ⅱ：二次函数处在特殊位置相切的放缩表达式
①处的相切构造：；．
②处的相切构造：．
Ⅲ：反比例函数在特殊位置相切的放缩表达式
①处的相切构造，或者切点为，利用 ，或者证明过程用求切线方程或者参照“指数找基友”即可．
②处的相切构造证明过程按照“指数找基友”即可．
对数放缩：分类：（1）放缩成一次函数
（2）放缩成二次函数
（3）放缩成反比例函数
（4）放缩成双撇函数
（5）指对及三角函数放缩
(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；
(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．
二、题型精刷精练
【题型训练-刷模拟】
1．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值与最小值；
(3)当时，求证：．
【答案】(1)(2)见解析(3)证明见解析
【详解】（1），，，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2），
当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增，
所以函数的最小值为，最大值为，
当时，，得，
在区间小于0，函数单调递减，
在区间大于0，函数单调递增，
所以函数的最小值为，
，，显然，所以函数的最大值为，
综上可知，当时，函数的最小值为，最大值为，
当时，函数的最小值为，最大值为；
（3）当时，，即证明不等式，
设，，，
设，，，
所以在单调递增，并且，，
所以函数在上存在唯一零点，使，
即，则在区间，，单调递减，
在区间，，单调递增，
所以的最小值为，
由，得，且，
所以，所以，即.
2．设函数，曲线在点处的切线斜率为1．
(1)求a的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求证：．
【答案】(1)(2)单调递减区间为，单调递增区间为(3)证明见解析
【详解】（1）由题意得的定义域为，，
因为．所以，解得.
（2）因为，的定义域为，
，令，得，
与在区间0,+∞上的情况如下：
所以的单调递减区间为，单调递增区间为0,+∞；
（3）证明：由（2）得，在时，取得最小值1，所以f′x>0恒成立，
所以在为增函数，又因为，
当时，，所以；
当时，，所以，当x=0时，，综上，.
3．已知函数.
(1)求曲线的斜率为1的切线方程；
(2)证明：；
(3)设，求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)，
【详解】（1）因为，所以，令，
解得，则，所以切点为，切线的斜率，
所以切线方程为，即.
（2）因为定义域为，且，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，所以，所以.
（3）因为，，
则，
令，则，
所以时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，
，
所以使得，所以当时，当时，当时，
即当时，当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，在处取得极大值，
又，，又，
所以，
由（2）知，，则，
所以，.
4．已知函数．
(1)若函数在点处的切线平行于直线，求切点P的坐标及此切线方程；
(2)求证：当时，．（其中）
【答案】(1)，切线方程为(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得，，所以切线斜率，
所以，即，此时切线方程为；
（2）令，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又，，
所以，即恒成立，
所以当时，．
5．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）解：因为，则，
所以，，，
所以，曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）解：令，其中，
，
令，其中，
则，
当时，且不恒为零，所以，函数在上单调递增，
所以，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，即.
6．已知函数．
(1)时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)证明不等式恒成立．
【答案】(1)(2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.(3)证明见解析.
【详解】（1）时，，依题意切点坐标为，
，所以函数在处的切线的斜率为，
故函数在处的切线方程为，即.
（2）的定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，
时，，单调递增，时，，单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）要证恒成立，即证恒成立，
令，，由（2）可知，
在上单调递增，在上单调递减，
所以恒成立，
即有时恒成立，当且仅当时取“=”号，
亦有即恒成立，当且仅当，即时取“=”号.
所以一方面，当且仅当，即时取“=”号，
另一方面恒成立，当且仅当时取“=”号，
所以恒成立，原不等式得证.
7．已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)当时，求函数的最小值；
(3)证明：
【答案】(1)(2)(3)证明详见解析
【详解】（1）.
所以，，
所以在点处切线的方程为，即.
（2）当时，，，
令，则.
当时，，所以在单调递减.所以.
所以，函数在上单调递减.函数在上单调递减.
所以，即函数的最小值为.
（3）由（2）可知在上单调递减.
又因为，所以.所以，即
8．已知函数.
(1)当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）证明：；
(2)若函数的极大值大于0，求a的取值范围.
【答案】(1)（i） ；（ii）证明见解析；(2).
【详解】（1）， ，，
（i）在处的切线方向为；
（ii）令 ，则 ，当时 单调递减，
当时单调递增，在处取得最大值 ，
；
（2）由题可知 ，则 ，
，
，令 ，
当 时是减函数，当 时是增函数，
处取得极大值，也是最大值， ，
令 ，显然是增函数，欲使得 ，
，即 ，解得 ，
所以a的取值范围是 .
9．已知.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)求证：；
(3)若在恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【详解】（1）解：当时，，则，
则，，所以，函数在点处的切线方程为.
（2）解：当时，，该函数的定义域为，
则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，即.
（3）解：，则，且，
由题意可知，对任意的，.
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，所以，.
①当时，即当时，，
此时函数在上单调递增，
故当时，，合乎题意；
②当时，即当时，由可得，即，
此时，
解得，，则，
由韦达定理可得，必有，
当时，，此时函数单调递减，则，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
10．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，证明：在上单调递增；
(3)判断与的大小关系，并加以证明．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)，证明见解析
【详解】（1）,所以，．
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）由题设，．
所以．
当时，因为，所以．所以在上单调递增．
（3）．
证明如下： 设． 则．
由（2）知在上单调递增，所以．
所以，即在上单调递增．
所以，即．
11．已知函数，.
(1)当时，若曲线与直线相切于点，求点的坐标；
(2)当时，证明：；
(3)若对任意，不等式恒成立，求出的取值范围.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【详解】（1）当时，.
设，则切线斜率.由切点性质，得，解得.
所以点的坐标.
（2）当时，，其中，则，
令，其中，则，
故函数在上单调递增，且，
当变化时，变化情况如下表：
由上表可知，.所以.
（3）实数的取值范围.理由如下：
方法一：（数形结合）
在上恒成立，即.
因而函数的图象在函数的图象上方.
考虑函数图象在函数图象恰好有一个公共点的临界情形（如图所示），
此时它们在交点处有一条公切线，设交点的横坐标为.
又，由切点性质知，
所以即，
由得，所以即
记，则，所以在上是增函数.又因为，所以方程的解是.
因此，当两函数恰好有一个交点时，交点坐标是，此处公切线方程是.
所以当函数的图象在函数的图象上方时，实数的取值范围.
方法二：（同构变形）
显然，在上恒成立，即恒成立即
恒成立，
所以恒成立，
构造函数，易知在上是增函数，
所以恒成立，即，
令，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，所以，解得，
所以实数的取值范围.
12．已知．
(1)当时，判断函数零点的个数；
(2)求证：.
【答案】(1)1；(2)证明见解析.
【详解】（1）当时，，，当且仅当时取“=”，
所以在R上单调递增，而，即0是的唯一零点，
所以函数零点的个数是1.
（2），令，则，因，则，
因此，函数在上单调递增，，，
所以当时，成立.
13．已知．
(1)当时，判断函数零点的个数；
(2)求证：；
(3)若在恒成立，求的最小值．
【答案】(1)一个零点(2)证明见解析(3)
【详解】（1）当时，，在R上单调递增，，只有一个零点；
（2）设，当时，，所以在上单调递增，所以，所以，.
（3）解法一：当时，由（2）得，恒成立．
当时，设．
在上单增，，，
由零点存在性定理，存在使得，
所以在上递减，，不等式不恒成立，所以的最小值为．
解法二：设．
①当时，，在单增，，在恒成立．
②当时，设．
递增，，，
由零点存在性定理，存在使得，
所以在上递减，，不等式不恒成立，所以的最小值为．
14．设函数．
(1)若，
①求曲线在点处的切线方程；
②当时，求证：．
(2)若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)①x+y=0；②证明见解；(2).
【详解】（1）解：①当时，，可得，
则，
可得曲线在点处的切线方程，即x+y=0.
②令，
则，
当，可得，在单调递减，
又因为，所以，即，即，
即当时，．
（2）解：由函数，可得，
令，
当时，，即，在区间上单调递增，
因为，所以，
所以函数在区间上没有零点，不符合题意；
当时，函数的图象开口向上，且对称轴为，
由，解得，
当时，在区间上恒成立，
即，在区间上单调递减，
因为，所以，
所以函数在区间上没有零点，不符合题意；
综上可得，
设使得，
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
因为，要使得函数在区间上存在唯一零点，
则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
15．已知函数.
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若存在两个极值点，求证：.
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析.
【详解】（1）因为，所以，
所以，，
所以切线方程为：，即；
（2），记，
当时，，，所以在0,+∞上单调递增；
当时，，令，所以且，
时，，单调递增，
时，单调递减，
时，，单调递增，
综上可知：时，在0,+∞上单调递增；时，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增；
（3）因为
由题意可知：的两个根为且，所以，
所以，
所以，
所以，令，
所以，时，所以在上单调递减，
所以，
所以成立.
16．已知函数.
（1）时，求在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）证明：当时，在区间上恒成立.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）证明见解析.
【详解】当时，，，
，，，
在处的切线方程是.
（2），
当时，，在0,+∞上单调递减，
当时，令，解得：，令，解得：，
的增区间是，减区间是，
综上可知：时，函数的减区间是0,+∞，无增区间；时，函数的增区间是，减区间是.
（3）证明：要证明不等式当时，在区间上恒成立，
即证明在区间上恒成立，
即证恒成立，
令，
，
，，即，
在区间单调递增，即，而，
，
时，在区间上恒成立.
17．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若x∈0,+∞，求证：；
（3）设，是否存在唯一的自然数，使得与的图象在区间上有两个不同的公共点？若存在，试求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，.
【详解】解：（1）因为，所以；
因为，
所以切线方程为，即；
（2）设，
即，
令，则或
随变化情况如下表：
故=，
故，
（3）由于，设
，，
随变化情况如下表：
由表可知，，因为，，
，，
所以在，分别有唯一零点，
所以在内有两个零点，在，内无零点，内有唯一零点.
所以存在唯一的自然数，使得与的图象在上有两个不同公共点.
18．设函数，其中，曲线在点处的切线经过点.
（1）求的值；
（2）求函数的极值；
（3）证明:.
【答案】（1）；（2）极小值，没有极大值；（3）证明见解析.
【详解】解：（1），则，
故在处的切线方程，把点代入切线方程可得，，
（2）由（1）可得，
易得，当时，，函数单调递减，当时,，函数单调递增，
故当时，函数取得极小值，没有极大值，
证明：（3）等价于，
由（2）可得（当且仅当时等号成立）①，
所以，
故只要证明即可，（需验证等号不同时成立）
设，则，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，当且仅当时等号成立，②
因为①②等号不同时成立，
所以当时，.
19．已知函数.
（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，，且，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）由已知条件，，当时，，
，当时，，所以所求切线方程为
（2）由已知条件可得有两个相异正实根，，
令，则，
①若，则，单调递增，不可能有两根；
②若，令得，
可知在上单调递增，在上单调进减，
令解得，
由有，由有，
从而时函数有两个极值点
当x变化时，，的变化情况如下表
因为，所以，在区间上单调递增，
.
另解：由已知可得，则，令，
则，可知函数在单调递增，在单调递减，
若有两个根，则可得，
当时，，，
所以在区间上单调递增
所以.
20．已知函数f（x）＝2ln x－x＋．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a>0，b>0，且a≠b，证明： b>0，则
．
由（1）知，f（x）是(0，＋∞)上的减函数，又，所以，
即，所以．
又．
令g（x）＝ln x－，则＝，
当x∈(0，＋∞)时，≥0，即g（x）是(0，＋∞)上的增函数．
因为>1，所以，所以，从而．
综上所述，当a>0，b>0，且a≠b时，