2025年高考第一次模拟考试数学试卷及参考答案

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】易知，
再由指数函数的单调性可得时，即，
因此.
故选：D
2．有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】C
【详解】因为该组数据共7个，且，所以这组数据的分位数为从小到大第4个数，即6，
又组数据的平均数为，则，解得.
故选：C.
3．已知向量，若，则实数的值为（ ）
A．4B．或1C．D．4或
【答案】B
【详解】将两边平方，得，
由得，
即，解得或1.
故选：B.
4．记为非零数列的前项和，若，，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【详解】在非零数列中，，由，，得数列是等比数列，，
因此，所以.
故选：C
5．已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（ ）（，）．
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【详解】由题意知，火箭在时刻的速度为，质量为，满足，
因为经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，
可得，火箭耗尽燃料时速度为，
两式相除得.
故选：C．
6．已知函数，，若有两个零点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由，得，而，则，，
，因此，解得，
由，得或，于是，
对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：D
7．为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为整数）.已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多（ ）百元代金券
A．5.4B．9C．12D．18
【答案】D
【详解】若摸到一红球一白球的概率，
若摸到2白球的概率，若摸到2红球的概率，
设可获得百元代金券为变量分布列如下，
，,
手气最好者获得百元代金券
即，，
则，
当，即，时等号成立，
所以的最大值为.
估计手气最好者至多获得18个百元代金券.
故选：D.
8．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】直线F2A的直线方程为：y＝kx，F1（0，），F2（0，），
代入抛物线C：x2＝2py方程，整理得：x2﹣2pkx+p2＝0，
∴△＝4k2p2﹣4p2＝0，解得：k＝±1，不妨取k＝1
则A（p，），设双曲线方程为：1，
丨AF1丨＝p，丨AF2丨p，
2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（ 1）p，
2c＝p，
∴离心率e1，
故选D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在复平面内，复数对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【详解】设，则，
对于A，当时，，
则，故A错误；
对于B，，
，
所以，故B正确；
对于C，当时，，，
满足，但，故C错误；
对于D，当时，，
而，故D错误.
故选：ACD.
10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，最大
B．使得成立的最小自然数
C．
D．数列中最小项为
【答案】ABD
【详解】根据题意：，即，
两式相加，解得，当时，最大，故A正确；
由，可得，所以，
故，
所以，故C错误；
由以上可得：，
，而，
当时，；当时，；
所以使得成立的最小自然数，故B正确.
当或时；当时；
由，
所以中最小项为，故D正确.
故选：ABD
11．在平面直角坐标系中有一点，到定点与轴距离之积为一常数，点构成的集合为曲线，已知在或分别为连续不断的曲线，则下列说法正确的是：（ ）.

A．曲线关于直线对称
B．若，则时到轴距离的最大值为
C．若，如图，则
D．若与轴正半轴交于1,0，则与轴负半轴的交点横坐标在区间内
【答案】BCD
【详解】设点，则，
对于A选项，点关于直线的点为，
因为，
即点不在曲线上，所以，曲线不关于直线对称，A错；
对于B选项，当时，曲线的方程为，
当时，则，则，
所以，，可得，可得，
对于不等式，即，显然该不等式恒成立，
对于不等式，即，解得，
因为，则，此时，若，则时到轴距离的最大值为，B对；
对于C选项，点关于直线的对称点为，
因为，
即点在曲线上，故曲线关于直线对称，
如下图所示，当时，直线与曲线有两个交点，

当时，在曲线的方程中，令，可得，可得，
所以，曲线与在0,+∞上的图象有两个公共点，如下图所示：

显然，曲线与射线在1,+∞上的图象有一个公共点，
则曲线与线段相切，
由，可得，则，可得，
且当时，方程为，解得，合乎题意，
综上所述，，C对；
对于D选项，若曲线与轴正半轴交于1,0，
则，则有，
当时，令可得，整理可得，
即，
令，其中，
则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
因为，，则，
所以，曲线与轴负半轴的交点横坐标在区间内，D对.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在的展开式中，常数项为 .
【答案】
【详解】解：由题意得：，
令得，
故常数项为．
故答案为：．
13．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为，母线长最短，最长，则斜截圆柱的体积为
【答案】
【详解】将如图所示的相同的两个几何体拼接为圆柱，
则圆柱底面半径为，高为，
体积为，
则该几何体的体积为圆柱体积的一半，
即.
故答案为：
14．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与x轴的交点为；在横坐标为的点处的切线与x轴的交点为；一直继续下去，得到，，，…，，它们越来越逼近的零点r．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点r．用“牛顿法”求方程的近似解r，可以构造函数，若，得到该方程的近似解r约为 （精确到0.1）．
【答案】3.3
【详解】由，得．
当时，，，
则过点的切线方程为，
令，得．
又，，
则过点的切线方程为，
令，得，此时与近似值相等，故近似解r约为3.3．
故答案为：3.3
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
记的内角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，，求的面积．
【详解】（1）由 得，而为三角形内角，
故sinB>0,得，而为三角形内角，或
（2）由得，
又，∴， ，故 ，
由（1）得，故，
∴，而为三角形内角， ∴.
又即，
又，而为三角形内角，故，
.
（15分）
已知函数.
(1)判断函数的单调性；
(2)若恒成立，求的值.
【详解】（1）函数的定义域为，
当时，恒成立，在上单调递增.
当时，由，得，由，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，由，知当时，，不符合题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
由恒成立，得恒成立，令，
求导得，
当时，，当时，，
于是函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，故恒成立，
因此，所以.
（15分）
如图，在几何体中，四边形是梯形，，，与相交于点N，平面，，H是的中点，，．
(1)点P在上，且，证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【详解】（1）方法1：依题意可知，直线，，两两垂直，以点A为坐标原点，
直线，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意得C1,1,0，，，，
因为，所以，所以，
又，所以，
又，，从而得，
所以向量，，共面，
又平面，平面，平面，
所以平面．
方法2：如图，在，上取点M，Q，且满足，，
连接，，，
因为，，有，
所以，且，
又因为，，，
所以，有，
所以，且，
又，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）由（1）方法1可知，，C1,1,0，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，即．
取，则平面的一个法向量为，
则，
由图知二面角为钝角，
故二面角的余弦值为．
（17分）
已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且四个顶点所围成的菱形的面积为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足．
①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值；
②求四边形ABCD面积的最大值．
【详解】（1）由题意，2ab=4，
又，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）如图所示
①设直线AB的方程为，设
联立，得
(*)
=
，，
整理得，
所以直线和直线的斜率之和为定值0．
②由①，不妨取，则
设原点到直线AB的距离为d，则
又，所以
当且仅当时取等号．
．
即四边形ABCD的面积的最大值为4．

（17分）
拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这些士兵不能站在自己原来的位置上．
(1)如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？4个呢？
(2)假设原来有个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为种，写出和，之间的递推关系，并证明：数列是等比数列；
(3)假设让站好的一排个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为，证明：当无穷大时，趋近于．（参考公式：……）
【详解】（1）当有3个士兵时，重新站成一排有2种站法；
当有4个士兵时，假设先安排甲，有3种站法，若甲站到乙的位置，那就再安排乙，也有3种站法，
剩下的两个人都只有1种站法，由分步乘法计数原理可得有种站法．
（2）易知，．
如果有个人，解散后都不站原来的位置可以分两个步骤：
第一步：先让其中一个士兵甲去选位置，有种选法；
第二步：重排其余个人，根据第一步，可以分为两类：
第一类：若甲站到乙的位置上，但乙没有站到甲的位置，这样的站法有种；
第二类：若甲站到乙的位置上，乙同时站到甲的位置，这样的站法有种．
所以，，又，
所以．
所以数列，是首项为1，公比为的等比数列
（3）由题意可知，
由（2）可得：，则．
对进行赋值，依次得：，，⋯，
将以上各式左右分别相加，得：，因，
则．
即得，
当无穷大时，，得证.a
b
ab
P