江西省临川第二中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

这是一份江西省临川第二中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．在等比数列中，，则的值为（ ）
A．48B．72C．147D．192
4．某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且 ， ，则（ ）
A．0.14B．0.22C．0.2D．0.26
5．已知函数，若有最小值，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
6．已知是数列的前项和，若，数列的首项，则（ ）
A．B．C．2023D．
7．已知等差数列的公差大于0且，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．有三个零点
B．有两个极值点
C．若方程有三个实数根，则
D．曲线关于点对称
10．在等差数列中，．现从数列的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为．则下列结论正确的是（ ）
A．服从二项分布B．服从超几何分布
C．D．
11．（多选题）数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，是意大利数学家莱昂纳多斐波那契在他写的算盘全数中提出的，所以它常被称作斐波那契数列该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和．记斐波那契数列为，其前n项和为，则下列结论正确的有（ ）
A．不一定是偶数B．
C．D．
三、填空题
12．已知、的对应值如下表所示：
若与线性相关，且回归直线方程为，则 ．
13．甲、乙两名学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤这5个项目中分别随机选择其中1个项目，记事件A:甲和乙选择的项目不同，事件B:甲和乙恰好一人选择①，则 ．
14．已知不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .
四、解答题
15．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围.
16．跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能，抑制人体癌细胞生长和繁殖.为了解人们是否喜欢跑步，某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表.
(1)根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？
附：，其中.
(2)该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为.对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）.设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为，求的概率分布及数学期望.
17．已知函数．
(1)讨论的极值；
(2)若，为整数，且当时，，求的最大值．
18．已知函数，.
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)若，且，求证：.
19．已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质．
(1)若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质；
(2)设数列的各项均为正数，且具有性质．
①若数列是公比为的等比数列，且，求的值；
②求的最小值．
0
2
4
6
8
1
11
喜欢
不喜欢
合计
男
12
8
20
女
10
10
20
合计
22
18
40
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考答案：
1．B
2．C
3．C
4．B
5．C
6．A
7．B
8．A
9．BC
10．BD
11．BCD
12．
13．/0.4
14．
15．(1)
(2)
【分析】（1）首先得，进一步由的关系得是以为首项，为公比的等比数列，由此即可求解；
（2）由等差数列求和公式、错位相减法求得表达式，进一步原问题等价于不等式恒成立，由此即可求解.
【详解】（1）因为，①
当时可得，即.
当时，，②
由①-②得，即，
即是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）因为，
所以，
，
两式相减得，，
即，则，
故.
由，得，即，
依题意，不等式恒成立，
因为随着增大而减小，
所以，即的取值范围为.
16．(1)没有95%认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关联
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）由题中所给数据求出，然后利用独立性检验的结论即可求解；
（2）由题意可得的所有可能取值分别为1，2，3，4，然后计算出对应的概率，利用期望公式即可求解,
【详解】（1）假设：人们对跑步的喜欢情况与性别无关.
根据题意，由列联表中的数据，
可得，
因为，
所以没有95%认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关联.
（2）的所有可能取值分别为1，2，3，4.
；
；
；
，
所以的概率分布为：
所以.
所以的数学期望为.
17．(1)答案见解析
(2)2
【分析】（1）由，求出，然后根据变化时，，变化情况，得到的单调区间，从而求得极值；
（2）根据条件，参变量分离得，令，利用导数求最值，即可得到的最大值．
【详解】（1）的定义域为，，
当时，则，在上单调递增；
当时，由，得．
当变化时，，变化如下表：
综上，当时，无极值；
当时，有极小值，极小值为，无极大值.
（2），，
故当时，等价于，
令，则．
由（1）知，函数在上单调递增，而，
在存在唯一的零点，故在存在唯一的零点，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
在上的最小值为，
由，可得，
，
故整数的最大值为2．
18．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后分和讨论，当时又分为和讨论即可；
（2）求导后得到单调性找到零点，设，构造函数，求导分析单调性和零点，并设从而得到，再由单调性可证明结论.
【详解】（1）
.
①当时，令，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
在上单调递减，在上单调递增.
②当时，令，解得或，
当即时，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
当即时，在上单调递增，
当即时，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
（2），
恒成立，
在上单调递增，且，
设
，，
设，，
，
令，解得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，
，
，
不妨设，则，
，
，
，
在上单调递增，
，即.
【点睛】方法点睛：对于极值点偏移问题，可根据所求不等式构造函数，求导分析单调性和零点，在实际问题中往往需要两次构造，分析.
19．(1)证明见解析；
(2)①；②的最小值为4.
【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出通项公式及前项和，再利用定义判断即得.
（2）①根据给定条件，可得，再按，探讨，当时，，又按且讨论得解；②由定义，消去结合基本不等式得，再迭代得，借助正项数列建立不等式求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，
解得，则，
于是，即，
所以数列具有性质．
（2）①由数列具有性质，得，又等比数列的公比为，
若，则，解得，与为任意正整数相矛盾；
当时，，而，整理得，
若，则，解得，与为任意正整数相矛盾；
若，则，当时，恒成立，满足题意；
当且时，，解得，与为任意正整数相矛盾；
所以.
②由，得，即，
因此，即，
则有，
由数列各项均为正数，得，从而，即，
若，则，与为任意正整数相矛盾，
因此当时，恒成立，符合题意，
所以的最小值为4．
【点睛】易错点睛：等比数列公比q不确定，其前n项和直接用公式处理问题，漏掉对的讨论.
1
2
3
4
0
单调递减
极小值
单调递增