4.江西省南昌市第二中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份4.江西省南昌市第二中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知直线:和:互相平行,则
A．B．C．或D．或
2．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．直线：与曲线相交于、两点，则直线倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．在三棱锥中，M是平面上一点，且，则（ ）
A．1B．2C．D．
5．已知为抛物线：的焦点，过的直线与相交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，垂足为，若，则的长为
A．B．C．D．
6．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（ ）
A．1B．C．D．2
7．已知双曲线的两个顶点为，双曲线上任意一点（与不重合）都满足，的斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知M是的对称轴和准线的交点，点N是其焦点，点P在该抛物线上，且满足，则实数的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
二、多选题
9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
10．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在使得
B．的最小值为
C．，则的面积为
D．直线与直线斜率乘积为定值
11．已知抛物线C：，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线C的准线方程为
B．若，则△PMF的面积为2
C．|的最大值为
D．△PMF的周长的最小值为
12．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点P为双曲线右支一点，I为的内心，若成立，则下列结论正确的有（ ）
A．当轴时，B．离心率
C．D．点I的横坐标为定值a
三、填空题
13．拋物线的焦点为F，点为C上一点，若，则 .
14．经过点，且被圆：所截得的弦最短时的直线的方程为 ．
15．已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，.以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点A，双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，则直线的斜率为 .
16．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，P为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为，且，则的取值范围为 ．
四、解答题
17．已知空间三点，，，设 ， .
(1)求 与 的夹角的余弦值；
(2)若向量 与互相垂直，求的值.
18．已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直．
(1)求直线的一般式方程；
(2)若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．
19．已知椭圆过点．其左、右两个焦点分别为、，短轴的一个端点为B，且．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)设直线：与椭圆交于不同的两点M，N，且O为坐标原点，若，求实数的取值范围．
20．已知双曲线的离心率为.
（1）求双曲线的方程.
（2）直线与该双曲线交于不同的两点、，且、两点都在以点为圆心的同一圆上，求的取值范围.
21．已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．
22．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且垂直于轴的直线与交于两点，且的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（1）过作与直线不重合的直线与相交于两点，若直线和直线相交于点，求证：点在定直线上.
参考答案：
1．D
2．A
3．B
4．B
5．B
6．C
7．B
8．D
9．BCD
10．BC
11．ACD
12．BCD
13．
14．
15．
16．
17．(1)
(2)或
【分析】（1）根据空间向量夹角公式求解即可.
（2）根据题意得到，再解方程即可.
【详解】（1），.
.
（2），.
因为向量 与互相垂直，所以，
即，解得或.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程；
（2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程．
【详解】（1）解：由题意知，解得，
直线和的交点为；
设直线的斜率为，与直线垂直，；
直线的方程为，化为一般形式为；
（2）解：设圆的半径为，则圆心为到直线的距离为
，由垂径定理得，
解得，
圆的标准方程为．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆的性质结合待定系数法计算即可
（2）利用平面向量的夹角公式结合韦达定理计算即可.
【详解】（1）由题意可知，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）设，
联立，
所以,
又，则，
即，
所以.
20．（1）；（2）或
【分析】（1）根据离心率为，结合性质 ，列出关于 、的方程组，求出 的值，即可得结果；（2）由，消去得：，由，可得，由判别式大于零可得，综合两式即可得结果.
【详解】（1）依题意解得：.
所以双曲线的方程为：.
（2）由，消去得：，
由已知：，且①
设、，的中点，
则，，因为，
所以，
整理得：②
联立①②得：，所以或，又，
所以，因此或.
【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程以及直线与双曲线的位置关系，属于难题. 求双曲线标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出双曲线的标准方程．解决直线与双曲线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与双曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．
21．(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）
(2)证明过程见解析
【详解】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，．再由，得，．利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论.
详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由得．
依题意，解得k