辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

这是一份辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．以下四个命题中，正确的是（ ）
A．向量与向量平行
B．已知，则
C．
D．若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底
2．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
4．已知椭圆，直线，则与的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．以上选项都不对
5．已知，若共面，则实数的值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
6．已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点､若的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆是圆上的两点，点，且，则的值为（ ）
A．B．7C．D．8
8．如图，在正四面体中，点分别为和的重心，为线段上点，且平面，设，则的值为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
9．下列命题中是假命题的为（ ）
A．若非零向量与平面平行，则所在直线与平面也平行
B．若平面的法向量分别为，则
C．已知为直线的方向向量，为平面的法向量，则
D．若两个空间非零向量满足，则
10．圆和圆的交点为，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为
B．线段中垂线方程为
C．公共弦的长为
D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
11．如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为
D．对于任意点，都是钝角三角形
12．已知椭圆的左､右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，下列结论正确的是（ ）
A．椭圆离心率的取值范围是
B．若，且，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题
13．已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 .
14．已知圆，直线.当直线被圆截得弦长取得最小值时，直线的方程为 .
15．已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点.则的取值范围为 .
16．如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，且为棱上的一点，若与平面所成角的正弦值为，则 .

四、解答题
17．已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程：
(2)求过点且与圆相切的直线方程.
18．如图，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，为上的点，且平面，
(1)求二面角的正弦值：
(2)求点到平面的距离.
19．已知的顶点边上的高所在的直线方程为.
(1)求直线的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
①角的平分线所在直线方程为；
②边上的中线所在的直线方程为.
若__________.求直线的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
20．已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.
21．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面.

(1)求直线与平面所成角的正弦值.
(2)为线段上一点.若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
22．已知椭圆经过点为椭圆的右焦点，为坐标原点，的面积为.
(1)求椭圆的标准方程：
(2)椭圆的左､右两个顶点分别为，过点的直线的斜率存在且不为0，设直线交椭圆于点，直线过点且与轴垂直，直线交直线于点，直线交直线于点，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
参考答案：
1．D2．D3．D4．A5．B6．A7．B8．C
9．ABC10．BD11．BC12．ACD
13．14．15．16．/
17.【详解】（1）设圆心
依题意，的中点为，直线的斜率，则线段的垂直平分线方程为，
显然圆心在线段的垂直平分线上，由，解得，
因此圆心的坐标是，圆的半径，
所以圆的方程是．
（2）依题意，过点且与圆相切的直线斜率存在，设该切线方程为，即，
于是，解得或，
所以所求切线方程为和.

18．【详解】（1）连接，连接，如图，
由四边形是边长为2的正方形，得，且为的中点，，
由平面，平面，得，而平面，
则平面，又平面，于是，因此是二面角的平面角，
由二面角为直二面角，得平面平面，而平面平面，
又，平面，则有平面，平面，
则，由平面，平面，得，平面，
于是平面，而平面，则，又，因此，
显然，从而，由平面，平面，得，
于是，则，
所以二面角的正弦值为.
（2）由（1）知，，为线段的中点，即平面经过线段的中点，
因此点到平面的距离等于点到平面的距离，而平面，
即点到平面的距离为线段长，
所以点到平面的距离为.
19．【详解】（1）由边上的高所在的直线方程为，得直线的斜率，而的顶点，
所以直线的方程为：，即.
（2）选①，角的平分线所在直线方程为，令该直线与边交于点，
由，解得，即点A坐标为，
设点B关于的对称点为，
则，解得，即坐标为，
显然点在直线上，则直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
选②，边上的中线所在的直线方程为，
由，解得，即点A坐标为，
设点，则的中点在直线上，即，
整理得，又点在直线上，即，
由，解得，即点，直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
20．【详解】（1）因为短轴长为，所以，
由题意可知：，解得，
所以椭圆方程为.
（2）因为点在椭圆外，所以过该点的直线PQ的斜率必然存在，
可设直线PQ的方程为，，
联立方程，消去y得，
则，解得，
由根与系数的关系可知:，
可得.
由得，即，
解得:，符合，
所以直线PQ的方程为.
21．【详解】（1）取AD中点O，连接OB，OP，
因为为等边三角形，则，且，
又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，
所以平面ABC，
由平面ABCD，可得，
又因为，且，可得，
且，平面POB，平面POB，，
所以平面POB.
由平面POB，可知，则，，，
在中，可知，
由余弦定理可得，
设点A到平面PBC的距离为h，
则即，解得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.

（2）由（1）可知：分别以OA，OB，OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
可得，，，，
设，则，，
得，则，
因为平面ABC，则取平面ABCD的法向量.，
设AE与平面ABCD所成的角为，则
，解得，
则，.
设平面ADE的法向量，则，
令，则取平面ADE的法向量，
设平面的法向量，则，
令，则取平面的法向量，
故平面ADE与平面夹角的余弦值为.

22．【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程.
（2）因为在椭圆内，则直线m与椭圆必相交，
且直线m的斜率存在且不为0，
设过点K的直线m的方程为，
联立方程，消去x得，
则，
可知，
又因为，直线，
直线AM的方程为，则，
同理可得，
所以，
其中，
所以（定值）.