山东省济南市山东师大附中2023-2024学年高二上学期期中学情检测数学试题

这是一份山东省济南市山东师大附中2023-2024学年高二上学期期中学情检测数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．已知空间向量，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．在正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
6．若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的左､右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知椭圆与椭圆，则下列说法错误的是（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
10．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个顶点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点的轨迹围成区域的面积为
B．面积的最大值为
C．点到直线距离的最大值为
D．若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为
11．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过点（-3，-3）
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．圆与圆恰有三条公切线，则m=4
D．已知圆，过点P（3，4）向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB方程为
12．在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的长最小值为
B．的最小值为
C．若，则平面截正方体所得截面的面积为
D．若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是
三、填空题
13．平行六面体，，，，则
14．正方体的棱长为1，P点满足，则P到的距离为
15．已知，B是圆C：上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为 .
16．已知是的直径，M是圆上不同于A、B的任意一点，、的斜率分别为、，则（∵）
类比到椭圆中，是过椭圆（）中心的弦，M是椭圆上不同于A、B的任意一点，、的斜率分别为、，则
四、解答题
17．已知，以点为圆心的圆被轴截得的弦长为.
(1)求圆的方程；
(2)若过点的直线与圆相切，求直线的方程.
18．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点.
(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
19．已知正三棱柱的底面边长为2，D是的中点，
(1)求三棱柱的体积
(2)求直线与平面所成角的正弦值
20．已知椭圆的左焦点为，点到短袖的一个端点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，若，求的取值范围.
21．如图，在梯形中，，四边形为矩形，且平面，.
(1)求证：；
(2)点在线段（不含端点）上运动，设直线与平面所成角为，求的取值范围.
22．已知圆F：，点，点G是圆F上任意一点，线段EG的垂直平分线交直线FG于点T，点T的轨迹记为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知曲线C上一点，动圆N：，且点M在圆N外，过点M作圆N的两条切线分别交曲线C于点A，B
①求证：直线AB的斜率为定值；
②若直线AB与交于点Q，且时，求直线AB的方程．
参考答案：
1．D2．C3．B4．D5．A6．B7．C8．B
9．ABC10．ABD11．BCD12．BCD
13．14．15．16．
17.【详解】（1）不妨设圆的半径为，根据垂径定理，可得：
解得：
则圆的方程为：
（2）当直线的斜率不存在时，则有：
故此时直线与圆相切，满足题意
当直线的斜率存在时，不妨设直线的斜率为，点的直线的距离为
直线的方程为：
则有：
解得： ，此时直线的方程为：
综上可得，直线的方程为：或
18．【详解】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系.
由于正方体的棱长为2和，分别为线段，的中点知，.设平面的法向量为..则.
.故点到平面的距离.
（2）平面的法向量， 平面与平面夹角的余弦值.
19．【详解】（1）因为，所以，因此
，
因为是正三棱柱，所以，平面，
而平面，因此，所以有，
设，D是的中点，所以，于是有：
，舍去，
三棱柱的体积为：，
（2）设平面，设，
取的中点，所以，所以，
因为平面平面，而平面平面，
因此平面，
由，
由勾股定理可知中：，
，因为，所以四边形是正方形，
故，所以有，
在正方形中，设，D是的中点，
，
因为平面，所以是直线与平面所成角，
所以.
20．【详解】（1）根据题意，已知椭圆的左焦点为，则有：
点到短袖的一个端点的距离为，则有：
则有：
故椭圆的方程为：
（2）设过点作斜率为的直线的方程为：
联立直线与椭圆的方程可得：

则有：,
直线过点，所以恒成立，
不妨设，两点的坐标分别为：，则有：

又
且
则有：
将，代入后可得：
若，则有：
解得：或
21．【详解】（1）由已知可得四边形是等腰梯形，
过作，垂足为，则，
在中，，
则，可得，
在中，由余弦定理可得，
，
则，，
又平面，平面，
，
，，平面，
平面，
又为矩形，
，则平面，
而平面，
；
（2）平面，且，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，设，
则，又，
设平面的法向量为，
由，
取，得，
又，
，
，，
则.
22．【详解】（1）圆F：的圆心，半径，
如下左图，，
如上右图，，
因此，
点T的轨迹是以点E、F为焦点，且实轴长为的双曲线，其中焦距，虚半轴长，
所以点T的轨迹方程为.
（2）①设点，，直线AB的方程为，
由消去y得，
其中，且，
，，
由点在曲线C上，得，显然直线MA和直线MB关于对称，
直线MA和直线MB的斜率满足，即，
整理得，
即，
整理得，
即，
于是，即，则或，
当，直线方程为，此直线过定点，不符合题意，
所以直线AB的斜率为定值.
②由①知，，显然，即，
当时，，，即，，
，解得或，
当时，，不符合题意，当时，直线方程为，
当时，，即，，
，解得（舍去）或，
当时，直线方程为，
所以直线AB的方程为或.