1.甘肃省兰州市兰州第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

这是一份1.甘肃省兰州市兰州第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．若直线与平行，则与间的距离为（ ）
A．B．
C．D．
3．阿基米德(公元前年—公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．等差数列中，，则此数列的前项和等于（ ）
A．160B．180C．200D．220
5．设等比数列的前项和为，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆的半径为，且，过点的2023条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，则其公差为（ ）
A．B．C．D．
7．设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值和最大值分别为（ ）
A．9，12B．8，11C．8，12D．10，12
8．椭圆的两个焦点为是椭圆上一点，且满足.则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知分别是椭圆的左､右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为10
B．面积的最大值为
C．的最小值为1
D．椭圆的离心率为
10．已知动点到原点与的距离之比为2，动点的轨迹记为，直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．的方程为
B．直线被截得的弦长为
C．动点到直线的距离的取值范围为
D．上存在三个点到直线的距离为
11．圆和圆的交点为A，B，则（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
12．设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列
B．数列的通项公式为
C．数列为等比数列
D．数列为等比数列
三、填空题
13．一个椭圆中心在原点，焦点在轴上，是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为 ．
14．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为1，那么这个数列的前2023项和 .
15．已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .
16．椭圆的左､右焦点分别为，，过焦点的直线交该椭圆于两点，若的内切圆面积为，两点的坐标分别为，，则的面积 ，的值为 .
四、解答题
17．已知椭圆的离心率，求的值及椭圆的长轴长､焦点坐标.
18．圆心在直线上的圆C，经过点，并且与直线相切
(1)求圆C的方程；
(2)圆C被直线分割成弧长的比值为的两段弧，求直线l的方程.
19．在数列中，.
(1)求的值；
(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20．如图，已知圆及点.
(1)若点在圆上，求直线与圆的相交弦的长度；
(2)若是直线上任意一点，过点作圆的切线，切点为，当切线长最小时，求点的坐标，并求出这个最小值.
21．已知椭圆的左､右顶点分别为，且，离心率为为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆上不同于的一点，直线与直线分别交于点.证明：以线段为直径的圆过椭圆的右焦点.
22．已知数列{an}与{bn}满足：，若{an}是各项为正数的等比数列，且a1＝2，b3＝b2＋4.
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足cn＝ (n∈N*)，Tn为数列{cn}的前n项和，证明：Tn＜1.
参考答案：
1．B 2．B 3．A 4．B 5．A 6．B 7．C 8．D
9．ABD 10．BD 11．ABD 12．CD
13． 14．1010 15． 16．6 3
17．，长轴长为，焦点坐标为.
【详解】因为，椭圆的焦点在轴上且，
又因为，可得，解得，
所以椭圆方程为，可得，则
所以椭圆的长轴长为､焦点坐标为.
18．(1)
(2)或
【详解】（1）设圆C的标准方程为，
由题意得，解得，
所以圆C的方程为；
（2）设直线与圆C交于B､D两点，过点作，垂足为，
因为圆C被直线分割成弧长的比值为的两段弧，
所以，则，
即圆心C到直线l的距离为，且，
因为直线l的方程为，
所以，化简解得或，
故所求直线l的方程为或.
19．(1)a2=13,a3=33;
(2)存在，-1.
【详解】（1）由题意，，，.
（2）假设存在实数，使得数列为等差数列，设，则，所以.
此时，，而，则是首项为2，公差为1的等差数列，即存在实数，使得数列是以首项为2，公差是1的等差数列.
20．(1)
(2)，
【详解】（1）易知圆的标准方程为，
则，半径.
将点代入圆的方程，得，
所以，故直线的斜率.
因此直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离，
所以.
（2）因为，
所以当最小时，最小，
又当与直线垂直时，最小，
所以，
所以.
由题易得过点且与直线垂直的直线方程为，
联立，得，所以.
21．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意知，，得，
又离心率，，
则椭圆的方程为.
（2）由（1）得，

设，则，即.
则直线，直线，
将代入上述直线方程，可得点的纵坐标，点的纵坐标，
即，令椭圆的右焦点为，则，
则
所以，即，
所以为直径的圆过点.
22．（1），bn＝2n－1(n∈N*)；（2）证明见解析.
【详解】（1）由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2bn，①
当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2bn－1，②
①－②可得an＝2(bn－bn－1)，结合已知得：a3＝2(b3－b2)＝2×4＝8，
∵a1＝2，an＞0，设{an}的公比为q，
∴a1q2＝8，得q＝2，
∴.
∴，
∴bn＝2n－1(n∈N*).
（2）由已知：，
∴
，
当n∈N*时,，有，
∴，故Tn＜1，得证.