高二上学期期末数学试卷（新题型：19题）（巩固篇）

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第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（23-24高二上·湖北荆门·期末）在四面体OABC中，M点在线段OA上，且OM=2MA，G是△ABC的重心，已知OA=a，OB=b，OC=c，则MG等于（ ）
A．13a−13b+13cB．−23a+12b+12c
C．−13a+13b+13cD．23a+23b−12c
【解题思路】根据题意结合重心的性质以及空间向量的线性运算求解.
【解答过程】因为G是△ABC的重心，
则AG=13AC+AB=13OC−OA+OB−OA=−23OA+13OB+13OC=−23a+13b+13c，
由OM=2MA，得MG→=13OA⃗，
所以MG=MA+AG=13OA−23a+13b+13c=−13a+13b+13c.
故选：C.
2．（5分）（23-24高二上·四川成都·期末）若数列an满足a1=2，Sn+1+Snan+1=2n+3，则S8+a8的值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【解题思路】由Sn与an的关系求得n+2Sn=n+1Sn+1，从而Snn+1为常数列， 得到Sn=n+1，即可求S8+a8的值.
【解答过程】由Sn+1−Sn=an+1及Sn+1+Snan+1=2n+3得Sn+1+Sn=2n+3Sn+1−Sn，
即Sn+1+Sn=2n+3Sn+1−2n+3Sn，
即n+2Sn=n+1Sn+1，
所以Snn+1=Sn+1n+2，即Snn+1为常数列，
又S12=a12=1，所以Snn+1=1，即Sn=n+1，
所以S8=9,S7=8,a8=S8−S7=1，
所以S8+a8=10.
故选：B.
3．（5分）（23-24高二上·河南南阳·期末）已知O为坐标原点，F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若∠AOB=90°，则C的离心率为（ ）
A．5−12B．3−12C．3+12D．2−12
【解题思路】利用题给条件列出关于a,c的齐次式，解之即可求得C的离心率.
【解答过程】由∠AOB=90°，OA=OB，可得OF2=AF2，
又由c2a2+y2b2=1，可得y2=b4a2，故y=±b2a，
由OF2=AF2得c=b2a，
整理得c2+ac−a2=0，即e2+e−1=0，
解之得e=5−12或e=−5−12（舍）.
故选：A.
4．（5分）（23-24高二上·江苏常州·期末）已知圆M:x2+y2+4x=0和圆N:x2+y2−4y−12=0相交于A,B两点，点P是圆M上任意一点，则PA+PB的取值范围是（ ）
A．22,4+2B．4−2,4+2
C．4−2,22D．4−22,4+22
【解题思路】取线段AB的中点E，连接PE，将PA+PB的取值范围问题转化为PE的范围问题，通过将圆的方程做差得到公共弦AB的方程，求出ME，结合圆的性质可得PE的范围.
【解答过程】圆M:x2+y2+4x=0，即x+22+y2=4，其圆心M−2,0，半径r1=2，
圆N:x2+y2−4y−12=0，即x2+y−22=16，其圆心N0,2，半径r2=4，
取线段AB的中点E，连接PE，
则PA+PB=2PE，
将圆M与圆N的方程做差可得公共弦AB的方程为x+y+3=0，
则ME=−2−0+32=22，
则PEmax=22+2,PEmin=2−22，
所以PA+PB∈4−2,4+2.
故选：B.

5．（5分）（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2,∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3，则直线BD1与直线AC所成角的余弦值为（ ）
A．−66B．63C．−63D．66
【解题思路】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得BD1=AD+AA1−AB、AC=AB+AD，利用向量数量积的运算律求AC⋅BD1、BD1，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值.
【解答过程】因为AB=AD=AA1=2，∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3，
可得AB⋅AD=0,AB⋅AA1=AD⋅AA1=2×2×12=2，AC=22，
又因为BD1=BA+AD+DD1=AD+AA1−AB，AC=AB+AD，
可得AC⋅BD1=(AB+AD)⋅(AD+AA1−AB)=AD2−AB2+AB⋅AA1+AD⋅AA1 =4−4+2+2=4，
BD1=(AD+AA1−AB)2=AD2+AA12+AB2+2AD⋅AA1−2AD⋅AB−2AA1⋅AB
=4+4+4+4−0−4=23，
所以直线BD1与直线AC所成角的余弦值为AC⋅BD1AC⋅BD1=422×23=66.
故选：D.
6．（5分）（23-24高二上·山西·期末）已知函数fx=2x−sinx+csx，若α∈0,1，则下列式子大小关系正确的是（ ）
A．fα1，则fα−fα=fα1−fα