高二数学上学期期末复习解答题压轴题二十二大题型专练（范围：第一、二、三章）

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题型1
向量共线、共面的判定及应用
1．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且A1E=2ED1，点F在体对角线A1C上，且A1F=23FC．求证：E，F，B三点共线．

2．（23-24高二·湖南·课后作业）已知向量a，b，c不共面，AB=4a+5b+3c，AC=2a+3b+c，AD=6a+7b+5c．求证：B，C，D三点共线．
3．（23-24高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，D1E=kD1A,D1F=kD1B，D1G=kD1C,D1H=kD1D．

(1)当k=34时，试用AB,AD,AA1表示AF；
(2)证明：E,F,G,H四点共面；
4．（23-24高二·江苏·课后作业）已知A，B，C三点不共线，对于平面ABC外的任意一点O，分别根据下列条件，判断点M是否与点A，B，C共面：
(1)OM=12OA+13OB+16OC；
(2)OM=3OA−OB−OC．
题型2
空间向量的数量积及其应用
5．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=a，AC=b，AA1=c，点D满足C1D=2DC.

(1)用a,b,c表示B1D；
(2)若三棱锥A1−ABC的所有棱长均为2，求B1D及A1C⋅B1D.
6．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1中，底面ABCDEF是正六边形，设AB=a,AF=b，AA1=c．

(1)用a,b,c分别表示A1D,A1C．
(2)若cs∠BAA1=cs∠FAA1=14,AB=2,AA1=4，求：
（ⅰ）A1C⋅A1D；
（ⅱ）AE1．
7．（24-25高二上·四川广安·阶段练习）AB=AD=1,AA1=2,∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3．
(1)用向量AB,AD,AA1表示向量BD1，并求BD1；
(2)求csBD1,AC．
8．（23-24高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，设AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)求AE的长；
(2)求AE和BC夹角的余弦值．
题型3
空间向量基本定理及其应用
9．（23-24高二下·上海·开学考试）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，点F在线段DB1上，且3DF=2FB1．
(1)用DA，DC，DD1表示D1A，D1E及D1F；
(2)求证：A，E，D1，F四点共面．
10．（24-25高二上·贵州遵义·期中）在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD//BC，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=π3，BB1=AD=2AB=2BC=2，点E满足B1E=2ED．

(1)若AE=xAB+yAA1+zAD，求x+y+z的值；
(2)求|AE|．
11．（24-25高二上·重庆·阶段练习）如图，在四面体P−ABC中，PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，D为PC的中点，BE=2EA．
(1)设PA=a，PB=b，BC=c，用a,b,c表示DE；
(2)若PA=PB=BC=1
（i）求DE
（ii）求AC⋅DE．
12．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别在棱AA1，CC1上，且A1M=13AA1，CN=13CC1，且∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60∘．
(1)用向量AA1，AD，AB表示向量MN；
(2)求证：D，M，B1，N共面；
(3)当AA1AB为何值时，AC1⊥A1B．
题型4
利用空间向量证明线、面的位置关系
13．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，E为棱CD的中点，FC1=3CF，且四棱锥E−BCFB1的体积为526．
(1)求棱CC1的长；
(2)证明：平面BCD1⊥平面B1EF．
14．（24-25高二上·福建福州·期中）在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=5.
(1)求证：PD⊥平面PAB；
(2)在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD？若存在，求出PMPA的值；若不存在，请说明理由.
15．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点.

(1)求证：MN//平面PAD；
(2)求证：平面MNQ//平面PAD.
16．（24-25高二下·全国·课后作业）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，BC=CC1,M,N,P分别是CC1,AB,BB1的中点．
(1)求证：平面NPC//平面AB1M．
(2)在线段BB1上是否存在一点Q，使AB1⊥平面A1MQ？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由．
题型5
利用空间向量研究点、线、面的距离问题
17．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点，解答以下问题：

(1)证明：直线MN ∥平面OCD；
(2)求点N到平面OCD的距离．
18．（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．
(1)求直线EC与AC1所成角的余弦值；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离．
19．（2024高二·全国·专题练习）设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，求：
(1)求直线B1C到平面A1BD的距离；
(2)求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
20．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3,AD=AA1=2，点E在AB上，且AE=1.
(1)求直线BC1与平面A1EC所成角的正弦值；
(2)若点P在侧面A1ABB1上，且点P到直线BB1和CD的距离相等，求点P到直线AD1距离的最小值.
题型6
利用空间向量求空间角
21．（24-25高二上·四川乐山·阶段练习）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知M是BD的中点．
(1)求A1M与C1D所成角的余弦值;
(2)求平面A1BD与平面A1C1D夹角的余弦值．
22．（24-25高三上·湖北宜昌·阶段练习）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，且FA＝FC，∠DAB＝∠DBF＝60∘
(1)求证：平面ABCD⊥平面BDEF
(2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．
23．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）如图所示，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，点M在线段AB上，AC=BC=CC1=3, AM =2．

(1)求证：AB1⊥BC1；
(2)求二面角A−CB1−M的正弦值．
24．（24-25高二上·山西大同·期中）如图，在多面体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ADEF为平行四边形，AB//CD，AD⊥CD，∠FAD=π4，AF=22，AB=AD=12CD=2，P为EC的中点.
(1)求证：DF⊥BC；
(2)求点P到平面ABF的距离；
(3)在线段BC上是否存在一点H，使得平面DHP与平面BEF的夹角的余弦值为4214？若存在，求BHBC的值；若不存在，请说明理由.
题型7
立体几何中的探索性问题
25．（24-25高二上·广西玉林·期中）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，AB⊥AD，PA=PD，AB=1，AD=2，AC=CD=5.
(1)求证：PD⊥平面PAB；
(2)求直线PA与平面PCD所成角的余弦值；
(3)在棱PB上是否存在点M，使得AM//平面PCD？若存在，求出BMBP的值；若不存在，请说明理由.
26．（23-24高二上·吉林·阶段练习）如图，在四棱锥S−ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AB=1，P为棱AD的中点，四棱锥S−ABCD的体积为233．
(1)若E为棱BS的中点，求证：PE//平面SCD；
(2)在棱SA上是否存在点M，使得平面PBM与平面SAD的夹角的余弦值为217？若存在，指出点M的位置并给以证明；若不存在，请说明理由．
27．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）在如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=π2，F为PA的中点，PD=2,AB=AD=12CD=1，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N.（用向量坐标法）
(1)求点N到平面PAB的距离；
(2)在线段EF上是否存在一点Q，使得直线BQ与平面BCP所成角的大小为π6？若存在，求出FQ的长； 若不存在，请说明理由.
28．（24-25高二上·北京·期中）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=1，AB=AA1=2，H,F,M分别是棱C1D1，BB1，B1C1的中点.
(1)判断直线A1M与平面B1HF的位置关系，并证明你的结论；
(2)求直线HF与平面A1MD所成角的正弦值；
(3)在线段HF上是否存在一点Q，使得点Q到平面A1BCD1的距离是2，若存在，求出HQHF的值；若不存在，说明理由.
题型8
直线与线段的相交关系求斜率范围
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
29．（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线l过点P2,2，且与以A−1,−1和B3,2−3为端点的线段相交.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角a的取值范围.
30．（23-24高二上·全国·课后作业）已知坐标平面内三点A−2,−4,B2,0,C−1,1.
(1)求直线AB的斜率和倾斜角；
(2)若Em,n是线段AC上一动点，求nm−2的取值范围.
31．（23-24高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点A−1,1，B1,1，C2,3+1.
(1)求直线AC的倾斜角；
(2)若D为△ABC的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围.
32．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点A−2,−4,B2,0,C−1,1.
(1)求直线AB的斜率和倾斜角；
(2)若A,B,C,D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标；
(3)若Em,n是线段AC上一动点，求nm−2的取值范围.
题型9
直线方程的求解
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
33．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知△ABC的三个顶点是A(1,−3),B(2,1),C(−1,4).
(1)求BC边上的高所在直线l1的方程;
(2)若直线l2过点C，且点A，B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程.
34．（24-25高二上·重庆·期中）已知△ABC的三个顶点分别是A5,1，B7,−3，C−9,5.
(1)求AB边上的高所在的直线方程；
(2)求AB边上的中线所在的直线方程；
(3)求∠ABC角平分线所在的直线方程.
35．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）已知△ABC的三个顶点分别是A5,1，B7,−3，C−8,2.
(1)求BC边上的高所在的直线方程；
(2)若直线l过点A，且与直线x+y+1=0平行，求直线l的方程；
(3)求BC边上的中线所在的直线方程.
36．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知△ABC的三个顶点是A1,5,B−5,−7,C3,−3，求：
(1)边BC上的中线所在直线的方程；
(2)边BC上的高所在直线的方程；
(3)∠ABC的角平分线所在直线的方程.
题型10
距离问题
37．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线l1:ax−2y+2=0，直线l2:x−a−1y−2=0．
(1)若l1//l2，求l1，l2之间的距离；
(2)若l1⊥l2，求l1，l2及x轴围成的三角形的面积．
38．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线l:(2m+2)x+(1−4m)y−2m−7=0
(1)证明：无论m为何值，直线l与直线x−2y−1=0总相交；
(2)求点Q(2,4)到直线l距离的最大值；
(3)若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求△AOB面积的最小值．
39．（23-24高二上·天津河西·阶段练习）已知直线m:a−1x+2a+3y−a+6=0，n:x−2y+3=0.
(1)若坐标原点O到直线m的距离为5，求a的值；
(2)当a=0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.
40．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线l1:2x−y−3=0,l2:mx−(m+1)y+1=0，其中m为实数.
(1)当l1//l2时，求直线l1,l2之间的距离；
(2)当m=2时，求过直线l1,l2的交点，且平行于直线2x+y+4=0的直线方程.
题型11
点、线间的对称问题
41．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知直线l:x+2y−2=0，试求：
(1)点P−2,−1关于直线l的对称点坐标.
(2)直线l1:y=x−2关于直线l对称的直线l2的方程.
(3)直线l关于点A1,1对称的直线方程.
42．（24-25高二上·湖北·期中）已知△ABC的顶点A(2,1)，边AB的中线CM所在直线方程为x−y+1=0，边AC的高BH所在直线方程为x−2y+2=0．
(1)求点B的坐标；
(2)若入射光线经过点A(2,1)，被直线CM反射，反射光线过点N(4,2)，求反射光线所在的直线方程．
43．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知A6,63，B0,0，C12,0，直线l：k+3x−y−2k=0．
(1)求直线l经过的定点坐标；
(2)若P2,23，李老师站在点P用激光笔照出一束光线，依次由BC（反射点为K）、AC（反射点为I）反射后，光斑落在P点，求入射光线PK的直线方程．
44．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）直线l过点P−2,0，点Q1,3到直线l的距离为23，直线l′与直线l关于点Q对称.
(1)求直线l′的方程；
(2)记原点为O，直线l′上有一动点M，则当OM+MQ最小时，求点M的坐标.
题型12
圆的切线长及切线方程问题
45．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）已知圆C过A2,−4，B−2,−2两点，且圆心C在直线x+4y−6=0上.
(1)求圆C的方程；
(2)过点P7,−1作圆C的切线，求切线方程.
46．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知圆M的方程为x2−8x+y2−8y−4=0.
(1)过点0,−4的直线m截圆M所得弦长为45，求直线m的方程；
(2)过直线l:x+y+4=0上任意一点P向圆M引切线，切点为Q，求PQ的最小值.
47．（24-25高二上·宁夏银川·期中）已知⊙C:x2+y2+Dx+Ey−12=0关于直线x+2y−4=0对称，且圆心在y轴上.
(1)求⊙C的标准方程；
(2)已知动点M在直线y=x−5上，过点M引⊙C的切线MA，求MA的最小值.
48．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆O:x2+y2=1，直线l:x+(m−3)y−m=0(m∈R)．
(1)若直线l与圆O相切，求m的值；
(2)当m=4时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最短时，求弦AB所在直线的方程．
题型13
直线与圆有关的最值（范围）问题
49．（2024高三·全国·专题练习）已知点Px,y是圆(x+2)2+y2=1上任意一点．
(1)求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值．
(2)求x−2y的最大值和最小值．
(3)求y−2x−1的最大值和最小值
50．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆C:x2+y2−2x−2my+4=0.
(1)求m的取值范围；
(2)当m取最小正整数时，若点P为直线4x−3y+12=0上的动点，过P作圆C的一条切线，切点为A，求线段PA的最小值.
51．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）已知圆C：x2+y2+2x−4y+3=0
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；
(2)从圆C外一点Px,y向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且PM=PO，求PO的最小值
52．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知Mx,y，A1,2，B−2,−1，且MA=2MB，点Q−2,2．
(1)求MQ的最大值和最小值；
(2)求y−2x−2的最大值和最小值；
(3)求y−x的最大值和最小值．
题型14
直线与圆有关的面积问题
53．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆C:x2+y2−8y+8=0,A是圆C上的一个动点，点P2,2,M是线段AP的中点，O为坐标原点.
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)当OP=OM时，求直线PM的方程及△POM的面积.
54．（24-25高二上·上海·期中）已知直线l:ax−y+2−a=0a∈R，圆O:x2+y2=4
(1)求证：无论a取何值，直线l均与圆O相交；
(2)已知AC、BD是圆O的两条相互两直的弦，且垂足为M1,2，求四边形ABCD的面积的最大值．
55．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知动点M(x,y)与点P(3,0)的距离是它与原点O的距离的2倍．
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)求x−y的最小值；
(3)经过原点O的两条互相垂直的直线分别与轨迹E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的面积S的最大值．
56．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：x2+y2=4，直线l:y=kx+4．
(1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=90°时，求k的值；
(2)若k=12时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形OCPD的面积的最小值．
题型15
圆锥曲线的离心率问题
57．（24-25高三上·云南普洱·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为2,0，点2,2在C上.
(1)求C的离心率；
(2)设恒过点D的直线kx−y+2k+1=0交C于A，B两点，且D为AB的中点，求直线AB的方程.
58．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知O为坐标原点，F1,F2分别是双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，直线l:y=43x与E交于A，B两点，F2A⋅F2B=0﹒
(1)求E的离心率；
(2)M为E上一点（不在x轴上），过F2作∠F1MF2平分线的垂线，垂足为N，若ON=1，求△AF1F2的面积．
59．（24-25高二上·北京·期中）已知P(0,2)和Q(2,1)为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的两点.
(1)求椭圆C的方程和离心率；
(2)设直线l:y=kx+1与椭圆C交于A、B两点，求三角形AOB面积的取值范围.
60．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，点A1(−1,0)，A2(2,3)都在双曲线C上，且C的右焦点为F.
(1)求C的离心率及其渐近线方程；
(2)设点P( x0 ,y0 ) ( x0≠2 )是双曲线C右支上的任意一点，记直线PF和PA1的斜率分别为k1、k2，证明：k1=2k2k22−1.
题型16
圆锥曲线的弦长与“中点弦”问题
61．（24-25高二上·山东青岛·期中）己知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点(0,1)，长轴长为22.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M(1,0)且斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B两点，求弦长|AB|；
(3)若直线l与椭圆相交于C,D两点，且弦CD的中点为P12,12，求直线l的方程.
62．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)，其中离心率为22，且过点22,1
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点0,1的直线l被椭圆C截得的弦长为322，求直线l的方程.
63．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆x24+y2=1有公共焦点，其渐近线方程为y=±22x.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线y=x+m与双曲线C交于A，B两点，且AB=42，求实数m的值.
64．（24-25高二上·山东·期中）已知抛物线C：y2=6x的焦点为F．
(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点，若MF=112，求线段MN的长．
题型17
圆锥曲线中的切线与切点弦问题
65．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆C1：y2a2+x2b2=1 a>b>0与抛物线C2：x2=2py p>0有相同的焦点F0,1，且椭圆C1过点1,−263．
(1)求椭圆C1与抛物线C2的标准方程；
(2)椭圆C1上一点P在x轴下方，过点P作抛物线C2的切线，切点分别为A,B，求△PAB的面积的最大值．
66．（23-24高三下·山西·开学考试）如图，已知抛物线E：y2=2x与点Px0,y0，过点P作E的两条切线，切点分别为A，B．

(1)若A2,−2，求切线PA的方程；
(2)若x0−y0+2=0，求证：直线AB恒过定点．
67．（23-24高二下·广东·阶段练习）已知线段AB是抛物线y2=4x的弦，且过抛物线焦点F.
(1)过点B作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点E，求证：A、O、E三点共线(O为坐标原点)；
(2)设M是抛物线准线上一点，过M作抛物线的切线，切点为A1、B1.
求证：（i）两切线互相垂直；
（ii）直线A1B1过定点，请求出该定点坐标.
68．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知抛物线C的方程为x2=4y，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B.
（1）若点P坐标为0,−1，求切线PA,PB的方程；
（2）若点P是抛物线C的准线上的任意一点，求证：切线PA和PB互相垂直.
题型18
圆锥曲线中的面积问题
69．（24-25高三上·北京·阶段练习）设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右顶点分别为A1,A2，右焦点F1,0，A2F=1．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点P是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线A2P交y轴于点Q，若△A1PQ的面积是△A2FP面积的2倍，求直线A2P的方程．
70．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知双曲线E的焦点在x轴上，离心率为233，点3,2在双曲线E上，点F1,F2分别为双曲线的左､右焦点.
(1)求E的方程；
(2)过F2作两条相互垂直的直线l1和l2，与双曲线的右支分别交于A，C两点和B,D两点，求四边形ABCD面积的最小值.
71．（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆E:x24+y2=1，圆C过椭圆E的左、右顶点和上顶点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l经过椭圆的右焦点F，与圆C交于A,B两点．
（i）若AB=13，求直线l的方程；
（ii）直线m经过点F与圆C交于P,Q，且直线m与直线l相互垂直，求四边形APBQ面积的最大值．
72．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知过点1,0的直线与抛物线E:y2=2pxp>0交于A,B两点，O为坐标原点，当直线AB垂直于x轴时，△AOB的面积为2.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过曲线E上一点P12,y0y0>0作两条互相垂直的直线，分别交曲线E于S,T（异于点P）两点，求证：直线ST恒过定点；
(3)若O为△ABC的重心，直线AC,BC分别交y轴于点M,N，记△MCN,△AOB的面积分别为S1,S2，求S1S2的取值范围.
题型19
圆锥曲线中的参数范围及最值问题
73．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为F1,F2，离心率为22，设Px0,y0是第一象限内椭圆C上的一点，PF1､PF2的延长线分别交椭圆C于点A,B，连接OP,AB,AF2，若△APF2的周长为42.

(1)求椭圆C的方程；
(2)当PF2⊥x轴，求△PAF2的面积；
(3)若分别记OP,AB的斜率分别为k1,k2，求1k2−1k1的最大值.
74．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知双曲线C和椭圆x24+y2=1有公共焦点，且离心率e=62．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P2,1作两条相互垂直的直线PM,PN分别交双曲线C于不同于点P的M、N两点，求点P到直线MN距离的最大值．
75．（23-24高二下·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系xy中，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为23，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接AC，BD交于点Q．
①求证：点Q在定直线上：
②设AQ=λ1AC，BQ=λ2BD，求5λ1+1λ2的最大值．
76．（2024·全国·模拟预测）设抛物线C:x2=2py(p>0)，直线x−y+1=0与C交于A，B两点，且AB=8．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点P为x2+y+12=1上一点，过点P作抛物线C的两条切线PD，PE，设切点分别为D，E，试求直线PD，PE斜率之积的最小值．
题型20
圆锥曲线中的向量问题
77．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1的左焦点F为圆x2+y2+2x=0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离的最小值为2−1.
(1)求椭圆的短轴长;
(2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点M−54,0，求MA⋅MB的值.
78．（23-24高二下·上海·阶段练习）设点F1， F₂分别是椭圆C:x22t2+y2t2=1 (t>0)的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为 22−2.点M，N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量 F1M与向量 F2N平行.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当 F1N⋅F2N=0时，求点N的坐标；
(3)当 |F2N|−|F1M|=6时，求直线F₂N的方程.
79．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，F1F2=25，且E的渐近线方程为y=±12x，直线l交双曲线E于P，Q两点.
(1)求双曲线E的方程；
(2)当直线l过点4,0时，求AP⋅AQ的取值范围.
80．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)经过点P1,2，直线l与抛物线Γ有两个不同的交点A,B，直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
(1)若直线l过点Q0,1，求直线l的斜率k的取值范围；
(2)若直线l过抛物线Γ的焦点F，交y轴于点D,DA=λAF,DB=μBF，求λ+μ的值；
(3)若直线l过点Q0,1，设O0,0,QM=λQO,QN=μQO，求1λ+1μ的值．
题型21
圆锥曲线中的定点、定值问题
81．（24-25高二上·北京·期中）如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点P3,1，焦距为42；斜率为−13的直线l与椭圆C相交于异于点P的M，N两点，且直线PM，PN均不与x轴垂直.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若MN=10，求MN的方程；
(3)记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，证明：k1k2为定值.
82．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知焦点在x轴上的双曲线C过点3,52，其焦点到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知直线l:x=my+1与双曲线C的右支交于A，B两点，点E与点A关于x轴对称，求证：直线BE过定点，并求出定点的坐标.
83．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为F2,0，且过点−5,63．
(1)求双曲线E的方程；
(2)过点F作斜率分别为k1,k2的直线l1,l2，直线l1交双曲线E于A,B两点，直线l2交双曲线E于C,D两点，点M,N分别是AB,CD的中点，若l1⊥l2，试判断直线MN是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
84．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，点0,3在C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知动直线l过曲线C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得RP⋅RQ为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.
题型22
圆锥曲线中的定直线问题
85．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知F(1,0)为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，A,B分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点T23,−263．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F作直线l与椭圆C交于M,N两点（不同于A,B），设直线AM与直线BN交于点D，证明：点D在定直线上．
86．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点F10,0到C的一条渐近线的距离为6．
(1)求C的方程．
(2)设C的左、右顶点分别为A1，A2，过点3,0且斜率不为0的直线l与C相交于M，N两点，直线A1M与直线A2N相交于点P．试问点P是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由．
87．（2024·湖北襄阳·模拟预测）过抛物线x2=2py(p>0)内部一点Pm,n作任意两条直线AB,CD，如图所示，连接AC,BD延长交于点Q，当P为焦点并且AB⊥CD时，四边形ACBD面积的最小值为32

(1)求抛物线的方程；
(2)若点P1,1，证明Q在定直线上运动，并求出定直线方程.
88．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知过点A(0,1)且焦距为2的椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过点B0,−12且斜率存在的直线交椭圆E于P，Q两点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)直线AP，AQ的斜率之积是否为值？若是，求出定值；若不是，请说明理由；
(3)过点1,0作直线l与椭圆E交于C，D两点（点C在x轴上方），椭圆E的左顶点为A1，右顶点为A2，求证：直线A1D与直线A2C的交点G在一条定直线上.