高二数学上学期期末复习解答题压轴题十七大题型专练（范围：第四、五章）

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题型1
根据数列的递推公式求数列的项、通项公式
1．（2024高二下·全国·专题练习）已知数列an中，a1=2，且n(n+1)an+1−an=−1.其中n∈N∗，求数列an的通项公式；
2．（2004·全国·高考真题）已知数列an中，a1=1，且a2k=a2k−1+(−1)k,a2k+1=a2k+3k，其中k=1,2,3,⋯．
(1)求a3,a5；
(2)求an的通项公式．
3．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知数列ann∈N*的前n项和为Sn，且满足a1=2,an=2n+1Sn．
(1)求a2,a3的值；
(2)试猜想an的通项公式，并证明．
4．（23-24高二下·全国·课后作业）已知数列an满足a1=3，an+1=2an+1．
(1)试写出该数列的前5项；
(2)若bn=an+1，写出bn的通项公式；
(3)根据（2）写出an的通项公式．
题型2
求数列的最大项、最小项
5．（23-24高二下·辽宁·期末）已知数列an满足a1=1,an+1=3an−2n+1．
(1)计算a2,a3，猜想an的通项公式并加以证明；
(2)设bn=an33an，求使数列bn取得最大值时n的值．
6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知数列an的前n项和Sn=2n2−n+2．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=an+100n−2n，求数列bn的最大项是该数列的第几项．
7．（23-24高二上·江苏·期中）已知数列an的前n项和为Sn，Sn=2n+3．
(1)求数列an的通项公式an；
(2)若数列bn满足：bn=n2an，求数列bn的最大项．
8．（23-24高二·全国·课后作业）在数列an中，an=n+1⋅910nn∈N∗.
(1)求证：数列an先递增后递减；
(2)求数列an中的最大项.
题型3
等差数列的判定与证明
9．（24-25高三上·新疆塔城·期中）已知数列an的首项为a1=13，且满足an+1+2an+1an−an=0.
(1)证明数列{1an}为等差数列，并求an的通项公式；
(2)求数列anan+1的前n项和Sn.
10．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列an满足an+1an+2+an+1an=2an+2an+1an+2an+2an，且a1=1,a2=14．
(1)判断数列1an+1−1an是否为等差数列，并说明理由；
(2)求数列an的通项公式．
11．（23-24高二下·海南·期末）已知各项均不为零的数列an满足：a1=1,3an+1an+an+1−an=0.
(1)证明1an是等差数列，并求an的通项公式；
(2)记数列anan+1的前n项和为Sn，证明：14≤Sn