湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考数学试卷（三）（原卷版）-A4

这是一份湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考数学试卷（三）（原卷版）-A4，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 设集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点和复数对应的点关于实轴对称，则（ ）
A. B. C. 5D.
3. 已知向量，满足，，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A. 3B. C. D.
4. 已知函数的定义域为，，是偶函数，，有，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ）
A. 24B. 32C. 96D. 128
6. 已知曲线在处的切线恰好与曲线相切，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在直角坐标系中，绕原点将轴的正半轴逆时针旋转角交单位圆于点、顺时针旋转角交单位圆于点，若点的纵坐标为，且的面积为，则点的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）

A. 的最小正周期为
B. 是的最小值
C. 在区间上的值域为
D. 把函数y=fx图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
10. 在长方体中，，点满足，其中，，则（ ）
A. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为
B. 当时，面
C. 当时，有且仅有一个点，使得
D. 当时，的最小值为
11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）
A. 开口向上抛物线的方程为
B AB=4
C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D. 阴影区域的面积大于4
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 若，则__________.
13. 已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是________.
14. 设为数列的前项积，若，其中常数，数列为等差数列，则_____．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 记的内角所对的边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为边上一点，，求.
16. 如图，三棱柱中，，，，，.
（1）求证：平面ABC；
（2）直线与平面所成角正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
17. 人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为（）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得分.若该答题机器人答对每道题的概率均为，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为，当时，答题结束，机器人挑战成功，当时，答题也结束，机器人挑战失败.
（1）当时，求机器人第一轮答题后累计得分的分布列与数学期望；
（2）当时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.
18. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）若，直线与的斜率分别为与，求的值.
（3）求证：
19. 对于函数，若实数满足，则称为的不动点.已知，且的不动点的集合为.以和分别表示集合中的最小元素和最大元素.
（1）若，求的元素个数及；
（2）当恰有一个元素时，的取值集合记为.
（i）求；
（ii）若，数列满足，，集合，.求证：，.