河南省安阳市林州市 2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷（B卷）-A4

这是一份河南省安阳市林州市 2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷（B卷）-A4，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）“甲骨文”，是中国的一种古老文字，又称“契文”、“殷墟文字”，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如图，AD是△ABC的中线，AB比AC长3cm，若△ABD的周长为25cm，则△ACD的周长为（ ）
A．28cmB．25cmC．22cmD．19cm
3．（3分）和点P（2，﹣5）关于x轴对称的点是（ ）
A．（﹣2，﹣5）B．（2，﹣5）C．（2，5）D．（﹣2，5）
4．（3分）如图，在由等边三角形、正方形和正五边形组合而成的图形中，∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．40°B．41°C．42°D．43°
5．（3分）如图，把长方形纸片ABCD沿EF对折，若∠1＝52°，则∠AEF的度数为（ ）
A．114°B．115°C．116°D．117°
6．（3分）下列计算中正确的是（ ）
A．a4+a5＝a9B．a3•a3•a3＝3a3
C．2a4•3a5＝6a9D．（﹣a3）4＝a7
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝12，BD＝8，则点D到AB的距离是（ ）
A．6B．4C．3D．2
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，DE∥BC，交AB于点E，BC＝7cm，AC＝6cm，则△AED的周长等于（ ）
A．12cmB．10cmC．7cmD．9cm
10．（3分）如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠DAC＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知等腰三角形的一个角为70°，则底角等于 ．
12．（3分）已知5x＝36，5y＝2，则5x﹣2y的值 ．
13．（3分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件是 ．（只需添一个）
14．（3分）如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝4cm，AB＝5cm，则△EBC的周长为 ．
15．（3分）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为7，BD平分∠ABC，若M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C＝70°．
（1）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数；
（2）求∠BOE的度数．
17．（8分）小明计算一道整式乘法的题（2x﹣a）（3x﹣5），由于小明在解题过程中，抄错了第一个多项式中a前面的符号，把“﹣”写成了“+”，得到的结果为6x2﹣4x﹣10．
（1）求a的值；
（2）计算这道整式乘法的正确结果．
18．（8分）如图，AB＝CD，CB＝AD，点O为AC上任意一点，过点O作直线分别交AB，CD的延长线于点F，E，试说明：∠E＝∠F．
19．（9分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出△A1B1C1各顶点的坐标；
（2）直接写出△ABC的面积是 ；
（3）在y轴上找一点P，使PA+PB的和最小（标出点P即可，不用求点P坐标）．
20．（10分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF
求证：AD平分∠BAC．
21．（10分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且AE＝CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠PBQ的度数．
22．（10分）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿ABBC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t s，则：
（1）BP＝ cm，BQ＝ cm．（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边AC上，且BD＝DA＝BC．
（1）如图1，填空∠A＝ °，∠C＝ °．
（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC于点N、E．
①求证：△BNE是等腰三角形；
②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
2024-2025学年河南省安阳市林州市八年级（上）期中数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（3分）“甲骨文”，是中国的一种古老文字，又称“契文”、“殷墟文字”，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此可得结论．
【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
2．（3分）如图，AD是△ABC的中线，AB比AC长3cm，若△ABD的周长为25cm，则△ACD的周长为（ ）
A．28cmB．25cmC．22cmD．19cm
【分析】根据三角形的中线的定义得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵AB比AC长3cm，
∴AB＝AC+3cm，
∵△ABD的周长为25cm，
∴AB+AD+BD＝25cm，
∴AC+3cm+AD+DC＝25cm，
∴AC+AD+DC＝22cm，
∴△ACD的周长＝AC+AD+DC＝22cm，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
3．（3分）和点P（2，﹣5）关于x轴对称的点是（ ）
A．（﹣2，﹣5）B．（2，﹣5）C．（2，5）D．（﹣2，5）
【分析】点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n），然后将题目已经点的坐标代入即可求得解．
【解答】解：根据轴对称的性质，得点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（2，5）．
故选：C．
【点评】此题考查了平面直角坐标系点的对称性质，属于对一般知识性内容的考查，难度不大，学生做的时候要避免主观性失分．
4．（3分）如图，在由等边三角形、正方形和正五边形组合而成的图形中，∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．40°B．41°C．42°D．43°
【分析】本题考查了多边形性质，三角形外角性质，先根据图中多边形可知各多边形的一个内角度数，记中间围成的三角形为ABC，利用三角形外角性质得到∠BAC+∠BCA＝60°+60°＝120°，进而根据∠1+∠2＝180°﹣90°﹣∠BCA+180°﹣108°﹣∠BAC求解，即可解题．
【解答】解：∵正五边形的一个内角为
（5﹣2）×180°÷5
＝540÷5
＝108°，
正三角形的一个内角为60°，正方形的一个内角为90°，
记中间围成的三角形为ABC，
∵∠3＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝60°+60°＝120°，
∴∠1+∠2＝180°﹣90°﹣∠BCA+180°﹣108°﹣∠BAC
＝180°﹣90°+180°﹣108°﹣（∠BAC+∠BCA）
＝162°﹣（∠BAC+∠BCA）
＝162°﹣120°
＝42°．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形内角与外角、等边三角形的性质，解决本题的关键是求出正五边形的内角．
5．（3分）如图，把长方形纸片ABCD沿EF对折，若∠1＝52°，则∠AEF的度数为（ ）
A．114°B．115°C．116°D．117°
【分析】由折叠的性质可得，再由平行线的性质即可得出答案．
【解答】解：由折叠的性质可得：，
由题意得：AD∥BC，
∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝116°，
故选：C．
【点评】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
6．（3分）下列计算中正确的是（ ）
A．a4+a5＝a9B．a3•a3•a3＝3a3
C．2a4•3a5＝6a9D．（﹣a3）4＝a7
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a4与a5不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a3•a3•a3＝a9，故B不符合题意；
C、2a4•3a5＝6a9，故C符合题意；
D、（﹣a3）4＝a12，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝12，BD＝8，则点D到AB的距离是（ ）
A．6B．4C．3D．2
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质得出CD＝DE，求出CD长即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E．
∵BC＝12，BD＝8，
∴CD＝BC﹣BD＝4．
又∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴DE＝CD＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由直角三角形的性质可求得∠BCD＝∠A＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可求得CD＝AC，BD＝AB，即可求解．
【解答】解：∵CD是AB边上的高线，
∴CD⊥AB，
∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵∠B＝60°，BC＝AB，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝BC，CD＝AC，
∴BD＝AB．
故选：D．
【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，DE∥BC，交AB于点E，BC＝7cm，AC＝6cm，则△AED的周长等于（ ）
A．12cmB．10cmC．7cmD．9cm
【分析】由线段垂直平分线的性质得出AB＝BC＝7cm，由三角形中位线定理得出ED的长，即可得出答案．
【解答】解：∵D是AC的中点，且BD⊥AC，
∴AB＝BC＝7cm，AD＝AC＝3cm，
∵ED∥BC，
∴AE＝BE＝AB＝3.5cm，ED＝BC＝3.5cm，
∴△AED的周长＝AE+ED+AD＝10（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定定理、性质定理，正确的识别图形是解题的关键．
10．（3分）如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠DAC＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，
∴∠DAC＝2∠ADB，故②正确；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，
∴∠ADC+∠ABD＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，故③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠DBC，∠ADC＝90°﹣∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，故④错误；
即正确的有3个，
故选：B．
【点评】此题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知等腰三角形的一个角为70°，则底角等于 70°或55° ．
【分析】根据等腰三角形的性质分情况讨论①底角为70°，②顶角为70°，进一步求解即可．
【解答】解：根据题意，
①底角为70°，
②顶角为70°，底角为（180°﹣70°）÷2＝55°，
综上所述，底角为70°或55°，
故答案为：70°或55°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
12．（3分）已知5x＝36，5y＝2，则5x﹣2y的值 9 ．
【分析】根据同底数幂的除法以及幂的乘方解决此题．
【解答】解：∵5x＝36，5y＝2，
∴5x﹣2y＝5x÷52y＝5x÷（5y）2＝36÷22＝9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法以及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的除法以及幂的乘方是解决本题的关键．
13．（3分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件是 AB＝DE ．（只需添一个）
【分析】根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行添加即可
【解答】解：添加AB＝DE．
∵AB∥ED，
∴∠B＝∠E，
∵AC∥FD，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF．
故答案为：AB＝DE．
【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
14．（3分）如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝4cm，AB＝5cm，则△EBC的周长为 9cm ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴△EBC的周长＝BE+EC+BC＝BE+EA+BC＝BA+BC，
∵BC＝4cm，AB＝5cm，
∴△EBC的周长＝BA+BC＝9（cm），
故答案为：9cm．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．（3分）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为7，BD平分∠ABC，若M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为 ．
【分析】先过C作CH⊥AB于H，根据角平分线的轴对称性，可作N关于BD对称点N′，连接MN′，则MN＝MN′，由CM+MN＝CM+MN′≥CH得当C、M、N′共线且CN′⊥AB时，取等号，此时CM+MN值最小，最小值为CH的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，如图，过C作CH⊥AB于H，作N关于BD对称点N′，
∴N′在AB上，
连接MN′，则CM+MN＝CM+MN′≥CH，当C、M、N′共线且CN′⊥AB时，取等号，此时CM+MN值最小，最小值为CH的值，
∵在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为7，
∴，
∴，
即CM+MN的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C＝70°．
（1）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数；
（2）求∠BOE的度数．
【分析】（1）先根据AD是高，∠C＝70°得出∠DAC的度数，再由∠ABC＝60°得出∠BAC的度数，由AE是∠BAC的平分线得出∠EAC的度数，由∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC即可得出结论；
（2）由∠C＝70°得出∠ABC+∠BAC的度数，再由AE、BF是角平分线可得出∠BAE+∠ABF的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AD是高，∠C＝70°，
∴∠DAC＝90°﹣70°＝20°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣60°＝50°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝×50°＝25°，
∵∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝25°﹣20°＝5°；
（2）∵∠C＝70°，
∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣70°＝110°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠BAE+∠ABF＝（∠ABC+∠BAC）＝×110°＝55°，
∵∠BOE是△AOB的外角，
∴∠BOE＝∠BAE+∠ABF＝55°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°是解题的关键．
17．（8分）小明计算一道整式乘法的题（2x﹣a）（3x﹣5），由于小明在解题过程中，抄错了第一个多项式中a前面的符号，把“﹣”写成了“+”，得到的结果为6x2﹣4x﹣10．
（1）求a的值；
（2）计算这道整式乘法的正确结果．
【分析】（1）根据题意可得（2x+a）（3x﹣5），应用多项式乘多项式的法则进行计算，可得6x2﹣（10﹣3a）x﹣5a，由已知常数项相等可得﹣5a＝﹣10，计算即可得出答案；
（2）由（1）可知a的值，代入应用多项式乘多项式进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，（2x+a）（3x﹣5）
＝6x2﹣10x+3ax﹣5a
＝6x2﹣（10﹣3a）x﹣5a
＝6x2﹣4x﹣10，
∴﹣5a＝﹣10，
解得：a＝2；
（2）（2x﹣2）（3x﹣5）
＝6x2﹣10x﹣6x+10
＝6x2﹣16x+10．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则进行计算是解决本题的关键．
18．（8分）如图，AB＝CD，CB＝AD，点O为AC上任意一点，过点O作直线分别交AB，CD的延长线于点F，E，试说明：∠E＝∠F．
【分析】由“SSS”可证△ABC≌△CDA，可得∠BAC＝∠ACD，可证AB∥CD，可得结论．
【解答】证明：在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴∠E＝∠F．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABC≌△CDA是本题的关键．
19．（9分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出△A1B1C1各顶点的坐标；
（2）直接写出△ABC的面积是 2 ；
（3）在y轴上找一点P，使PA+PB的和最小（标出点P即可，不用求点P坐标）．
【分析】（1）根据轴对称的性质分别确定A，B，C的对称点即可作出所求图形，根据图形即可写出各顶点的坐标即可；
（2）利用割补法计算即可求解；
（3）如图，连接A1B，与y轴交于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作的图形，
由图形可得，点A1的坐标为（2，4），点B1的坐标为（4，2），点C1的坐标为（3，1）；
（2）△ABC的面积是；
故答案为：2．
（3）如图，点P即为所求．
【点评】本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键．
20．（10分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF
求证：AD平分∠BAC．
【分析】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），则可得DE＝DF，然后由角平分线的判定定理，即可证得AD平分∠BAC．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
在Rt△ADE与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD平分∠BAC．
【点评】本题考查了角平分线的判定与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
21．（10分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且AE＝CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠PBQ的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可求出答案．
（2）根据△ABE≌△CAD，可知∠CAD＝∠ABE，由于∠BPQ＝∠ABE+∠BAP＝∠CAD+∠BAP＝∠BAE＝60°．从而可知∠PBQ＝30°．
【解答】（1）证明：在等边三角形ABC中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠CAD＝∠ABE，
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAP
＝∠CAD+∠BAP
＝∠BAE＝60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°．
【点评】本题考查全等三角形的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．
22．（10分）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿ABBC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t s，则：
（1）BP＝ （6﹣t） cm，BQ＝ t cm．（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
【分析】（1）根据题意得出BP，BQ即可；
（2）分情况进行讨论：∠BPQ＝90°，∠BQP＝90°．然后在直角三角形BQP 中根据BP，BQ的表达式和∠B 的度数，进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得BP＝（6﹣t）cm；BQ＝t cm．
故答案为：（6﹣t）；t；
（2）在△PBQ中，∠B＝60°，若△PBQ是直角三角形，则点P或点Q为直角顶点．
①若点P为直角顶点，
∵∠B＝60°，
∴∠PQB＝30°，
∴BQ＝2BP，
即t＝2（6﹣t），
解得t＝4；
②若点Q是直角顶点，
∵∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴BP＝2BQ，
即6﹣t＝2t，
解得t＝2，
答：当t＝2或t＝4时，△PBQ是直角三角形．
【点评】此题考查了直角三角形的判定、等边三角形的性质．分情况进行讨论∠BPQ＝90°，∠BQP＝90°是解本题的关键．
23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边AC上，且BD＝DA＝BC．
（1）如图1，填空∠A＝ 36 °，∠C＝ 72 °．
（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC于点N、E．
①求证：△BNE是等腰三角形；
②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠DBA＝∠DBC＝∠ABC＝∠C，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）①根据已知条件得到∠ABD＝∠CBD＝36°，根据垂直的定义得到∠BHN＝∠EHB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②由①知，BN＝BE，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠A＝∠DBC，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∴∠A＝∠DBA＝∠DBC＝∠ABC＝∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°，∠C＝72°；
故答案为：36，72；
（2）①∵∠A＝∠ABD＝36°，
∠B＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∵BH⊥EN，
∴∠BHN＝∠EHB＝90°，
在△BNH与△BEH中，
，
∴△BNH≌△BEH，
∴BN＝BE，
∴△BNE是等腰三角形；
②CD＝AN+CE，
理由：由①知，BN＝BE，
∵AB＝AC，
∴AN＝AB﹣BN＝AC﹣BE，
∵CE＝BE﹣BC，
∵CD＝AC﹣AD＝AC﹣BD＝AC﹣BC，
∴CD＝AN+CE．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
C
C
C
B
D
B
B